Bài tập Chứng minh các hệ thức hình học lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ADB có MP // AB nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{MD}}}}{{{\rm{AD}}}} = \frac{{{\rm{DP}}}}{{{\rm{BD}}}}$(1)

Xét tam giác CDB có NP // DC nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{DP}}}}{{{\rm{BD}}}} = \frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{CB}}}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{{\rm{MD}}}}{{{\rm{AD}}}} = \frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{CB}}}} = \frac{{{\rm{DP}}}}{{{\rm{BD}}}}$.

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ACE có CE // BD nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{AE}}}}$(1)

Xét tam giác AFE có FE // CD nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{AE}}}}$(2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{AE}}}}$.

Từ đó ta có AC ⋅ AC = AB ⋅ AF hay AC$^{2}$= AB ⋅ AF.

Đáp án đúng là: C

Trong tam giác ABC có $\frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{AC}}}}$ nên DE // BC (định lí Thalès đảo).

Do đó theo định lí Thalès ta có $\frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{DB}}}} = \frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{EC}}}}$, $\frac{{{\rm{BD}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{CE}}}}{{{\rm{AC}}}}$.

Vậy C sai.

Đáp án đúng là: C

Kẻ DH // CI (H ∈ AB), do đó DH // IO.

Xét tam giác ADH có DH // IO nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{IH}}}} = \frac{{{\rm{AO}}}}{{{\rm{OD}}}}$ hay $\frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{IH}}}} = \frac{3}{2}$.

Suy ra AI = 3t và IH = 2t (với t > 0).

Ta có D thuộc cạnh BC và BC = 2BD, suy ra BC = 2CD.

Xét tam giác BIC có DH // IC nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{BI}}}}{{{\rm{IH}}}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{{{\rm{CD}}}}$ hay $\frac{{{\rm{BI}}}}{{{\rm{IH}}}} = \frac{2}{1}$

Suy ra BI = 2IH = 2 ⋅ 2t = 4t.

Vậy $\frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{IB}}}} = \frac{{{\rm{3t}}}}{{{\rm{4t}}}} = \frac{3}{4}$.

Đáp án đúng là: D

Xét tứ giác ADEF có:

AD // EF (D ∈ AB)

AF // DE (F ∈ AC)

Suy ra tứ giác ADEF là hình bình hành.

Do đó AF = DE (1).

Xét tam giác ABC có EF // AB nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{CE}}}}{{{\rm{EB}}}} = \frac{{{\rm{CF}}}}{{{\rm{FA}}}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{{\rm{CE}}}}{{{\rm{EB}}}} = \frac{{{\rm{CF}}}}{{{\rm{DE}}}}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có AN ⊥ BC (do H là trực tâm của tam giác ABC) nên HN ⊥ CM (H ∈ AN, M ∈ BC).

Theo đề bài ta có IK // DC, IK ⊥ HM, do đó HM ⊥ DC hay HM ⊥ NC (N ∈ DC).

Tam giác HNC có: HM ⊥ NC, CM ⊥ HN.

Do đó M là trực tâm của tam giác HNC.

Suy ra MN ⊥ HC.

Lại có HC ⊥ AB nên MN // AB hay MN // DB.

Xét tam giác CBD có MN // DB nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{CM}}}}{{{\rm{MB}}}} = \frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{ND}}}}$ hay $\frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{ND}}}} = 1$ (Vì CM = MB, do M là trung điểm của BC)

Suy ra CN = ND.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABD có HE // BD nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{AH}}}}{{{\rm{AD}}}} = \frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{AB}}}}$ (1).

Xét tam giác CBD có GF // BD nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{CF}}}}{{{\rm{CB}}}} = \frac{{{\rm{CG}}}}{{{\rm{CD}}}}$ (2).

Xét tam giác ABC có EF // AC nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{CF}}}}{{{\rm{CB}}}}$ (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra $\frac{{{\rm{AH}}}}{{{\rm{AD}}}} = \frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{CF}}}}{{{\rm{CB}}}} = \frac{{{\rm{CG}}}}{{{\rm{CD}}}}$ hay $\frac{{{\rm{AH}}}}{{{\rm{AD}}}} = \frac{{{\rm{CG}}}}{{{\rm{CD}}}}$.

Từ đó suy ra AH ⋅ CD = AD ⋅ CG.

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác OHG có EF // HG nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{OF}}}}{{{\rm{OG}}}} = \frac{{{\rm{OE}}}}{{{\rm{OH}}}}$ (1).

Xét tam giác OEG có DF // EG nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{OF}}}}{{{\rm{OG}}}} = \frac{{{\rm{OD}}}}{{{\rm{OE}}}}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{{\rm{OE}}}}{{{\rm{OH}}}} = \frac{{{\rm{OD}}}}{{{\rm{OE}}}}$.

Từ đó ta có OE ⋅ OE = OH ⋅ OD hay OE$^{2}$= OH ⋅ OD.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC có DE // BC nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{EC}}}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BD}}}}$ hay $\frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{EC}}}}{{{\rm{BD}}}}$ (1).

Xét tam giác DEF có DE // MC (M ∈ BC) nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{DM}}}}{{{\rm{MF}}}} = \frac{{{\rm{EC}}}}{{{\rm{CF}}}}$(2).

Mà CF = DB (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\frac{{{\rm{DM}}}}{{{\rm{MF}}}} = \frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{AB}}}}$.

Đáp án đúng là: D

Vì MN // BC, EF // BC nên MN // BC // EF.

Trong tam giác ABH có EI // BH (I ∈ EF, H ∈ BC) nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{AH}}}}$ hay $\frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{2}{3}$.

Trong tam giác AIF có KN // IF (I ∈ EF, K ∈ MN) nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{{\rm{AN}}}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{{{\rm{AK}}}}{{{\rm{AI}}}}$ hay $\frac{{{\rm{AN}}}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{1}{2}$.

Ta có $\frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{AB}}}} + \frac{{{\rm{AN}}}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{7}{6}$.

Đáp án đúng là: B

Theo định lí Thalès trong tam giác, đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Do MN // BC nên ta có tỉ lệ thức tương ứng là $\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}}$.

Đáp án đúng là: A

Vì PQ // EF nên theo định lí Thalès ta có $\frac{{DP}}{{PE}} = \frac{{DQ}}{{QF}}$.

Suy ra DP ∙ QF = PE ∙ DQ.

Đáp án đúng là: C

Xét ∆MNP có IK // NP, áp dụng định lí Thalès, ta có:

$\frac{{MI}}{{IN}} = \frac{{MK}}{{KP}}$; $\frac{{IN}}{{MN}} = \frac{{KP}}{{MP}}$; $\frac{{MI}}{{MN}} = \frac{{MK}}{{MP}}$.

Do đó, hệ thức $\frac{{MI}}{{MN}} = \frac{{KP}}{{MP}}$ là sai.

Đáp án đúng là: A

Xét ∆ABM có DI // BM, theo định lí Thalès ta có $\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AM}}$.

Đáp án đúng là: B

Xét ∆OBD có AC // BD, theo định lí Thalès ta có $\frac{{OA}}{{AB}} = \frac{{OC}}{{CD}}$.

Nhân chéo hai vế của tỉ lệ thức này, ta được đẳng thức OA ∙ CD = AB ∙ OC.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Do ED // AC, theo định lí Thalès ta có $\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}}$.

b) Sai. Do FD // AB, theo định lí Thalès ta có $\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{BC}}$.

c) Đúng. Từ a) và b), ta có: $\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}}$; $\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{BC}}$.

Suy ra: $\frac{{AE}}{{AB}} + \frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{CD}}{{BC}} + \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{CD + BD}}{{BC}} = \frac{{BC}}{{BC}} = 1$.

d) Sai. Từ c) ta có $\frac{{AE}}{{AB}} + \frac{{AF}}{{AC}} = 1$.

Suy ra $\frac{{AE \cdot AC + AF \cdot AB}}{{AB \cdot AC}} = 1$ hay AE ∙ AC + AF ∙ AB = AB ∙ AC.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Xét ∆ABC có MN // BC nên $\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}}$ (định lí Thalès).

b) Đúng. Xét ∆ABC có NP // AB nên $\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{BP}}{{PC}}$ (định lí Thalès).

c) Sai. Xét tứ giác MNPB có MN // BP và NP // MB nên MNPB là hình bình hành.

Suy ra MN = BP.

d) Đúng. Từ 3 ý a), b), c) ta có $\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{BP}}{{PC}} = \frac{{MN}}{{PC}}$.

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Chứng minh tương tự bài 9, ta có $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AK}} = \frac{{MI}}{{BK}}$ (đây chính là hệ quả của định lí Thalès).

b) Sai. Tương tự, ta có $\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{AI}}{{AK}} = \frac{{IN}}{{KC}}$ (hệ quả của định lí Thalès).

c) Đúng. Vì K là trung điểm của BC nên BK = KC.

d) Đúng. Từ hai ý a), b) ta có $\frac{{MI}}{{BK}} = \frac{{IN}}{{KC}}$, mà BK = KC nên MI = IN hay điểm I là trung điểm của MN.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Từ hệ thức OA . OD = OB . OC ta có $\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{OB}}{{OD}}$.

b) Đúng. Giả sử OA < OC, OB < OD.

Trên đoạn thẳng OC, lấy điểm A’ sao cho OA’ = OA. Trên đoạn thẳng OD, lấy điểm B’ sao cho OB’ = OB.

Theo ý a), ta có $\frac{{OA'}}{{OC}} = \frac{{OB'}}{{OD}}$

Theo định lí Thalès đảo ta có A’B’ // CD.

Mà AB // A’B’ (do $\widehat {OAB} = \widehat {OA'B'}$ vì ∆OAB = ∆OA’B’).

Suy ra AB // CD.

c) Đúng. Do AB // CD, theo hệ quả định lí Thalès (được chứng minh ở Bài 8) ta có $\frac{{OM}}{{ON}} = \frac{{AM}}{{CN}}$.

d) Đúng. Ngoài tỉ lệ ở lời giải ý c, ta còn có $\frac{{OM}}{{ON}} = \frac{{BM}}{{DN}}$.

Suy ra $\frac{{AM}}{{CN}} = \frac{{BM}}{{DN}}$.

Nếu M là trung điểm của AB (tức là AM = BM), thì tử số của hai phân thức bằng nhau, buộc mẫu số phải bằng nhau: CN = DN. Điều này chứng minh N là trung điểm của CD.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Xét ∆ODC có AB // DC có $\frac{{OA}}{{AC}} = \frac{{OB}}{{BD}}$.

b) Đúng. Theo hệ quả định lí Thalès trong ∆ADC có OM // CD, ta có $\frac{{OM}}{{CD}} = \frac{{OA}}{{AC}}$.

c) Đúng. Theo hệ quả định lí Thalès trong ∆BDC có ON // CD, ta có $\frac{{ON}}{{CD}} = \frac{{OB}}{{BD}}$.

Kết hợp với ý a), b) ta suy ra $\frac{{OM}}{{CD}} = \frac{{ON}}{{CD}}\,\,\left( { = \frac{{OA}}{{AC}} = \frac{{OB}}{{BD}}} \right)$, tức là OM = ON.

d) Sai. Xét ∆ABD có OM // AB, ta có $\frac{{OM}}{{AB}} = \frac{{OD}}{{BD}}$.

Khi đó $\frac{{OM}}{{AB}} + \frac{{OM}}{{CD}} = \frac{{OD}}{{BD}} + \frac{{OB}}{{BD}} = \frac{{OD + OB}}{{BD}} = 1$.

Suy ra $\frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{CD}} = \frac{1}{{OM}}$.

Vì MN = OM + ON và $OM = ON$ nên MN = 2OM, tức là $OM = \frac{{MN}}{2}$ suy ra $\frac{1}{{OM}} = \frac{2}{{MN}}.$

Do đó, hệ thức chính xác phải là $\frac{2}{{MN}} = \frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{CD}}$.

Đáp án: 1,5.

Từ AM = 1,5MB suy ra $\frac{{AM}}{{MB}} = 1{,}5$.

Vì MN // BC, theo định lí Thalès ta có $\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{AM}}{{MB}} = 1{,}5$. (1)

Vì ND // AB, theo định lí Thalès ta có $\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AN}}{{NC}}$. (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra $\frac{{BD}}{{DC}} = 1{,}5$.

Vậy P = 1,5.

Đáp án: 2.

Từ hệ thức $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{3}$, ta có $\frac{{AM}}{{AB - AM}} = \frac{1}{{3 - 1}}$ nên $\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{1}{2}$ hay $\frac{{MB}}{{AM}} = 2$.

Vì MI // AC, theo định lí Thalès, ta có $\frac{{BI}}{{IC}} = \frac{{MB}}{{AM}} = 2$.

Vậy $\frac{{BI}}{{IC}} = 2.$

Đáp án: 5.

Vì DE // BC, theo định lí Thalès ta có $\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AD}}{{DB}}$.

Thay số ta được $\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Vì EF // AB, theo định lí Thalès ta có $\frac{{BF}}{{FC}} = \frac{{AE}}{{EC}}$.

Suy ra $\frac{{BF}}{{FC}} = \frac{2}{3}$. Vì phân số này đã tối giản nên a = 2, b = 3.

Giá trị tổng a + b = 2 + 3 = 5.

Đáp án: 1.

Vì PE // AB, theo định lí Thalès ta có hệ thức $\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{BP}}{{BC}}$.

Vì PF // AC, theo định lí Thalès ta có hệ thức $\frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{CP}}{{BC}}$.

Tiến hành cộng vế theo vế hai đẳng thức vừa thiết lập:

$\frac{{AF}}{{AB}} + \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{CP}}{{BC}} + \frac{{BP}}{{BC}} = \frac{{CP + BP}}{{BC}} = \frac{{BC}}{{BC}} = 1.$

Do đó k = 1.

Đáp án: 1.

Vì DE // AC, theo định lí Thalès ta có $\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{CD}}{{BD}}$.

Từ giả thiết $\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{1}{2}$, suy ra $\frac{{CD}}{{BD}} = 2$. Do đó $\frac{{AE}}{{EB}} = 2$.

Mặt khác, vì DF // AB, theo định lí Thalès ta có hệ thức $\frac{{AF}}{{FC}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{1}{2}$.

Do đó, ta có: $T = \frac{{AE \cdot AF}}{{EB \cdot FC}} = \frac{{AE}}{{EB}} \cdot \frac{{AF}}{{FC}} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.