Bài tập Chứng minh các điểm cho trước cùng nằm trên cùng một đường tròn lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông ABCD.

Khi đó theo tính chất của hình vuông, ta có: OA = OB = OC = OD nên O là tâm đường tròn đi qua bốn đỉnh của hình vuông ABCD, với bán kính R = OA = $\frac{{AC}}{2}$.

Xét tam giác ABC vuông cân tại B ta có:

AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$

Suy ra AC = $a\sqrt 2$ hay R = $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Đáp án đúng là: A

Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Đáp án đúng là: D

Gọi I là trung điểm của BC.

Xét tam giác BEC vuông tại E có EI = IB = IC = $\frac{{BC}}{2}$ (vì EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Xét tma giác BCD vuông tại D có DI = IB = IC = $\frac{{BC}}{2}$ (vì DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Từ đó ta có: ID = IE = IB = IC = $\frac{{BC}}{2}$ nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DEBC và bán kính R = $\frac{{BC}}{2}$.

Đáp án đúng là: A

Gọi I là trung điểm của BC.

Xét tam giác BEC vuông tại E có EI = IB = IC = $\frac{{BC}}{2}$ (vì EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Xét tam giác BDC vuông tại D có DI = IB = IC = $\frac{{BC}}{2}$ (vì DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Từ đó ta có: ID = IE = IB = IC = $\frac{{BC}}{2}$ nên bốn điểm B, E, D, C nằm trên một đường tròn có bán kính R = $\frac{{BC}}{2}$.

Ta thấy IA > ID nên điểm A không thuộc đường tròn trên.

Đáp án đúng là: C

Ta có: OA = $\sqrt {{{\left( { - 1 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 0} \right)}^2}} = \sqrt 2 = 2$ = R nên A nằm trong đường tròn tâm O bán kính R = 2.

Đáp án đúng là: A

Ta có: OA = $\sqrt {{{\left( { - 3 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {25} = 5 > 3 = R$ nên A nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R = 3.

Đáp án đúng là: A

Xét ∆DCN và ∆CMB, có:

CN = MB = $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}BC$ (gt)

CD = BC (gt)

$\widehat {DCN} = \widehat {CBM} = 90^\circ$ (gt)

Suy ra ∆DCN = ∆CMB (c.g.c)

Suy ra $\widehat {CDN} = \widehat {ECN}$ (hai góc tương ứng)

Nên $\widehat {CDN} + \widehat {CNE} = \widehat {ECN} + \widehat {CNE} = 90^\circ$ suy ra $\widehat {CEN} = 90^\circ$

Hay CM ⊥ DN.

Gọi I là tủng điểm của DM.

Xét tam giác vuông ADM, ta có: AI = ID = IM = $\frac{{DM}}{2}$.

Xét tam giác vuông DEM, ta có:

EI = ID = IM = $\frac{{DM}}{2}$ nên EI = ID = IM = IA = $\frac{{DM}}{2}$.

Do đó, bốn điểm A, D, E, M cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính $\frac{{DM}}{2}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có tam giác ABC cân tại A có đường cao AH nên AH cũng là đường phân giác $\widehat {CAD} = \widehat {DAB}$.

Suy ra ∆ACD = ∆ABD (c.g.c) nên $\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 90^\circ$.

Lấy I là trung điểm AD, Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có:

IA = ID = IB = IC = $\frac{{DA}}{2}$.

Nên I là điểm cách đều A, B, D, C hay A, B, D, C cùng nằm trên đường tròn tâm I đường kính AD. Đáp án cần chọn là D.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì OA = OB = R nên hai điểm A, B thuộc đường tròn (O; R).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Điểm A thuộc đường tròn (O; R) khi OA = R. Vậy số thích hợp điền vào “…” là 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì M là trung điểm của AB nên MA = MB. Vậy 2 điểm A, B thuộc đường tròn (M; MB).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì các điểm H, K thuộc đường trung trực của AB nên HA = HB và KA = KB.

Vì HA = HB > HK nên hai điểm A, B thuộc đường tròn (H; HB) và điểm K không thuộc đường tròn (H; HB).

Vì KA = KB nên hai điểm A, B thuộc đường tròn (K; KB).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì tam giác ABC vuông tại A có AF là đường trung tuyến nên AF = FB = FC. Do đó, ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn tâm F, bán kính BF.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai.

Vì tam giác ABC có AM là đường cao đồng thời là đường phân giác nên tam giác ABC cân tại A.

Do đó, AB = AC.

b) Sai.

Vì AB = AC > AM nên hai điểm B, C thuộc đường tròn (A; AC) và không thuộc đường tròn (A; AM).

c) Đúng.

Vì tam giác ABC cân tại A nên AM là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó.

Suy ra CM = MB.

d) Đúng.

Vì CM = MB nên hai điểm C, B cùng nằm trên đường tròn (M; MB).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Vì AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = BC$^{2}$ (32 + 42 = 52) nên DABC vuông tại A (Định lý Pythagore đảo).

b) Đúng.

Vì DABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên BC = 2AM.

c) Đúng.

Vì điểm N đối xứng với điểm A qua M nên AM = MN.

Mà AM = BM = $\frac{1}{2}$BC nên MA = MB = MC = MN.

d) Sai.

Vì MA = MB = MC = MN nên 4 điểm A, B, C, N nằm trên đường tròn (M; MC).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì BD là đường cao của DABC nên BD ^ AC tại D.

Do đó, DBDC vuông tại D.

Mà DI là đường trung tuyến của tam giác đó nên ID = IC = IB.

Vậy D nằm trên đường tròn (I; IC).

b) Đúng.

Vì BD ^ AC tại D nên DGDA vuông tại D.

Mà DF là đường trung tuyến của tam giác đó nên AF = DF = FG.

Do đó, điểm D nằm trên đường tròn (F; AF).

c) Sai.

Vì CE là đường cao của DABC nên CE ^ AB tại E.

Do đó, DBEC vuông tại E.

Mà EI là đường trung tuyến của tam giác đó nên IE = IC = IB.

Do đó, điểm E nằm trên đường tròn (F; AF).

Theo a) ta có: D nằm trên đường tròn (I; IC).

Vậy có 4 điểm nằm trên đường tròn (I; IC).

d) Đúng.

Vì CE ^ AB tại E nên DGEA vuông tại E.

Mà EF là đường trung tuyến của tam giác đó nên EF = AF = FG.

Do đó, điểm E nằm trên đường tròn (F; AF).

Theo b) ta có: E nằm trên đường tròn (F; AF).

Vậy có 4 điểm thuộc đường tròn (F; AF).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai.

Vì O là tâm của hình chữ nhật ABCD nên OA = OB = OC = OD.

b) Sai.

Vì OA = OB = OC = OD nên 4 điểm A, B, C, D thuộc đường tròn (O; OA).

c) Đúng.

Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC, OD nên OM = $\frac{1}{2}$OA, ON = $\frac{1}{2}$OB, OP = $\frac{1}{2}$OC, OQ = $\frac{1}{2}$OD.

Mà OA = OB = OC = OD nên OM = ON = OP = OQ.

d) Đúng.

Vì OM = ON = OP = OQ nên 4 điểm M, N, P, Q nằm trên đường tròn (O; MO).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MN là đường trung bình của DABC. Do đó, MN = $\frac{1}{2}$AC, MN // AC.

Vì P, Q lần lượt là trung điểm của DC, AD nên PQ là đường trung bình của DADC.

Do đó, PQ = $\frac{1}{2}$AC, PQ // AC.

Do đó, MN = PQ, MN // PQ.

b) Đúng.

Vì P, N lần lượt là trung điểm của DC, BC nên PN là đường trung bình của DDBC.

Do đó, NP // BD.

Vì MN // AC, AC ^ BD nên MN ^ BD.

Mà NP // BD nên MN ^ NP, suy ra $\widehat {{\rm{MNP}}} = 90^\circ$

Tứ giác MNPQ có: MN = PQ, MN // PQ nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Lại có: $\widehat {{\rm{MNP}}} = 90^\circ$ nên tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

c) Đúng.

Vì tứ giác MNPQ là hình chữ nhật, mà O là giao điểm của hai đường chéo MP và NQ nên OM = OP = ON = OQ.

d) Sai.

Vì OM = OP = ON = OQ nên bốn điểm M, P, N, Q cùng nằm trên đường tròn bán kính OQ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5

Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ^ BC tại H.

Do đó, tam giác ADH vuông tại H.

Suy ra điểm H thuộc đường tròn đường kính AD.

Vì E, F lần lượt là là hình chiếu vuông góc của D trên AB và AC nên DF ^ AC, DE ^ AB.

Do đó, tam giác DFA vuông tại F, tam giác DAE vuông tại E.

Suy ra, các điểm F, E thuộc đường tròn đường kính AD.

Vậy 5 điểm F, D, H, E, A thuộc đường tròn đường kính AD.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Vì ABCD là hình vuông, O là giao điểm của hai đường chéo nên AC ^ BD tại O.

Do đó, các tam giác AOB, BOC, COD, AOD vuông tại O.

Vì DAOB vuông tại O, OE là đường trung tuyến nên OE = $\frac{1}{2}$AB.

Chứng minh tương tự ta có: OF = $\frac{1}{2}$BC, OG = $\frac{1}{2}$DC, OH = $\frac{1}{2}$AD.

Mà AB = BC = CD = AD (vì tứ giác ABCD là hình vuông) nên OE = OF = OG = OH.

Do đó, 4 điểm E, F, G, H nằm trên đường tròn (O; OE).

Vậy trong các điểm E, F, G, H, M, N, có 4 điểm nằm trên đường tròn (O; OE).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 6

Vì G là giao điểm của 2 đường trung tuyến AE, CD của tam giác ABC nên G là trọng tâm của tam giác đó. Suy ra: GF = $\frac{1}{3}$BF, GD = $\frac{1}{3}$CD, GE = $\frac{1}{3}$AE.

Vì tam giác ABC đều nên AB = BC = AC. Do đó, GF = GD = GE.

Vì I là trung điểm của BG nên IG = $\frac{1}{2}$BG$= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$BF = $\frac{1}{3}$BF. Do đó, GF = IG.

Chứng minh tương tự ta có: GH = GD, GJ = GE.

Do đó, GF = GD = GE = IG = GH = GJ.

Suy ra, 6 điểm F, D, E, I, H, J thuộc đường tròn (G; FG).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Vì $\widehat {\rm{A}}:\widehat {\rm{B}}:\widehat {\rm{C}} = 9:5:4$ nên $\frac{{\widehat {\rm{A}}}}{9} = \frac{{\widehat {\rm{B}}}}{5} = \frac{{\widehat {\rm{C}}}}{4}$.

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{{\widehat {\rm{A}}}}{9} = \frac{{\widehat {\rm{B}}}}{5} = \frac{{\widehat {\rm{C}}}}{4} = \frac{{\widehat {\rm{A}} + \widehat {\rm{B}} + \widehat {\rm{C}}}}{{9 + 5 + 4}} = \frac{{180^\circ }}{{18}} = 10^\circ$.

Suy ra: $\widehat {\rm{A}} = 90^\circ$. Do đó, tam giác ABC vuông tại A.

Mà AO là đường trung tuyến của tam giác đó nên OA = OB = OC.

Vậy ba điểm A, B, C cùng điểm thuộc đường tròn tâm O, bán kính OC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Vì ABCD là hình thang cân (AD // BC) nên AB = CD = 60 m, AC = BD = 80 m.

Vì AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = BC$^{2}$ nên tam giác ABC vuông tại A (định lý Pythagore đảo).

Mà OA là đường trung tuyến của tam giác ABC nên OA = OB = OC (1).

Vì DB$^{2}$ + DC$^{2}$ = BC$^{2}$ nên tam giác DBC vuông tại D (định lý Pythagore đảo).

Mà OD là đường trung tuyến của tam giác DBC nên OD = OB = OC (2).

Từ (1) và (2) ta có: OA = OB = OC = OD.

Vậy 4 điểm A, B, C, D thuộc đường tròn (O; OA).