Bài tập Cách xác định mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương lớp 10 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B.

A. Ta có:

P: “Một tứ giác là hình vuông”.

Q: “Tứ giác đó có bốn cạnh bằng nhau”.

Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P được phát biểu như sau:

“Nếu một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau thì tứ giác đó là hình vuông”.

Ta thấy mệnh đề trên sai do một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau thì nó có thể là hình thoi chứ chưa chắc là hình vuông.

B. Ta có:

P: “Một tứ giác là hình thoi”.

Q: “Tứ giác đó có bốn cạnh bằng nhau”.

Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P được phát biểu như sau:

“Nếu một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau thì tứ giác đó là hình thoi”.

Ta thấy mệnh đề đúng vì một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau thì nó là hình thoi theo định nghĩa hình thoi.

C. Ta có:

P: “Một tứ giác là hình chữ nhật”.

Q: “Tứ giác đó có hai cặp cạnh đối bằng nhau”.

Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P được phát biểu như sau:

“Nếu một tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau thì tứ giác đó là hình chữ nhật”.

Ta thấy mệnh đề trên sai do một tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau thì nó có thể là hình bình hành chứ chưa chắc là hình chữ nhật.

D. Ta có:

P: “Một tứ giác là hình thoi”.

Q: “Tứ giác đó có hai đường chéo vuông góc với nhau ”.

Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P được phát biểu như sau:

“Nếu một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác đó là hình thoi”.

Ta thấy mệnh đề trên sai do một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau thì nó chưa chắc là hình thoi.

Đáp án đúng là: C.

Với:

P: “Hai số nguyên dương m, n đều không chia hết cho 9”.

Q: “Tích m.n không chia hết cho 9”.

Ta có thể phát biểu mệnh đề P ⇔ Q như sau:

“Hai số nguyên dương m, n đều không chia hết cho 9 khi và chỉ khi tích m.n không chia hết cho 9”.

Đáp án đúng là: D.

Xét mệnh đề: “x$^{2}$ – 1 chia hết cho 24 khi và chỉ khi x là một số nguyên tố lớn hơn 3”.

Đặt:

P: “x$^{2}$ – 1 chia hết cho 24”.

Q: “x là một số nguyên tố lớn hơn 3”.

Ta viết lại các mệnh đề ở đáp án như sau:

A. P tương đương với Q.

B. P là điều kiện cần và đủ để có Q.

C. P nếu và chỉ nếu Q.

D. P là điều kiện đủ để có Q.

Đối với mệnh đề P ⇔ Q, ta có thể phát biểu theo một số cách sau:

+ P tương đương Q;

+ P là điều kiện cần và đủ để có Q;

+ P nếu và chỉ nếu Q;

+ P khi và chỉ khi Q.

Ta thấy cách phát biểu ở câu D không nằm trong mấy cách phát biểu ở lý thuyết nên mệnh đề tương đương ở câu D sai.

Đáp án đúng là: A.

A. Xét mệnh đề: “ABC là tam giác đều ⇒ ABC là tam giác cân”.

Ta thấy mệnh đề trên đúng do một tam giác là tam giác đều thì nó cũng là tam giác cân.

- Xét mệnh đề đảo: “ABC là tam giác cân ⇒ ABC là tam giác đều”.

Ta thấy mệnh đề này sai vì tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau, tuy nhiên điều kiện để một tam giác là tam giác đều khi nó có ba cạnh. Do đó một tam giác cân chưa chắc đã là tam giác đều.

Do đó mệnh đề ở câu A sai.

B. Xét mệnh đề: “ABC là tam giác đều ⇒ tam giác ABC có ba cạnh bằng nhau”.

Vì một tam giác là tam giác đều thì nó có ba cạnh bằng nhau nên mệnh đề trên đúng.

- Xét mệnh đề đảo: “Tam giác ABC có ba cạnh bằng nhau ⇒ ABC là tam giác đều”.

Ta thấy mệnh đề này đúng vì nếu một tam giác có ba cạnh bằng nhau thì tam giác đó đều.

Do đó mệnh đề ở câu B đúng.

C. Xét mệnh đề: “ABC là tam giác đều ⇒ tam giác ABC cân và có một góc bằng 60°”.

Ta thấy mệnh đề này đúng vì đó là tính chất của một tam giác đều.

- Xét mệnh đề đảo: “Tam giác ABC cân và có một góc bằng 60° ⇒ ABC là tam giác đều”.

Mệnh đề này đúng vì một trong những dấu hiệu của một tam giác đều là tam giác đó cân và có một góc bằng 60°.

Do đó mệnh đề ở câu C đúng.

D. Xét mệnh đề: “ABC là tam giác đều ⇒ tam giác ABC có hai góc bằng 60°”.

Mệnh đề này đúng vì tam giác đều có ba góc bằng 60°.

Xét mệnh đề đảo: “Tam giác ABC có hai góc bằng 60° ⇒ ABC là tam giác đều”.

Mệnh đề này cũng đúng vì một tam giác có hai góc bằng 60° là một dấu hiệu của tam giác đều.

Do đó mệnh đề ở câu D đúng.

Đáp án đúng là: A.

(1) Ta có:

P: “Một số tự nhiên n chia hết cho 24”.

Q: “n chia hết cho 4 và 6”.

Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P được phát biểu như sau:

“Nếu một số tự nhiên n chia hết cho 4 và 6 thì nó chia hết cho 24”.

Ta thấy mệnh đề trên sai vì một số tự nhiên chia hết cho 4 và 6 chưa chắc nó đã chia hết cho 24.

Ví dụ: Số 12 chia hết cho cả 4 và 6, tuy nhiên nó không chia hết cho 24.

(2) Ta có:

P: “Mỗi số tự nhiên a, b chia hết cho 11”.

Q: “Tổng hai số a và b chia hết cho 11”.

Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P được phát biểu như sau:

“Nếu tổng hai số a và b chia hết cho 11 thì mỗi số tự nhiên a, b chia hết cho 11”.

Ta thấy mệnh đề trên sai vì tổng hai số a và b chia hết cho 11 thì mỗi số a và b chưa chắn đã chia hết cho 11.

Chẳng hạn a = 5, b = 6, a + b = 11.

Ta thấy tổng a + b = 11 chia hết cho 11, tuy nhiên 5 và 6 lại không chia hết cho 11.

(3) Ta có:

P: “Một tứ giác là hình thang cân”.

Q: “Hai đường chéo của nó bằng nhau”.

Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P được phát biểu như sau:

“Nếu hai đường chéo của một tứ giác bằng nhau thì tứ giác đó là hình thang cân”.

Ta thấy mệnh đề trên đúng vì một tứ giác có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân (theo dấu hiệu nhận biết).

Vì vậy có một mệnh đề đảo đúng.

Đáp án đúng là: B.

Xét mệnh đề: “Điều kiện cần và đủ để mỗi số nguyên a, b chia hết cho 7 là tổng bình phương của chúng chia hết cho 7”.

Đặt:

P: “Mỗi số nguyên a, b chia hết cho 7”.

Q: “Tổng bình phương của chúng chia hết cho 7”.

Ta viết lại các mệnh đề ở đáp án như sau:

A. Điều kiện đủ để có P là Q.

B. P khi và chỉ khi Q.

C. P kéo theo Q.

D. P là điều kiện cần để có Q.

Đối với mệnh đề P ⇔ Q, ta có thể phát biểu theo một số cách sau:

+ P tương đương Q;

+ P là điều kiện cần và đủ để có Q;

+ P nếu và chỉ nếu Q;

+ P khi và chỉ khi Q.

Ta thấy chỉ có cách phát biểu ở câu B tương đương với mệnh đề đã cho nên mệnh đề ở câu B là cách viết đúng.

Đáp án đúng là: D.

A. Ta có:

P: “Tổng a + b là số chẵn”.

Q: “a, b đều là số chẵn”.

- Xét mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu tổng a + b là số chẵn thì a, b đều là số chẵn”.

Ta thấy mệnh đề này sai do nếu tổng hai số là một số chẵn thì hai số đó không cần thiết phải đều chẵn. (1)

Chẳng hạn:

a + b = 6 thì a, b có thể nhận giá trị là a = 1, b = 5 đều là số lẻ.

- Xét mệnh đề đảo Q ⇒ P: “Nếu a, b đều là số chẵn thì tổng a + b là số chẵn”.

Ta thấy mệnh đề này đúng. (2)

Ví dụ:

a = 2, b = 6 đều là số chẵn và tổng a + b = 2 + 6 = 8 là số chẵn.

Từ (1) và (2) suy ra mệnh đề đã cho sai.

B. Ta có:

P: “Tích a.b là số chẵn”.

Q: “a, b đều là số chẵn”.

- Xét mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu tích a.b là số chẵn thì a, b đều là số chẵn”.

Ta thấy mệnh đề này sai do nếu tích hai số là một số chẵn thì hai số đó không cần thiết phải đều chẵn. (3)

Chẳng hạn:

a.b = 6 thì a, b có thể nhận giá trị là a = 2, b = 3 là một số chẵn và một số lẻ.

- Xét mệnh đề đảo Q ⇒ P: “Nếu a, b đều là số chẵn thì tích a.b là số chẵn”.

Ta thấy mệnh đề này đúng. (4)

Ví dụ:

a = 2, b = 4 đều là số chẵn và tổng a.b = 2.4 = 8 là số chẵn.

Từ (3) và (4) suy ra mệnh đề đã cho sai.

C. Ta có:

P: “Hai số a, b chia hết cho c”.

Q: “a + b chia hết cho c”.

- Xét mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu hai số a, b chia hết cho c thì a + b chia hết cho c”.

Ta thấy mệnh đề này đúng do nếu hai số đều chia hết cho một số thứ 3 thì tổng của hai số đó cũng chia hết cho số thứ 3. (5)

Chẳng hạn:

6 chia hết cho 2; 8 chia hết cho 2 thì 6 + 8 = 14 cũng chia hết cho 2.

- Xét mệnh đề đảo Q ⇒ P: “Nếu a + b chia hết cho c thì hai số a, b đều chia hết cho c”.

Ta thấy mệnh đề này sai do nếu tổng hai số chia hết cho một số thứ ba thì hai số chưa chắc đã chia hết cho số thứ 3. (6)

Ví dụ:

a = 3, b = 6.

⇒ a + b = 3 + 6 = 9 chia hết cho 9, tuy nhiên hai số a và b lại không chia hết cho 9.

Từ (5) và (6) suy ra mệnh đề đã cho sai.

D. Ta có:

P: “Tam giác ABC đều”.

Q: “AB = BC = AC”.

- Xét mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu tam giác ABC đều thì AB = BC = AC”.

Ta thấy mệnh đề này đúng vì một tam giác là tam giác đều thì tam giác đó sẽ có ba cạnh bằng nhau. (7)

- Xét mệnh đề đảo Q ⇒ P: “Nếu AB = BC = AC thì tam giác ABC đều”.

Ta thấy mệnh đề này đúng vì một tam giác có ba cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều. (8)

Từ (7) và (8) suy ra mệnh đề đã cho đúng.

Đáp án đúng là: C.

Xét mệnh đề “Nếu tứ giác là một hình thoi thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn”, ta có:

P: “Tứ giác là một hình thoi”.

Q: “Tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn”.

Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P được phát biểu như sau:

“Nếu một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn thì tứ giác đó là hình thoi”

Đối chiếu với các đáp án, ta thấy mệnh đề ở câu C là phù hợp nhất.

Đáp án đúng là: A.

A. Mệnh đề P ⇒ Q được phát biểu như sau:

“Nếu ABCD là hình vuông thì ABCD là hình chữ nhật”.

Mệnh đề trên đúng vì một tứ giác là hình vuông thì nó cũng là hình chữ nhật.

B. Mệnh đề Q ⇒ P được phát biểu như sau:

“Nếu ABCD là hình chữ nhật thì ABCD là hình vuông”.

Mệnh đề này sai do hình chữ nhật có hai cặp cạnh đối bằng nhau, còn hình vuông thì bốn cạnh phải bằng nhau, nên một tứ giác là hình chữ nhật thì nó chưa chắc đã là hình vuông.

C. Ta có mệnh đề $\overline{Q}$: “ABCD không phải là hình chữ nhật”.

Mệnh đề P ⇒ $\overline{Q}$ được phát biểu như sau:

“Nếu ABCD là hình vuông thì ABCD không phải là hình chữ nhật”.

Mệnh đề này sai vì một tứ giác là hình vuông thì nó cũng là hình chữ nhật.

D. Ta có mệnh đề $\overline{P}$: “ABCD không phải là hình vuông”.

Mệnh đề $\overline{P}$ ⇒ Q được phát biểu như sau:

“Nếu ABCD không phải là hình vuông thì ABCD là hình chữ nhật”.

Ta thấy mệnh đề trên sai do một tứ giác không phải là hình vuông thì nó có thể là hình khác chứ không nhất thiết là hình chữ nhật.

Đáp án đúng là: D.

A. Xét mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu x là số nguyên dương thì x$^{2}$ là số nguyên dương”.

Mệnh đề này đúng vì bình phương của một số nguyên dương là một số nguyên dương. (1)

Xét mệnh đề đảo Q ⇒ P: “Nếu x$^{2}$ là số nguyên dương thì x là số nguyên dương”.

Mệnh đề này sai do nếu x$^{2}$ là số nguyên dương thì x có thể là số nguyên dương hoặc số nguyên âm. (2)

Từ (1) và (2) nên mệnh đề ở cây A sai.

B. Mệnh đề Q ⇒ P được phát biểu như sau: “Nếu x$^{2}$ là số nguyên dương thì x là số nguyên dương”.

Mệnh đề này sai do nếu x$^{2}$ là số nguyên dương thì x có thể là số nguyên dương hoặc số nguyên âm.

C. Ta có mệnh đề $\overline{Q}$: “x$^{2}$ không phải là số nguyên dương”.

Mệnh đề P ⇒ $\overline{Q}$ được phát biểu như sau: “Nếu x là số nguyên dương thì x$^{2}$ không phải là số nguyên dương”.

Vì x$^{2}$luôn luôn dương nên mệnh đề trên sai.

D. Mệnh đề P ⇒ Q được phát biểu như sau: “Nếu x là số nguyên dương thì x$^{2}$ là số nguyên dương”.

Mệnh đề này đúng vì bình phương của một số nguyên dương là một số nguyên dương.

Đáp án đúng là: D

Phương án A: Mệnh đề đảo là: “Nếu hai tam giác có diện tích bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau”. Đây là một mệnh đề sai vì hai tam giác có diện tích bằng nhau chưa chắc đã bằng nhau.

Phương án B: Mệnh đề đảo là: “Nếu số tự nhiên n là số chẵn thì n có chữ số tận cùng là 4”. Đây là một mệnh đề sai, ví dụ: n = 2 là số chẵn nhưng tận cùng bằng 2.

Phương án C: Mệnh đề đảo là: “Nếu tổng a + b chia hết cho 5 thì a và b cùng chia hết cho 5”. Đây là một mệnh đề sai, ví dụ a = 2, b = 3 có a + b = 5 chia hết cho 5 nhưng cả 2 và 3 đều không chia hết cho 5.

Phương án D: Mệnh đề đảo là: “Nếu một số tự nhiên n chia hết cho cả 3 và 4 thì n chia hết cho 12”. Đây là một mệnh đề đúng vì 3 và 4 nguyên tố cùng nhau nên nếu n chia hết cho cả 3 và 4 thì n chia hết cho bội chung nhỏ nhất của 3 và 4 là 12.

Đáp án đúng là: A

Mệnh đề A sai vì:

Ta có: Mệnh đề P: “ABC là tam giác đều” và Q: “Tam giác ABC cân”.

Mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu ABC là tam giác đều thì tam giác ABC cân” là một mệnh đề đúng vì ABC là tam giác đều ⇒ AB = AC = BC ⇒ tam giác ABC cân.

Mệnh đề Q ⇒ P: “Nếu tam giác ABC cân thì tam giác ABC là tam giác đều” là một mệnh đề sai, vì tam giác cân chỉ có hai cạnh bằng nhau, chưa chắc đã có ba cạnh bằng nhau để trở thành tam giác đều.

Vì Q ⇒ P sai nên mệnh đề “ABC là tam giác đều ⇔ Tam giác ABC cân” là mệnh đề sai.

Các mệnh đề B, C, D đều đúng theo các dấu hiệu nhận biết tam giác đều.

Đáp án đúng là: C

Mệnh đề ban đầu có dạng P ⇒ Q. Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P.

Do đó, mệnh đề đảo Q ⇒ P phát biểu là: “Nếu tứ giác ABCD có bốn góc vuông thì tứ giác ABCD là hình vuông.”

Đáp án đúng là: D

Mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau” là một mệnh đề đúng vì hình vuông vừa có các tính chất của hình chữ nhật, vừa có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Mệnh đề đảo Q ⇒ P: “Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác ABCD là hình vuông” là một mệnh đề đúng theo dấu hiệu nhận biết hình vuông.

Vì cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng nên mệnh đề P ⇔ Q là mệnh đề đúng.

Đáp án đúng là: A

Xét mệnh đề đảo của từng mệnh đề đã cho:

(1): Mệnh đề đảo là “Nếu tam giác ABC có ba góc bằng 60° thì tam giác ABC là tam giác đều”. Đây là mệnh đề đúng theo dấu hiệu nhận biết tam giác đều.

(2): Mệnh đề đảo là “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 3 thì n chia hết cho 9”. Đây là mệnh đề sai, ví dụ n = 6 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.

(3): Mệnh đề đảo là “Nếu hai đường thẳng a và b song song với nhau thì chúng cùng song song với đường thẳng phân biệt c”. Mệnh đề này sai, ví dụ: a ∥ b, lấy đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b thì c không song song với a và b.

Vậy có 1 mệnh đề có mệnh đề đảo đúng.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Mệnh đề P ⇒ Q phát biểu dạng “Nếu P thì Q”, tức là “Nếu số tự nhiên n có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì số tự nhiên n chia hết cho 9”.

b) Đúng. Theo định nghĩa, mệnh đề đảo của P ⇒ Q là Q ⇒ P.

c) Sai. Mệnh đề đảo Q ⇒ P là: “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 9 thì số tự nhiên n có tổng các chữ số chia hết cho 9”. Đây là mệnh đề đúng, vì đây là dấu hiệu chia hết cho 9.

d) Đúng. Vì cả P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng nên P ⇔ Q đúng, do đó P là điều kiện cần và đủ để có Q.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Mệnh đề X ⇒ Y phát biểu là: “Nếu tam giác ABC có ba cạnh bằng nhau thì tam giác ABC có ba góc bằng nhau”.

b) Đúng. Mệnh đề đảo của X ⇒ Y là Y ⇒ X.

c) Sai. Mệnh đề đảo Y ⇒ X là: “Nếu tam giác ABC có ba góc bằng nhau thì tam giác ABC có ba cạnh bằng nhau”. Mệnh đề này đúng vì tam giác ABC có 3 góc bằng nhau là tam giác đều, do đó tam giác ABC 3 cạnh bằng nhau.

d) Đúng. Do X ⇒ Y đúng và Y ⇒ X đúng nên mệnh đề tương đương X ⇔ Y đúng.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Mệnh đề A ⇒ B được phát biểu là: “Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau”.

Theo tính chất của hình chữ nhật, một hình chữ nhật luôn có hai đường chéo bằng nhau, do đó đây là một mệnh đề đúng.

b) Đúng. Mệnh đề đảo B ⇒ A phát biểu là “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật”.

c) Sai. Mệnh đề đảo B ⇒ A là một mệnh đề sai vì tứ giác có hai đường chéo bằng nhau chưa chắc là hình chữ nhật, như hình thang cân không phải hình chữ nhật nhưng có hai đường chéo bằng nhau.

d) Sai. Mệnh đề tương đương A ⇔ B chỉ đúng khi cả hai mệnh đề A ⇒ B và B ⇒ A đều đúng.

Mà theo câu c), mệnh đề đảo B ⇒ A là một mệnh đề sai, nên mệnh đề tương đương A ⇔ B là một mệnh đề sai.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Mệnh đề kéo theo P ⇒ Q có dạng “Nếu P thì Q”, do đó giả thiết P là mệnh đề “Số thực a > b” và kết luận Q là mệnh đề “a + c > b + c với mọi số thực c”.

b) Đúng. Mệnh đề đảo của mệnh đề kéo theo P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P, tức là “Nếu a + c > b + c với mọi số thực c thì số thực a > b”.

c) Sai. Với mọi số thực c, nếu ta có: a + c > b + c, cộng hai vế với (–c) ⇒ a > b.

Do đó mệnh đề đảo Q ⇒ P là một mệnh đề đúng.

d) Đúng. Ta có: Theo tính chất cơ bản của bất đẳng thức, khi cộng cùng một số thực c vào hai vế của bất đẳng thức a > b ta được: a + c > b + c, do đó mệnh đề kéo theo P ⇒ Q là một mệnh đề đúng.

Vì mệnh đề P ⇒ Q đúng và mệnh đề đảo Q ⇒ P đúng, nên mệnh đề tương đương P ⇔ Q là mệnh đề đúng.

Do đó, P là điều kiện cần và đủ để có Q.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Cụm từ “khi và chỉ khi” được sử dụng để liên kết hai mệnh đề P và Q, do đó phát biểu “Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau” là một mệnh đề tương đương có dạng P ⇔ Q.

b) Đúng. Mệnh đề tương đương P ⇔ Q được cấu thành từ hai mệnh đề kéo theo P ⇒ Q và Q ⇒ P.

Mệnh đề P ⇒ Q phát biểu dưới dạng “Nếu P thì Q”, tức là: “Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì tứ giác ABCD là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau”.

c) Sai. Mệnh đề Q ⇒ P phát biểu là: “Nếu tứ giác ABCD là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình vuông”.

Theo dấu hiệu nhận biết hình vuông, hình thoi có hai đường chéo bằng nhau chính là hình vuông, do đó mệnh đề Q ⇒ P là một mệnh đề đúng.

d) Đúng. Mệnh đề kéo theo P ⇒ Q là mệnh đề đúng vì hình vuông vừa là hình thoi vừa có hai đường chéo bằng nhau.

Theo câu c), mệnh đề đảo Q ⇒ P là một mệnh đề đúng. Vì cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng nên mệnh đề tương đương P ⇔ Q là một mệnh đề đúng.

Đáp án: 1

Xét mệnh đề đảo của từng phát biểu:

(1): Mệnh đề đảo là “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 5 thì n chia hết cho 10”.

Mệnh đề này sai vì n chia hết cho 5 nhưng chưa chắc đã chia hết cho 10, ví dụ: n = 15 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 10.

(2): Mệnh đề đảo là “Nếu tam giác ABC có hai góc ở đáy bằng nhau thì tam giác ABC cân”.

Mệnh đề này đúng theo dấu hiệu nhận biết tam giác cân.

(3): Mệnh đề đảo là “Nếu hai số thực a, b thỏa mãn a$^{2}$ = b$^{2}$ thì a = b”.

Mệnh đề này sai, ví dụ: a = 1, b = –1 ⇒ a$^{2}$ = b$^{2}$ = 1, nhưng a ≠ b.

(4): Mệnh đề đảo là “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác ABCD là hình thoi”.

Mệnh đề này sai vì tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau chưa chắc đã là hình thoi.

Vậy trong 4 phát biểu trên, chỉ có 1 phát biểu có mệnh đề đảo đúng.

Đáp án: 4

Do P ⇒ Q đúng nên: P là điều kiện đủ để có Q và Q là điều kiện cần để có P. Do đó, phát biểu (1), (2) đúng.

Do Q ⇒ P đúng nên: Q là điều kiện đủ để có P. Do đó, phát biểu (4) đúng.

Do cả P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng nên mệnh đề tương đương P ⇔ Q đúng, do đó P là điều kiện cần và đủ để có Q nên phát biểu (3) đúng.

Vậy cả 4 phát biểu trên đều là các phát biểu đúng.

Đáp án: 3

Ta có:

(1): “Tam giác ABC cân tại A khi và chỉ khi AB = AC”.

P ⇒ Q: “Nếu tam giác ABC cân tại A thì AB = AC” là mệnh đề đúng theo định nghĩa tam giác cân.

Q ⇒ P: “Nếu tam giác ABC có AB = AC thì tam giác ABC cân tại A” là mệnh đề đúng.

Do cả P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng nên mệnh đề (1) là mệnh đề đúng.

(2): “Số tự nhiên n là số lẻ khi và chỉ khi n$^{2}$ là số lẻ”.

P ⇒ Q: “Nếu số tự nhiên n là số lẻ thì n$^{2}$ là số lẻ” là mệnh đề đúng vì tích của hai số lẻ là một số lẻ.

Q ⇒ P: “Nếu n$^{2}$ là số lẻ thì số tự nhiên n là số lẻ” là mệnh đề đúng vì nếu n là một số chẵn thì n$^{2}$ sẽ ra kết quả là số chẵn.

Do cả P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng nên mệnh đề (2) là mệnh đề đúng.

(3): “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi tứ giác ABCD có ba góc vuông”.

P ⇒ Q: “Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có ba góc vuông” là mệnh đề đúng.

Q ⇒ P: “Nếu tứ giác ABCD có ba góc vuông thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật” là mệnh đề đúng theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.

Do cả P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng nên mệnh đề (3) là mệnh đề đúng.

(4): “Số thực x > 3 khi và chỉ khi x$^{2}$ > 9”.

P ⇒ Q: “Nếu x > 3 thì x$^{2}$> 9” là mệnh đề đúng.

Q ⇒ P: “Nếu x$^{2}$ > 9 thì x > 3” là mệnh đề sai vì từ x$^{2}$ > 9 ⇒ $[\begin{matrix}x>3 \\ x<-3\end{matrix}$.

Vì Q ⇒ P sai nên mệnh đề (4) là mệnh đề sai.

Vậy trong 4 mệnh đề tương đương trên, có 3 mệnh đề đúng.

Đáp án: 2

(1): Nếu ABCD là hình bình hành thì AB ∥ CD và AD ∥ BC. Ngược lại, nếu AB ∥ CD và AD ∥ BC thì ABCD là hình bình hành.

Do đó, phát biểu (1) đúng.

(2): “Nếu tam giác ABC cân tại A thì hai đường cao xuất phát từ B và C bằng nhau” là mệnh đề đúng. Ngược lại, “Nếu tam giác ABC có hai đường cao xuất phát từ B và C bằng nhau thì tam giác ABC cân tại A” là mệnh đề đúng theo dấu hiệu nhận biết tam giác cân.

Do đó, phát biểu (2) đúng.

Phát biểu (3): “Nếu x > 0 thì x$^{2}$ > 0” là mệnh đề đúng. Ngược lại, “Nếu x$^{2}$ > 0 thì x > 0” là mệnh đề sai vì từ x$^{2}$ > 0 ⇒ x ≠ 0, ví dụ: chọn x = –2, ta có: (–2)$^{2}$ = 4 > 0 nhưng x = –2 < 0.

Do đó, phát biểu (3) sai.

(4): “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 5 thì n có chữ số tận cùng bằng 5” là mệnh đề sai vì một số chia hết cho 5 có thể có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5. Ngược lại, “Nếu số tự nhiên n có chữ số tận cùng bằng 5 thì n chia hết cho 5” là mệnh đề đúng.

Do đó, phát biểu (4) sai.

Vậy có 2 phát biểu là khẳng định đúng.

Đáp án: 3

(1): Mệnh đề đảo là “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 2 và 3 thì n chia hết cho 6”.

⇒ Đây là mệnh đề đúng vì 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau, do đó số chia hết cho cả 2 và 3 thì phải chia hết cho 6.

(2): Mệnh đề đảo là “Nếu tam giác ABC có hai góc bằng 60° thì tam giác ABC là tam giác đều”.

⇒ Đây là mệnh đề đúng vì tam giác ABC có hai góc bằng 60° thì góc còn lại bằng 180° – 60° – 60° = 60° ⇒ ∆ABC là tam giác đều.

(3): Mệnh đề đảo là: “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì tứ giác ABCD là hình bình hành”.

⇒ Đây là mệnh đề đúng theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành.

Vậy cả 3 phát biểu trên đều có mệnh đề đảo là mệnh đề đúng.