Bài tập Cách sử dụng các kí hiệu với mọi, tồn tại lớp 10 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B.

Ta có mệnh đề “∀x ∈ ℝ, x < 3 ⇒ x$^{2}$ < 9” được phát biểu như sau:

“Với mọi số thực x mà nếu số đó bé hơn 3 thì bình phương của nó bé hơn 9”.

Đối chiếu với các đáp án, ta thấy phương án B là hợp lý nhất.

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

4x$^{2}$ – 1 = 0 (*) ⇔ x$^{2}$ = $\frac{1}{4}$ ⇔ x = $\frac{1}{2}$ hoặc x = $\frac{-1}{2}$.

Ta thấy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, hay nói cách khác phương trình (*) tồn tại hai giá trị của x là x = $\frac{1}{2}$ và x = $\frac{-1}{2}$ thỏa mãn.

Vì vậy ta dùng kí hiệu ∃ cho mệnh đề trên.

Đáp án đúng là: D.

Ta có :

+ Phủ định của “mọi” là “có ít nhất”.

+ Phủ định của “chia hết” là “không chia hết”.

Do đó mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là “Có ít nhất một số chẵn không chia hết cho 2”.

Đáp án đúng là: A.

A. Ta có:

x$^{2}$ – 4 = 0 (*) ⇔ x$^{2}$ = 4 ⇔ x = 2 hoặc x = – 2.

Ta thấy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, hay nói cách khác phương trình (*) tồn tại hai giá trị nguyên của x là x = 2 và x = – 2 thỏa mãn.

Do đó mệnh đề ở câu A đúng.

B. Giả sử với x = 0 thì x$^{2}$ + 1 = 0$^{2}$ + 1 = 1 không chia hết cho 3.

Do đó mệnh đề trên dùng kí hiệu “với mọi” là sai.

Vì vậy mệnh đề ở câu B sai.

C. Ta giả sử với x = 0.

⇒ x$^{2}$ = 0$^{2}$ = 0 = x.

Do đó mệnh đề trên dùng kí hiệu “với mọi” là sai.

Vì vậy mệnh đề ở câu C sai.

D. Ta có:

x$^{2}$ + 1 = 0 (**) ⇔ x$^{2}$ = – 1 (vô nghiệm vì x$^{2}$ luôn lớn hơn hoặc bằng 0).

Suy ra không có giá trị nguyên x nào thỏa mãn phương trình (**).

Do đó mệnh đề ở câu D sai.

Đáp án đúng là: B.

- Xét mệnh đề A, ta có:

x$^{2}$ – 4 = 0 ⇔ x$^{2}$ = 4 ⟺ x = 2 hoặc x = – 2.

Ta thấy phương trình x$^{2}$ – 4 = 0 có hai nghiệm là x = 2 và x = – 2, hay nói cách khác là có hai giá trị để x$^{2}$ – 4 bằng 0.

Do đó mệnh đề A dùng kí hiệu “với mọi” là sai.

Vậy mệnh đề A sai.

- Xét mệnh đề B, ta có:

x$^{2}$ = x ⇔ x$^{2}$ – x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.

Ta thấy phương trình x$^{2}$ = x có hai nghiệm phân biệt, hay nói cách khác phương trình x$^{2}$ = x tồn tại hai giá trị nguyên của x là x = 0 và x = 1 thỏa mãn.

Do đó mệnh đề B đúng.

Vậy mệnh đề A sai, mệnh đề B đúng.

Đáp án đúng là: C.

Ta có mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” được phát biểu như sau:

“Có một số bạn học lớp 10A1 đạt học sinh giỏi”.

Đối chiếu các đáp án, ta thấy đáp án C là phù hợp nhất.

Đáp án đúng là: A.

Mệnh đề “∀x ∈ ℤ, x$^{2}$ + 1 > 0” được phát biểu như sau:

Với mọi số nguyên x, ta có x$^{2}$ + 1 luôn lớn hơn 0.

Đối chiếu các đáp án, ta thấy đáp án A là phù hợp nhất.

Đáp án đúng là: D.

A. Mệnh đề “∀x ∈ ℕ, x ≤ 2x” được phát biểu như sau:

“Với mọi số tự nhiên x, ta luôn có bất phương trình x ≤ 2x”.

Ta thấy mệnh đề này đúng vì mọi số tự nhiên x luôn thỏa mãn x ≤ 2x.

B. Mệnh đề “∀x ∈ ℝ, $\sqrt{x}$ ≥ 0” được phát biểu như sau:

“Với mọi số thực x thì căn bậc hai số học của số đó luôn lớn hơn hoặc bằng 0”.

Mệnh đề này đúng vì căn bậc hai số học của một số luôn lớn hơn hoặc bằng 0.

C. Mệnh đề “∃x ∈ ℕ, x$^{2}$ = x” được phát biểu như sau:

“Tồn tại ít nhất một số tự nhiên x để bình phương của một số bằng chính số đó”.

Ta có:

x$^{2}$ = x ⇔ x$^{2}$ – x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.

Ta thấy phương trình x$^{2}$ = x có hai nghiệm phân biệt, hay nói cách khác phương trình x$^{2}$ = x tồn tại hai giá trị của x là x = 0 và x = 1 thỏa mãn, chính là tồn tại số tự nhiên để bình phương của nó bằng chính nó.

Do đó mệnh đề ở câu C đúng.

D. Mệnh đề “∀x ∈ ℝ, x > 0” được phát biểu như sau:

“Mọi số thực x luôn luôn lớn hơn 0”.

Mệnh đề này sai vì số thực x có thể âm hoặc bằng 0.

Đáp án đúng là: D.

Ta có:

+ Phủ định của “∀” là “∃”.

+ Phủ định của “≥” là “<”.

Do đó mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho là: “∃x ∈ ℝ, x$^{3}$ – 5x + 6 < 0”.

Đáp án đúng là: B.

(1) Thay x = – 1 vào mệnh đề (1) ta có:

|– 1| > 1 ⇒ – 1 > 1 (vô lý).

Do đó mệnh đề (1) sai.

(2) Ta có:

2x$^{2}$ – 8 = 0 (*) ⇔ 2x$^{2}$ – 8 ⇔ x$^{2}$ = 4 ⇔ x = 2 hoặc x = – 2.

Ta thấy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, hay nói cách khác phương trình (*) tồn tại hai giá trị nguyên của x là x = 2 và x = – 2 thỏa mãn.

Do đó mệnh đề (2) đúng.

(3) Thay x = 3 vào mệnh đề (3) ta có:

2$^{3}$ + 1 = 8 + 1 = 9.

Ta thấy 9 không phải là số nguyên tố vì số nguyên tố là số chỉ chia hết cho 1 và chính nó nên mệnh đề (3) sai.

Đáp án đúng là: B

Kí hiệu ∀x ∈ ℝ là: “Với mọi số thực x”.

Mệnh đề “x > 5 ⇒ x$^{2}$ > 25” phát biểu là: “nếu x lớn hơn 5 thì bình phương của x lớn hơn 25”.

⇒ Mệnh đề trên được phát biểu là: “Với mọi số thực x, nếu x lớn hơn 5 thì bình phương của nó lớn hơn 25”.

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình: 9x$^{2}$ – 4 = 0 ⇔ x$^{2}$ = $\frac{4}{9}$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3}\\x = - \frac{2}{3}\end{array} \right.$ ∈ ℝ.

Nếu điền ∀, mệnh đề trở thành: “∀x ∈ ℝ, 9x$^{2}$ – 4 = 0”. Mệnh đề này sai vì chọn x = 0 ∈ ℝ thì 9 ⋅ 0$^{2}$ – 4 = –4 ≠ 0.

Nếu điền ∃, mệnh đề trở thành: “∃x ∈ ℝ, 9x$^{2}$ – 4 = 0”. Mệnh đề này đúng vì tồn tại x = $\frac{2}{3}$hoặc x = $- \frac{2}{3}$ ∈ ℝ thỏa mãn đề bài.

Do đó, kí hiệu thỏa mãn để mệnh đề nhận giá trị đúng là ∃.

Đáp án đúng là: B

Mệnh đề ban đầu có dạng: “Tồn tại x thuộc tập hợp A sao cho có tính chất P(x)”.

⇒ Mệnh đề phủ định của mệnh đề này có dạng: “Mọi x thuộc tập hợp A sao cho không có tính chất P(x)”.

Do đó, mệnh đề phủ định của mệnh đề “Có ít nhất một số tự nhiên chia hết cho 5” là: “Mọi số tự nhiên đều không chia hết cho 5”.

Đáp án đúng là: C

Xét từng phương án:

Phương án A: Ta có: x$^{2}$ + 4 = 0 ⇔ x$^{2}$ = –4 ⇒ Phương trình vô nghiệm trên ℤ. Do đó, mệnh đề ở phương án A là mệnh đề sai.

Phương án B: Chọn x = 0 ∈ ℤ, ta có: x$^{2}$ + 2 = 0$^{2}$ + 2 = 2 không chia hết cho 4. Do đó, mệnh đề ở phương án B là mệnh đề sai.

Phương án C: Xét phương trình: x$^{2}$ – 9 = 0 ⇔ x$^{2}$ = 9 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 3\end{array} \right.$∈ ℤ

⇒ Tồn tại số nguyên x thỏa mãn x$^{2}$ – 9 = 0. Do đó, mệnh đề ở phương án C là mệnh đề đúng.

Phương án D: Chọn x = 0 ∈ ℤ, ta có: 0$^{2}$ = 0 không lớn hơn 2 · 0 = 0. Do đó, mệnh đề ở phương án D là mệnh đề sai.

Đáp án đúng là: B

Xét mệnh đề A: “∀x ∈ ℝ: x$^{2}$ – 9 ≠ 0”

Chọn x = 3 ∈ ℝ, ta có: 3$^{2}$ – 9 = 9 – 9 = 0.

Do đó, không phải với mọi số thực x thì x$^{2}$ – 9 ≠ 0. Vậy mệnh đề A là mệnh đề sai.

Xét mệnh đề B: “∃x ∈ ℝ: x$^{2}$ = 2x”

Xét phương trình x$^{2}$ = 2x ⇔ x$^{2}$ – 2x = 0 ⇔ x(x – 2) = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$

Vì x = 2 ∈ ℝ hoặc x = 0 ∈ ℝ thỏa mãn đẳng thức 2$^{2}$ = 2 · 2 nên tồn tại số thực x để x$^{2}$ = 2x.

Do đó, mệnh đề B là mệnh đề đúng.

Vậy A sai, B đúng.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Ký hiệu ∀x ∈ ℝ nghĩa là mọi số thực x.

Do đó mệnh đề A được phát biểu là: “Mọi số thực x đều thỏa mãn x$^{2}$ – 5x + 6 = 0”.

b) Đúng. Phủ định của ∃ là ∀ và phủ định của “=“ là “≠”.

Vậy $\overline B$: “∀x ∈ ℝ, x$^{2}$ – 5x + 6 ≠ 0”.

c) Sai. Ta chọn x = 0 ∈ ℝ, thay vào ta có: 0$^{2}$ – 5 ⋅ 0 + 6 = 6 ≠ 0 ⇒ Không thỏa mãn.

Do đó mệnh đề A là mệnh đề sai.

d) Sai. Phương trình x$^{2}$ – 5x + 6 = 0 có hai nghiệm x = 2 và x = 3.

Vì x = 2 ∈ ℝ thỏa mãn nên mệnh đề B đúng, do đó mệnh đề phủ định $\overline B$ là mệnh đề sai.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ký hiệu ∀ là “với mọi” hoặc “bất kỳ”.

Do đó, mệnh đề được phát biểu là bất kỳ số thực x nào cũng làm cho biểu thức x$^{2}$ + 2x + 3 nhận giá trị dương.

b) Sai. Phủ định của bất đẳng thức “>“ phải là “≤”.

Do đó phủ định đúng của mệnh đề phải là $\overline M$: “∃x ∈ ℝ, x$^{2}$ + 2x + 3 ≤ 0”.

c) Đúng. Ta có: x$^{2}$ + 2x + 3 = (x$^{2}$ + 2x + 1) + 2 = (x + 1)$^{2}$ + 2.

Vì (x + 1)$^{2}$ ≥ 0 ∀x ∈ ℝ nên (x + 1)$^{2}$ + 2 ≥ 2 > 0 ∀x ∈ ℝ. Vậy mệnh đề M đúng.

d) Sai. Vì mệnh đề M là mệnh đề đúng nên phủ định của nó là $\overline M$ phải là mệnh đề sai.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Khi X = ℝ, ký hiệu ∃x ∈ ℝ thể hiện phát biểu “Có ít nhất một số thực x”.

Do đó, mệnh đề H(ℝ) được phát biểu là: “Có ít nhất một số thực x sao cho 2x + 1 = 0”.

b) Đúng. Ta có: 2x + 1 = 0 ⇔ 2x = –1 ⇔ x = $- \frac{1}{2}$.

Vậy phương trình 2x + 1 = 0 có nghiệm x = $- \frac{1}{2}$.

c) Sai. Nghiệm duy nhất của phương trình 2x + 1 = 0 là x = $- \frac{1}{2}$.

Do $- \frac{1}{2}$ ∉ ℤ nên không tồn tại số nguyên x nào thỏa mãn phương trình. Vậy mệnh đề H(ℤ) sai.

d) Sai. Phương trình 2x + 1 = 0 có nghiệm x = $- \frac{1}{2}$.

Vì $- \frac{1}{2}$ ∈ ℚ nên mệnh đề H(ℚ) là mệnh đề đúng.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Phủ định của “với mọi n ∈ ℕ, không chia hết” là “tồn tại n ∈ ℕ, chia hết”.

Do đó, mệnh đề phủ định của P là mệnh đề $\overline P$: “∃n ∈ ℕ, n$^{2}$ + 1 chia hết cho 3”.

b) Đúng. Phủ định của “tồn tại n ∈ ℕ, chia hết” là “với mọi n ∈ ℕ, không chia hết”.

Do đó, mệnh đề phủ định của Q là mệnh đề $\overline Q$: “∀n ∈ ℕ, n$^{2}$ + 1 không chia hết cho 4”.

c) Sai. Ta có, với mọi số tự nhiên n:

Nếu n chia hết cho 3 thì n = 3k ⇒ n$^{2}$ + 1 = 9k$^{2}$ + 1 chia 3 dư 1.

Nếu n không chia hết cho 3 thì:

n = 3k ± 1 ⇒ n$^{2}$ + 1 = (3k ± 1)$^{2}$+ 1 = 9k$^{2}$ ± 6k + 2 chia 3 dư 2.

Do đó n$^{2}$ + 1 luôn không chia hết cho 3 với mọi n ∈ ℕ. Vậy P là mệnh đề đúng.

d) Sai. Xét các trường hợp của n ∈ ℕ:

Nếu n chẵn thì n$^{2}$ chia hết cho 4 ⇒ n$^{2}$ + 1 chia 4 dư 1.

Nếu n lẻ ⇒ n = 2k + 1 ⇒ n$^{2}$ + 1 = 4k$^{2}$ + 4k + 2 chia 4 dư 2.

Vậy không tồn tại n ∈ ℕ nào để n$^{2}$ + 1 chia hết cho 4, do đó Q là mệnh đề sai.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Phủ định của ∀ là ∃, phủ định của dấu “>“ là dấu “≤”.

Do đó, mệnh đề phủ định của K là mệnh đề $\overline K$: “∃x ∈ ℝ, x$^{2}$ – mx + 1 ≤ 0”.

b) Đúng. Khi m = 1, ta có: x$^{2}$ – x + 1 = ${\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2}$ + $\frac{3}{4}$.

Do ${\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2}$ ≥ 0 ⇒ ${\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2}$ + $\frac{3}{4}$ ≥ $\frac{3}{4}$ > 0 ∀x ∈ ℝ.

Vậy khi m = 1, x$^{2}$ – x + 1 = ${\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2}$ + $\frac{3}{4}$ > 0 với mọi x ∈ ℝ

c) Sai. Khi m = 2, biểu thức là: x$^{2}$ – 2x + 1 = (x – 1)$^{2}$.

Mà tại x = 1, ta có: (1 – 1)$^{2}$ = 0 không lớn hơn 0. Do đó mệnh đề K sai khi m = 2.

d) Sai. Khi m = 3, mệnh đề K trở thành: "∀x ∈ ℝ, x$^{2}$ – 3x + 1 > 0".

Chọn x = 2 ∈ ℝ, thay vào biểu thức ta có: 2$^{2}$ – 3 · 2 + 1 = 4 – 6 + 1 = –1 < 0.

Vì tồn tại x = 2 làm cho biểu thức không lớn hơn 0 nên mệnh đề K là mệnh đề sai khi m = 3.

Đáp án: 2

Mệnh đề P(m) là mệnh đề đúng khi và chỉ khi phương trình x$^{2}$ – 2(m – 1)x + m$^{2}$ – 3 = 0 có nghiệm thực.

Điều kiện để phương trình bậc hai trên có nghiệm thực là Δ' ≥ 0.

Ta có: Δ' = (m – 1)$^{2}$ – (m$^{2}$ – 3) = m$^{2}$ – 2m + 1 – m$^{2}$ + 3 = 4 – 2m.

Bất phương trình Δ' ≥ 0 ⇔ 4 – 2m ≥ 0 ⇔ 2m ≤ 4 ⇔ m ≤ 2.

Theo bài ra, m là số nguyên dương và m ≤ 10, do đó m ∈ {1, 2}.

Vậy có 2 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn.

Đáp án: 5

Mệnh đề Q(a) là mệnh đề đúng khi và chỉ khi bất phương trình x$^{2}$ + 4x + a – 1 ≥ 0 đúng với mọi x ∈ ℝ.

Ta có: x$^{2}$ + 4x + a – 1 = (x + 2)$^{2}$ + a – 5.

Vì (x + 2)$^{2}$ ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ nên (x + 2)$^{2}$ + a – 5 ≥ a – 5 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức x$^{2}$ + 4x + a – 1 trên ℝ bằng a – 5, dấu “=“ xảy ra

⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = –2

Do đó, biểu thức luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x ∈ ℝ khi và chỉ khi giá trị nhỏ nhất của nó không âm: a – 5 ≥ 0 ⇔ a ≥ 5.

Vậy giá trị nhỏ nhất của tham số a để Q(a) đúng là 5.

Đáp án: 2

Xét tính đúng sai của từng mệnh đề:

(1) “∀x ∈ ℝ, $\sqrt {{x^2}}$ = x” là mệnh đề sai.

Chọn x = –5 ∈ ℝ, ta có: $\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}}$ = $\sqrt {25}$ = 5 ≠ –5. Do đó không phải mọi số thực x đều thỏa mãn $\sqrt {{x^2}}$ = x.

(2) “∃x ∈ ℝ, x$^{2}$ + 12$^{2}$ = 13$^{2}$” là mệnh đề đúng.

Ta có: x$^{2}$ + 12$^{2}$ = 13$^{2}$⇔ x$^{2}$ + 144 = 169 ⇔ x2 = 25 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 5\end{array} \right.$.

Với x = 5 ∈ ℝ thỏa mãn 5$^{2}$ + 12$^{2}$ = 13$^{2}$

Với x = –5 ∈ ℝ thỏa mãn (–5)$^{2}$ + 12$^{2}$ = 13$^{2}$

Do đó, tồn tại số thực x thỏa mãn đẳng thức.

(3) “∀x ∈ ℝ, x$^{2}$ + 1 > 0” là mệnh đề đúng.

Vì với mọi số thực x ∈ ℝ, ta có: x$^{2}$ ≥ 0 ⇒ x$^{2}$ + 1 ≥ 1 > 0.

(4) “∃x ∈ ℤ, x$^{2}$ + 3 = 0” là mệnh đề sai.

Vì với mọi số nguyên x ∈ ℤ, ta có: x$^{2}$ ≥ 0 ⇒ x$^{2}$ + 3 ≥ 3 > 0.

Do đó phương trình x$^{2}$ + 3 = 0 vô nghiệm trên ℤ, không tồn tại số nguyên x nào thỏa mãn.

Vậy trong 4 mệnh đề trên có 2 mệnh đề đúng.

Đáp án: 5

a) A: “∀x ∈ ℝ, x$^{2}$ ≥ 0”. Mệnh đề này đúng, vì bình phương của một số thực bất kỳ luôn không âm. Mệnh đề phủ định: A̅: “∃x ∈ ℝ, x2 < 0”.

b) B: “Tồn tại số tự nhiên là số nguyên tố”. Mệnh đề này đúng, vì tồn tại các số tự nhiên là số nguyên tố, chẳng hạn 2, 3, 5,...

c) C: “∃x ∈ ℕ, x chia hết cho x + 1”. Mệnh đề này đúng, vì chọn x = 0 ∈ ℕ ta có: 0 chia hết cho 0 + 1 = 1.

d) D: “∀n ∈ ℕ, n$^{4}$ – n$^{2}$ + 1 không phải là số nguyên tố “. Mệnh đề này sai, vì chọn n = 2 ∈ ℕ ta có: 2$^{4}$ – 2$^{2}$ + 1 = 16 – 4 + 1 = 13 là số nguyên tố.

e) E: “Tồn tại hình thang là hình vuông”. Mệnh đề này đúng, vì hình vuông là một trường hợp đặc biệt của hình thang có hai đáy song song.

f) F: “Tồn tại số thực a sao cho a + 1 + $\frac{1}{{a + 1}}$ ≤ 2”.

Mệnh đề này đúng, vì chọn a = –2 ∈ ℝ, ta có: –2 + 1 + $\frac{1}{{ - 2 + 1}}$ = –1 + (–1) = –2 ≤ 2. Vậy trong các mệnh đề trên, có 5 mệnh đề là mệnh đề đúng.

Đáp án: 6

Mệnh đề phủ định của P là mệnh đề $\overline P$: “∃x ∈ ℝ, x$^{2}$ – 2mx + 4 ≤ 0”.

Để $\overline P$ là mệnh đề đúng thì bất phương trình x$^{2}$ – 2mx + 4 ≤ 0 phải có ít nhất một nghiệm thực x.

Đặt g(x) = x$^{2}$ – 2mx + 4.

Do a = 1 > 0, điều kiện cần và đủ để bất phương trình g(x) ≤ 0 có nghiệm thực là Δ' ≥ 0.

Ta có: Δ' = (–m)$^{2}$ – 1 · 4 = m$^{2}$ – 4.

⇒ Δ' ≥ 0 ⇔ m$^{2}$ – 4 ≥ 0 ⇔ m$^{2}$ ≥ 4 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \le - 2\end{array} \right.$.

Do m ∈ ℤ, kết hợp với điều kiện m ∈ [–4; 4] nên các giá trị m thỏa mãn là:

m ∈ {–4, –3, –2, 2, 3, 4}.

Tập hợp S = {–4, –3, –2, 2, 3, 4}.

Vậy số phần tử của tập hợp S là 6.