Bài tập Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông có đáp án

Ta thấy mỗi chiếc cột với bóng của nó tạo thành hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Hai tam giác vuông này có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau và hai góc ở đỉnh chiếc cột của hai tam giác vuông này cũng bằng nhau. Gọi hai tam giác vuông này lần lượt là ABC (vuông tại A) và ${A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}$ (vuông tại $A'$) trong đó AB và $A'B'$ lần lượt là hai chiếc cột, góc B và góc $B'$ là góc tạo bởi tia nắng mặt trời với hai cột.

Khi đó ta có $AB={A}^{'}{B}^{'},\widehat{B}=\widehat{{B}^{'}}.$

Xét hai tam giác ABC và $A'B'C'$ có:

$\widehat{ABC}=\widehat{{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}}$ (theo giả thiết).

$AB={A}^{'}{B}^{'}$ (theo giả thiết).

$\widehat{BAC}=\widehat{{B}^{'}{A}^{'}{C}^{'}}$ (cùng bằng 90$^{o}$).

Do đó $ΔABC=Δ{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}$ (g – c – g).

Khi đó $AC={A}^{'}{C}^{'}$ (2 cạnh tương ứng) hay bóng của hai chiếc cột bằng nhau.

Vậy bạn Tròn nói đúng.

Xét hai tam giác ABC và $A'B'C'$ có:

$AB={A}^{'}{B}^{'}$ (theo giả thiết).

$\widehat{BAC}=\widehat{{B}^{'}{A}^{'}{C}^{'}}$ (cùng bằng 90$^{o}$).

$AC={A}^{'}{C}^{'}$ (theo giả thiết).

Vậy $ΔABC=Δ{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}$ (c – g – c).

Xét hai tam giác ABC và $A'B'C'$ có:

$\widehat{ABC}=\widehat{{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}}$ (theo giả thiết)

$AB={A}^{'}{B}^{'}$ (theo giả thiết)

$\widehat{BAC}=\widehat{{B}^{'}{A}^{'}{C}^{'}}$ (cùng bằng 90$^{o}$)

Vậy $ΔABC=Δ{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}$ (g – c – g).

Gọi hai tam giác vuông này lần lượt là ABC (vuông tại A) và $A'B'C'$ (vuông tại $A'$) trong đó AB và $A'B'$ lần lượt là hai chiếc cột, góc B và góc $B'$ là góc tạo bởi tia nắng mặt trời với hai cột.

Khi đó ta có $AB={A}^{'}{B}^{'},\widehat{B}=\widehat{{B}^{'}}.$

Xét hai tam giác ABC và $A'B'C'$ có:

$\widehat{ABC}=\widehat{{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}}$ (theo giả thiết).

$AB={A}^{'}{B}^{'}$ (theo giả thiết).

$\widehat{BAC}=\widehat{{B}^{'}{A}^{'}{C}^{'}}$ (cùng bằng 90$^{o}$).

Do đó $ΔABC=Δ{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}$ (g – c – g).

Khi đó $AC={A}^{'}{C}^{'}$ (2 cạnh tương ứng) hay bóng của hai chiếc cột bằng nhau.

Vậy bạn Tròn nói đúng.

a) Xét tam giác ABC có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}.$

Do đó $\widehat{C}=180^{\circ}-\widehat{A}-\widehat{B}$ (1).

Xét tam giác $A'B'C'$ có $\widehat{{A}^{'}}+\widehat{{B}^{'}}+\widehat{{C}^{'}}=180^{\circ}.$

Do đó $\widehat{{C}^{'}}=180^{\circ}-\widehat{{A}^{'}}-\widehat{{B}^{'}}$ (2).

Mà $\widehat{A}=\widehat{{A}^{'}}=90^{\circ},\ \widehat{B}=\widehat{{B}^{'}}$ (theo giả thiết) nên từ (1) và (2) có $\widehat{C}=\widehat{{C}^{'}}.$

Xét hai tam giác ABC và $A'B'C'$ có:

$\widehat{ABC}=\widehat{{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}}$ (theo giả thiết).

$BC={B}^{'}{C}^{'}$ (theo giả thiết).

$\widehat{ACB}=\widehat{{A}^{'}{C}^{'}{B}^{'}}$ (chứng minh trên).

Vậy $ΔABC=Δ{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}$ (g – c – g).

b) Do $ΔABC=Δ{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}$ nên $AC={A}^{'}{C}^{'}$ (2 cạnh tương ứng) hay hai con dốc có độ cao bằng nhau.

Vậy hai con dốc có độ cao bằng nhau.

Xét hai tam giác ABC vuông tại A và XYZ vuông tại X có:

$\widehat{ACB}=\widehat{X\text{Z}Y}$ (theo giả thiết).

AC = XZ (theo giả thiết).

Do đó $ΔABC=ΔXYZ$ ( cạnh góc vuông và góc nhọn kề nó).

Xét hai tam giác DEF vuông tại D và GHK vuông tại G có:

$\widehat{DF\text{E}}=\widehat{GKH}$ (theo giả thiết).

EF = HK (theo giả thiết).

Do đó $ΔD\text{EF}=ΔGHK$ (cạnh huyền- góc nhọn).

Xét hai tam giác MNP vuông tại M và RTS vuông tại R có:

MN = RT (theo giả thiết).

MP = RS (theo giả thiết).

Do đó $ΔMNP=ΔRT\text{S}$ (2 cạnh góc vuông).

Vậy $ΔABC=ΔXYZ,ΔD\text{EF}=ΔGHK,ΔMNP=ΔRT\text{S}.$

Do Oz là tia phân giác của góc xOy nên $\widehat{xOz}=\widehat{y\text{O}z}.$

Mà M thuộc tia Oz, A thuộc tia Ox, B thuộc tia Oy nên $\widehat{AOM}=\widehat{BOM}.$

Do $MA\perp OA,\ MB\perp OB$ nên tam giác OAM vuông tại A, tam giác OBM vuông tại B.

Xét hai tam giác OAM vuông tại A và OBM vuông tại B có:

$\widehat{AOM}=\widehat{BOM}$ (chứng minh trên).

OM chung.

Do đó $ΔOAM=ΔOBM$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Vậy MA = MB (2 cạnh tương ứng).

Ta thực hiện vẽ theo các bước như sau:

Bước 1. Dùng thước thẳng có vạch chia vẽ đoạn thẳng AB = 3 cm.

Bước 2. Vẽ tia Ax vuông góc với AB tại A.

Bước 3. Vẽ cung tròn tâm B bán kính 5 cm. Cung tròn cắt tia Ax tại điểm C.

Nối BC ta được tam giác ABC.

a) Dùng thước thẳng có vạch chia, ta đo được $AC={A}^{'}{C}^{'}=4\ cm.$

b) Xét hai tam giác ABC vuông tại A và $A'B'C'$ vuông tại $A'$ có:

$AB={A}^{'}{B}^{'}$ (cùng bằng 3 cm).

$AC={A}^{'}{C}^{'}$ (cùng bằng 4 cm).

Vậy $ΔABC=Δ{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}$ (2 cạnh góc vuông).

Xét hai tam giác ABC vuông tại A và GHK vuông tại G có:

AB = GH (theo giả thiết).

BC = HK (theo giả thiết).

Do đó $ΔABC=ΔGHK$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Xét hai tam giác DEF vuông tại D và MNP vuông tại M có:

DF = MP (theo giả thiết).

EF = NP (theo giả thiết).

Do đó $ΔD\text{EF}=ΔMNP$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Vậy $ΔABC=ΔGHK,ΔD\text{EF}=ΔMNP.$

Do A, B, C nằm trên đường tròn tâm O nên OA = OB = OC.

Xét hai tam giác ONA vuông tại N và ONC vuông tại N có:

OA = OC (chứng minh trên).

ON chung.

Do đó $ΔON\text{A}=ΔONC$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Xét hai tam giác OMB vuông tại M và OMC vuông tại M có:

OB = OC (chứng minh trên).

OM chung.

Do đó $ΔOMB=ΔOMC$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Xét hai tam giác OPA vuông tại P và OPB vuông tại P có:

OA = OB (chứng minh trên).

OP chung.

Do đó $ΔOPA=ΔOPB$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Vậy $ΔON\text{A}=ΔONC,ΔOMB=ΔOMC,ΔOPA=ΔOPB.$

Xét hai tam giác BAH vuông tại H và ${B}^{'}{H}^{'}{A}^{'}$ vuông tại ${H}^{'}$ có:

$BA={B}^{'}{A}^{'}$ (theo giả thiết).

$BH={B}^{'}{H}^{'}$ (theo giả thiết).

Do đó $ΔBAH=Δ{B}^{'}{A}^{'}{H}^{'}$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Vậy $\widehat{BAH}=\widehat{{B}^{'}{A}^{'}{H}^{'}}$ (2 góc tương ứng).

a) Xét hai tam giác ACB vuông tại C và ACD vuông tại C có:

$\widehat{CAB}=\widehat{CA\text{D}}$ (theo giả thiết).

AC chung.

Vậy $ΔACB=ΔAC\text{D}$ (góc nhọn – cạnh góc vuông).

b) Xét hai tam giác EGH vuông tại E và FHG vuông tại F có:

EH = FG (theo giả thiết).

HG chung.

Vậy $ΔEGH=ΔFHG$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

c) Xét hai tam giác QMK vuông tại M và NMP vuông tại M có:

QK = NP (theo giả thiết).

$\widehat{QKM}=\widehat{NPM}$ (theo giả thiết).

Vậy $ΔQMK=ΔNMP$ (cạnh huyền – góc nhọn).

d) Xét hai tam giác VST vuông tại S và UTS vuông tại T có:

VS = UT (theo giả thiết).

ST chung.

Vậy $ΔV\text{S}T=ΔUTS$ (2 cạnh góc vuông).

Xét tam giác ABE có $\widehat{BAE}+\widehat{ABE}+\widehat{AEB}=180^{\circ}.$

Do đó $\widehat{ABE}=180^{\circ}-\widehat{BAE}-\widehat{AEB}$ (1).

Xét tam giác DCE có $\widehat{CDE}+\widehat{DCE}+\widehat{\text{D}EC}=180^{\circ}.$

Do đó $\widehat{DCE}=180^{\circ}-\widehat{CDE}-\widehat{DEC}$ (2).

Mà $\widehat{BA\text{E}}=\widehat{C\text{D}E}=90^{\circ},\widehat{A\text{E}B}=\widehat{DEC}$ (2 góc đối đỉnh) nên từ (1) và (2) có $\widehat{ABE}=\widehat{DCE}.$

Xét hai tam giác ABE vuông tại A và DCE vuông tại E có:

$\widehat{ABE}=\widehat{DCE}$ (chứng minh trên).

AB = DC (theo giả thiết).

Vậy $ΔABE=ΔDCE$ (góc nhọn – cạnh góc vuông).

Do ABCD là hình chữ nhật nên $\widehat{ABC}=\widehat{BC\text{D}}=90^{\circ},\ AB=C\text{D}.$

Hay $\widehat{ABM}=\widehat{DCM}=90^{\circ}.$

Do đó tam giác ABM vuông tại B, tam giác DCM vuông tại C.

Do M là trung điểm của cạnh BC nên MB = MC.

Xét hai tam giác ABM vuông tại B và DCM vuông tại C có:

AB = CD (chứng minh trên).

MB = MC (chứng minh trên).

Vậy $ΔABM=ΔDCM$ (2 cạnh góc vuông).