Bài tập Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm có đáp án

Có thể đánh giá được phương pháp học tập nào hiệu quả hơn bằng cách tính toán các số đặc trưng (số trung bình cộng, số trung vị, tứ phân vị) cho mỗi mẫu số liệu rồi so sánh chúng với nhau.

Dưới đây phương pháp sử dụng số trung bình cộng:

Trung bình cộng điểm khảo sát Tiếng Anh của lớp A là:

$\frac{2+7+6+3+9+8+...+5+4+5+7+7}{25}=5{,}92$

Trung bình cộng điểm khảo sát Tiếng Anh của lớp B là:

$\frac{6+7+6+4+7+9+...+6+7+6+7+5}{25}=6{,}28$

Vì 6,28 > 5,92 nên điểm trung bình của lớp B cao hơn điểm trung bình của lớp A.

Do đó phương pháp học tập được áp dụng ở lớp B hiệu quả hơn phương pháp được áp dụng ở lớp A.

Trung bình cộng điểm khảo sát Tiếng Anh của lớp A là:

$\frac{2+7+6+3+9+8+...+5+4+5+7+7}{25}=5{,}92$

Trung bình cộng điểm khảo sát Tiếng Anh của lớp B là:

$\frac{6+7+6+4+7+9+...+6+7+6+7+5}{25}=6{,}28$

Vì 6,28 > 5,92 nên điểm trung bình của lớp B cao hơn điểm trung bình của lớp A.

Do đó phương pháp học tập được áp dụng ở lớp B hiệu quả hơn phương pháp được áp dụng ở lớp A.

Thời gian chạy trung bình cự li 100m của các bạn trong lớp là:

$\frac{12.5+13.7+14.10+15.8+16.6}{36}\approx 14{,}08.$

Vậy thời gian chạy trung bình cự li 100m của các bạn trong lớp là khoẳng 14,08 giây.

a) Thu nhập trung bình của các thành viên trong công ty là:

$\frac{4+4+4+4+4+20}{6}\approx 6{,}67$ (triệu đồng).

Vậy thu nhập trung bình của các thành viên trong công ty khoảng 6,67 triệu đồng.

b) Ta thấy rõ ràng thu nhập của giám đốc cao hơn thu nhập trung bình rất nhiều (cao hơn khoảng 13,3 triệu), còn thu nhập của mỗi nhân viên thì gần với thu nhập trung bình hơn (thấp hơn khoảng 2,67 triệu).

Do đó, thu nhập trung bình không phản ánh đúng thu nhập của nhân viên công ty.

.

Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

$\frac{48+53+51+31+53+112+52}{7}=\frac{400}{7}\approx 57{,}14.$

Sắp xếp số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:

31; 48; 51; 52; 53; 53; 112

Số giá trị là 7 và là số lẻ nên giá trị chính giữa của mẫu là trung vị.

Do đó, số trung vị của mẫu số liệu trên là 52.

Ta thấy trong mẫu số liệu bài cho thì giá trị 112 cao hơn hẳn các số liệu khác, đây là mẫu số liệu có giá trị bất thường nên không thể dùng số trung bình để đại diện cho chiều dài của 7 con cá voi trưởng thành này.

Vậy trong hai số trên, số đại diện cho chiều dài của 7 con cá voi trưởng thành là số trung vị 52.

Sắp xếp dãy số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:

58; 69; 69; 74; 75; 75; 77; 81; 87; 88; 92; 97.

Khi đó:

Nhóm giải tư: 58; 69; 69.

Nhóm giải ba: 74; 75; 75.

Nhóm giải nhì: 77; 81; 87.

Nhóm giải nhất: 88; 92; 97.

Giữa các nhóm giải ta xác định được các ngưỡng điểm để phân loại thí sinh:

- Ngưỡng điểm phân loại giữa nhóm giải tư và nhóm giải ba là: (69 + 74):2 = 71,5.

- Ngưỡng điểm phân loại giữa nhóm giải ba và nhóm giải nhì là: (75 + 77):2 = 76.

- Ngưỡng điểm phân loại giữa nhóm giải nhì và nhóm giải nhất là: (87 + 88) = 87,5.

Vậy ba ngưỡng điểm giúp ban tổ chức phân loại thí sinh là: 71,5; 76; 87,5.

Dãy số liệu số lần học tiếng Anh trên Internet trong một tuần của một số học sinh lớp 10 theo thứ tự không giảm là:

0; 0; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5.

Vì n = 35 là số lẻ nên trung vị Q$_{2}$ là số ở vị trí số 18: Q$_{2}$ = 3.

Ta tìm Q$_{1}$ là trung vị của nửa số liệu bên trái Q$_{2}$:

0; 0; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3

Và tìm được Q$_{1}$ = 2.

Ta tìm Q$_{3}$ là trung vị của nửa số liệu bên phải Q$_{2}$:

3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5.

Và tìm được Q$_{3}$ = 4.

Tứ phân vị cho mẫu số liệu này là Q$_{1}$ = 2; Q$_{2}$ = 3, Q$_{3}$ = 4.

a) Cỡ giày trung bình của cửa hàng là:

$\frac{38+39+39+38+40+41+39+39+38+39+39+39+40+39+39}{15}\approx 39{,}07$

Số trung bình này không có ý nghĩa gì với cửa hàng vì một cửa hàng thì thường quan tâm đến cỡ giày được bán nhiều nhất.

b) Cỡ giày số 39 là cỡ giày nhiều khách nam đi nhất trong tổng số người được chọn nên cửa hàng nên nhập cỡ giày này.

Trung bình cộng điểm khảo sát Tiếng Anh của lớp A là:

$\frac{2+7+6+3+9+8+...+5+4+5+7+7}{25}=5{,}92$

Trung bình cộng điểm khảo sát Tiếng Anh của lớp B là:

$\frac{6+7+6+4+7+9+...+6+7+6+7+5}{25}=6{,}28$

Vì 6,28 > 5,92 nên điểm trung bình của lớp B cao hơn điểm trung bình của lớp A.

Do đó phương pháp học tập được áp dụng ở lớp B hiệu quả hơn phương pháp được áp dụng ở lớp A.

+ Số trung vị của hai dãy số liệu là bằng nhau nên nếu dùng số trung vị thì hiệu quả học tập của hai phương pháp này là như nhau.

+ Mốt của hai dãy số liệu là bằng nhau nên nếu dùng mốt thì hiệu quả học tập của hai phương pháp này là như nhau.

a) Số điểm mà năm vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu:

9 8 15 8 20

Số trung bình:

$\frac{9+8+15+8+20}{5}=12$

Mẫu số liệu sắp xếp theo thứ tự không giảm ta được:

8; 8; 9; 15; 20

Vì dãy số liệu này có 5 số liệu nên số trung vị là số ở chính giữa: 9.

Số liệu xuất hiện nhiều nhất là 8 nên mốt của dãy số liệu là: 8.

b) Số trung bình:

$\frac{350+300+650+300+450+500+300+250}{8}=387{,}5$

Mẫu số liệu sắp xếp theo thứ tự không giảm ta được:

250; 300; 300; 300; 350; 450; 500; 650.

Vì dãy số liệu này có 8 số liệu nên số trung vị là số trung bình cộng của hai giá trị ở chính giữa: (300 + 350):2 = 325.

Số liệu xuất hiện nhiều nhất là 300 nên mốt của dãy số liệu là: 300.

c) Số trung bình:

$\frac{36+38+33+34+32+30+34+35}{8}=34.$

Mẫu số liệu sắp xếp theo thứ tự không giảm ta được:

30; 32; 33; 34; 34; 35; 36; 38.

Vì dãy số liệu này có 8 số liệu nên số trung vị là số trung bình cộng của hai giá trị ở chính giữa: (34 + 34):2 = 34.

Số liệu xuất hiện nhiều nhất là 34 nên mốt của dãy số liệu là: 34.

a) Sắp xếp lại số liệu:

0 0 1 2 13 27 34 63

Mẫu số liệu đã cho có số liệu tăng dần, do đó ta nên dùng số trung bình để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu này.

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline{x}=\frac{0+0+1+2+13+27+34+63}{8}=17{,}5$.

Ta không dùng trung vị vì M$_{e}$ = (2 + 13) : 2 = 7,5, giá trị này chênh lệch nhiều so với các số liệu ở nửa bên phải.

b) Các số liệu bài cho không chênh lệch quá lớn với nhau nên ta chọn số trung bình làm số đặc trưng đo xu thế trung tâm.

Số đường chuyền trung bình là:

$\frac{32+24+20+14+23}{5}=22{,}6$.

c) Các số liệu bài cho không chênh lệch quá lớn với nhau nên ta chọn số trung bình làm số đặc trưng đo xu thế trung tâm.

Chỉ số IQ trung bình của nhóm học sinh là:

$\frac{80+102+83+103+108+94+110+106+104+100}{10}=99.$

d) Mẫu số liệu đã cho có đa số các sai số là giống nhau, riêng giá trị 42 lớn hơn hẳn các giá trị khác, đây được xem là giá trị bất thường nên ta chọn số trung vị là số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu đã cho.

Sắp xếp dãy số liệu đã cho theo thứ tự không giảm ta được:

10; 12; 13; 14; 14; 15; 15; 15; 18; 42; 42

Vì dãy số liệu có 11 số nên trung vị của mẫu là M$_{e}$ = 15.

a)

∙ Số trung bình:

Trung bình số lượng học sinh giỏi Quốc gia của 10 trường Trung học phổ thông là:

$\frac{0\ .\ 7+4+6+10}{10}=2$.

∙ Mốt:

Trong dãy số liệu đã cho, số 0 là số xuất hiện với tần số lớn nhất (7 lần).

Do đó mốt của mẫu số liệu là 0.

∙ Trung vị:

Sắp xếp dãy số liệu trên theo thứ tự không giảm là:

0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 4; 6; 10.

Vì n = 10 là số chẵn nên Q$_{2}$ là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa:

Q$_{2}$ = (0 + 0) : 2 = 0.

∙ Tứ phân vị:

Ta tìm Q$_{1}$ là trung vị của nửa số liệu bên trái Q$_{2}$:

0; 0; 0; 0 ;0.

Do đó Q$_{1}$ = 0.

Ta tìm Q$_{3}$ là trung vị của nửa số liệu bên phải Q$_{2}$:

0; 0; 4; 6; 10.

Do đó Q$_{3}$ = 4.

Vậy số trung bình là 2; mốt là 0, tứ phân vị là Q$_{1}$ = 0; Q$_{2}$ = 0; Q$_{3}$ = 4.

b) Tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau vì mật độ của mẫu số liệu tập trung hết ở nửa trái của trung vị, mẫu số liệu bên trái có số liệu bằng 0 hết.

Số chỗ ngồi trung bình của một sân vận động được sử dụng trong Giải Bóng đá Vô địch Quốc gia Việt Nam là:

$\frac{20120+21315+23405+20120+37546}{5}=24501{,}2.$

Dãy số liệu sắp xếp theo thứ tự không giảm là:

20 120; 20 120; 21 315; 23 405; 37 546.

Vì n = 5 là số lẻ nên số trung vị của dãy số liệu là số chính giữa là: 21 315.

Số 20 120 là số xuất hiện nhiều nhất nên mốt của số liệu là 20 120.

Nếu bớt đi số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình, ta có:

Số chỗ ngồi trung bình của một sân vận động được sử dụng trong Giải Bóng đá Vô địch Quốc gia Việt Nam là:

$\frac{20120+21315+23405+20120}{4}=21240.$

Dãy số liệu sắp xếp theo thứ tự không giảm là:

20 120; 20 120; 21 315; 23 405.

Vì n = 4 là số chẵn nên số trung vị của dãy số liệu là trung bình cộng hai giá trị chính giữa là: (20 120 + 21 315) : 2 = 20 717,5.

Số 20 120 là số xuất hiện nhiều nhất nên mốt của số liệu là 20 120.

Vậy khi bỏ bớt đi số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình thì số trung bình và trung vị bị thay đổi còn mốt vẫn giữ nguyên.