Bài tập Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu có đáp án

Địa phương có thời tiết ôn hòa hơn là nơi nhiệt độ thay đổi ít hơn hay chênh lệch nhiệt độ giữa các tháng ít hơn.

Quan sát biểu đồ ta thấy các cột màu cam (thể hiện nhiệt độ không khí trung bình các tháng trong năm 2019 tại Lâm Đồng) hầu như ngang bằng nhau hơn so với các cột màu xanh (thể hiện nhiệt độ không khí trung bình các tháng trong năm 2019 tại Lai Châu) nên ta có thể dự đoán thời tiết ở Lâm Đồng ôn hòa hơn.

Để biết được điều đó có chính xác không, ta cùng học qua bài học

a) Ở nhóm 1, người chạy nhanh nhất để hoàn thành 5 km là người có thời gian chạy ít nhất và thời gian chạy đó là 17 phút, người chạy chậm nhất là người có thời gian chạy nhiều nhất và thời gian chạy đó là 47 phút.

Vậy độ chênh lệch giữa thời gian chạy của người nhanh nhất và người chậm nhất trong nhóm 1 là: 47 – 17 = 30 phút.

Ở nhóm 2, người chạy nhanh nhất để hoàn thành 5 km là người có thời gian chạy ít nhất và thời gian chạy đó là 29 phút, người chạy chậm nhất là người có thời gian chạy nhiều nhất và thời gian chạy đó là 32 phút.

Vậy độ chênh lệch giữa thời gian chạy của người nhanh nhất và người chậm nhất trong nhóm 2 là: 32 – 29 = 3 phút.

b) Quan sát qua thời gian chạy của các thành viên trong hai nhóm thì ta thấy nhóm 2 có thành tích chạy đồng đều hơn vì thời gian chạy của các thành viên ở xung quang từ 29 đến 32 và độ chênh lệch thời gian giữa người chạy nhanh nhất và chậm nhất thấp.

a) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

2; 2; 5; 7; 10; 10; 13; 15; 19.

+ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 19 – 2 = 17.

+ Cỡ mẫu là n = 9 là số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: Q$_{2}$= 10.

+ Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 2; 5; 7. Do đó Q$_{1}$ = 3,5.

+ Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 13; 15; 19. Do đó Q$_{3}$ = 14.

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ∆$_{Q}$ = 14 – 3,5 = 10,5.

b) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

1; 2; 5; 5; 9; 10; 10; 15; 15; 19.

+ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 19 – 1 = 18.

+ Cỡ mẫu là n = 10 là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: Q$_{2}$= $\frac{1}{2}(9+10)=9{,}5$.

+ Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 2; 5; 5; 9. Do đó Q$_{1}$ = 5.

+ Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 10; 15; 15; 19. Do đó Q$_{3}$ = 15.

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ∆$_{Q}$ = 15 – 5 = 10.

a)

* Tỉnh Lai Châu:

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

14,2; 14,8; 18,6; 18,8; 20,3; 21,0; 22,7; 23,5; 23,6; 24,2; 24,6; 24,7.

+ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 24,7 – 14,2 = 10,5.

+ Cỡ mẫu là n = 12 là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là:

Q$_{2}$= $\frac{1}{2}(21{,}0+22{,}7)=21{,}85$.

+ Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 14,2; 14,8; 18,6; 18,8; 20,3; 21,0.

Do đó Q$_{1}$ = $\frac{1}{2}(18{,}6+18{,}8)=18{,}7$.

+ Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 22,7; 23,5; 23,6; 24,2; 24,6; 24,7.

Do đó Q$_{3}$ = $\frac{1}{2}(23{,}6+24{,}2)=23{,}9$.

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ∆$_{Q}$ = 23,9 – 18,7 = 5,2.

* Tỉnh Lâm Đồng:

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

16,0; 16,3; 17,4; 17,5; 18,5; 18,6; 18,7; 19,3; 19,5; 19,8; 20,2; 20,3.

+ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R*'* = 20,3 – 16,0 = 4,3.

+ Cỡ mẫu là n = 12 là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là:

Q*'*$_{2}$= $\frac{1}{2}(18{,}6+18{,}7)=18{,}65$.

+ Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 16,0; 16,3; 17,4; 17,5; 18,5; 18,6.

Do đó Q*'*$_{1}$ = $\frac{1}{2}(17{,}4+17{,}5)=17{,}45$.

+ Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 18,7; 19,3; 19,5; 19,8; 20,2; 20,3.

Do đó Q*'*$_{3}$ = $\frac{1}{2}(19{,}5+19{,}8)=19{,}65$.

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ∆'$_{Q}$ = 19,65 – 17,45 = 2,2.

b) Xét về cả khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của cả hai tỉnh, ta thấy: 10,5 > 4,3 hay R > R*'* và 5,2 > 2,2 hay ∆$_{Q}$ > ∆'$_{Q}$.

Điều đó có nghĩa là trong một năm, nhiệt độ ở Lâm Đồng ít thay đổi hơn.

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

3; 3; 9; 9; 10; 10; 12; 12; 37.

+ Vì cỡ mẫu là n = 9 lá số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai là Q$_{2}$ = 10.

+ Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 3; 3; 9; 9. Do đó Q$_{1}$ = 6.

+ Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 12; 12; 37. Do đó Q$_{3}$ = 12.

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ∆$_{Q}$ = 12 – 6 = 6.

Ta có: Q$_{3}$ + 1,5∆$_{Q}$ = 12 + 1,5 . 6 = 21 và Q$_{1}$ – 1,5∆$_{Q}$ = 6 – 1,5 . 6 = – 3.

Do đó mẫu có một giá trị ngoại lệ là 37.

a) Kết quả trung bình của cung thủ A là:

$\frac{8+9+10+7+6+10+6+7+9+8}{10}=8$.

Kết quả trung bình của cung thủ B là:

$\frac{10+6+8+7+9+9+8+7+8+8}{10}=8$.

b)

* Cung thủ A:

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

6; 6; 7; 7; 8; 8; 9; 9; 10; 10.

+ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R$_{A}$ = 10 – 6 = 4.

+ Cỡ mẫu là n = 10 là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: Q$_{2A}$= $\frac{1}{2}(8+8)=8$.

+ Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 6; 6; 7; 7; 8. Do đó Q$_{1A}$ = 7.

+ Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 8; 9; 9; 10; 10. Do đó Q$_{3A}$ = 9.

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ∆$_{QA}$ = 9 – 7 = 2.

* Cung thủ B:

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

6; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 10.

+ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R$_{B}$ = 10 – 6 = 4.

+ Cỡ mẫu là n = 10 là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: Q$_{2B}$= $\frac{1}{2}(8+8)=8$.

+ Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 6; 7; 7; 8; 8. Do đó Q$_{1B}$ = 7.

+ Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 8; 8; 9; 9; 10. Do đó Q$_{3B}$ = 9.

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ∆$_{QB}$ = 9 – 7 = 2.

Từ đó, ta thấy kết quả các lần bắn của hai cung thủ có cùng giá trị trung bình, khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị nên ta dự đoán cả hai cung thủ bắn ổn định như nhau.

a)

* Tỉnh Tuyên Quang:

+ Số trung bình:

$\overline{{x}_{1}}=\frac{25+89+72+117+106+177+156+203+227+146+117+145}{12}\approx 131{,}67$

+ Phương sai mẫu số liệu ở tỉnh Tuyên Quang là:

${S}_{1}^{2}=\frac{1}{12}({25}^{2}+{89}^{2}+{72}^{2}+{117}^{2}+{106}^{2}+{177}^{2}+{156}^{2}+{203}^{2}+{227}^{2}+{146}^{2}+{117}^{2}+{145}^{2})$$-{(131{,}67)}^{2}$ ≈ 2920,34.

+ Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ở tỉnh Tuyên Quang là:

S$_{1}$ = $\sqrt{{S}_{1}^{2}}=\sqrt{2920{,}34}\approx 54{,}04$.

* Tỉnh Cà Mau:

+ Số trung bình:

$\overline{{x}_{2}}=\frac{180+223+257+245+191+111+141+134+130+122+157+173}{12}=172$

+ Phương sai mẫu số liệu ở tỉnh Cà Mau là:

${S}_{2}^{2}=\frac{1}{12}$(180$^{2}$ + 223$^{2}$ + 257$^{2}$ + 245$^{2}$ + 191$^{2}$ + 111$^{2}$ + 141$^{2}$ + 134$^{2}$ + 130$^{2}$ + 122$^{2}$ + 157$^{2}$ + 173$^{2}$) – 172$^{2}$ = 2183.

+ Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ở tỉnh Cà Mau là:

S$_{2}$ = $\sqrt{{S}_{2}^{2}}=\sqrt{2183}\approx 46{,}72$.

b) Phương sai mẫu và độ lệch chuẩn mẫu số liệu ở tỉnh Tuyên Quang cao hơn tỉnh Cà Mau nên tổng số giờ nắng trong năm 2019 theo từng tháng ở tỉnh Tuyên Quang có độ phân tán cao hơn ở tỉnh Cà Mau. Do đó, sự thay đổi tổng số giờ nắng theo từng tháng ở tỉnh Cà Mau ổn định (có ít sự thay đổi) hơn so với tỉnh Tuyên Quang.

Kết quả của bài tập này phụ thuộc vào chiều cao của các bạn nam và nữ mà bạn chọn ra.

Chẳng hạn, ta có ví dụ sau:

+ Chọn ra 5 bạn nam có chiều cao lần lượt là: 162 cm; 157 cm; 169 cm; 170 cm; 165 cm.

+ Chọn ra 5 bạn nữ có chiều cao lần lượt là: 150 cm; 163 cm; 155 cm; 160 cm; 169 cm.

Ta đi tính khoảng biến thiên, khảng tứ phân vị, phương sai mẫu và độ lệch chuẩn của từng mẫu số liệu rồi so sánh.

+ Sắp xếp các số liệu chiều cao nam theo thứ tự không giảm, ta được:

157; 162; 165; 169; 170.

Khoảng biến thiên chiều cao của nam: R$_{1}$ = 170 – 157 = 13.

Vì cỡ mẫu là 5 là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là Q$_{2}$ = 165.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 157; 162. Do đó Q$_{1}$ = 159,5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 169; 170. Do đó Q$_{3}$ = 169,5.

Khoảng tứ phân vị ∆$_{Q}$ = 169,5 – 159,5 = 10.

Chiều cao trung bình của nam là:

$\overline{{x}_{1}}=\frac{162+157+169+170+165}{5}=164{,}6$

Phương sai mẫu số liệu chiều cao của nam là:

${S}_{1}^{2}=\frac{1}{5}$(162$^{2}$ + 157$^{2}$ + 169$^{2}$ + 170$^{2}$ + 165$^{2}$) – (164,6)$^{2}$ = 22,64.

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu chiều cao của nam là:

S$_{1}$ = $\sqrt{{S}_{1}^{2}}=\sqrt{22{,}64}\approx 4{,}76$.

+ Sắp xếp các số liệu chiều cao nữ theo thứ tự không giảm, ta được:

150; 155; 160; 163; 169.

Khoảng biến thiên chiều cao của nữ: R$_{2}$ = 169 – 150 = 19.

Vì cỡ mẫu là 5 là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là Q*'*$_{2}$ = 160.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 150; 155. Do đó Q*'*$_{1}$ = 152,5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 163; 169. Do đó Q*'*$_{3}$ = 166.

Khoảng tứ phân vị ∆'$_{Q}$ = 166 – 152,5 = 13,5.

Chiều cao trung bình của nữ là:

$\overline{{x}_{2}}=\frac{150+163+155+160+169}{5}=159{,}4$

Phương sai mẫu số liệu chiều cao của nữ là:

${S}_{2}^{2}=\frac{1}{5}$(150$^{2}$ + 163$^{2}$ + 155$^{2}$ + 160$^{2}$ + 169$^{2}$) – (159,4)$^{2}$ = 42,64.

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu chiều cao của nữ là:

S$_{2}$ = $\sqrt{{S}_{2}^{2}}=\sqrt{42{,}64}\approx 6{,}53$.

Từ đó ta thấy khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai mẫu và độ lệch chuẩn mẫu số liệu chiều cao của nam đều thấp hơn của nữ. Điều đó cho ta biết rẳng chiều cao của nam có độ phân tán thấp hơn chiều cao của nữ ở mẫu số liệu trên. Do đó, chiều cao của các bạn nam đồng đều hơn so chiều cao của các bạn nữ.

a) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{6+8+3+4+5+6+7+2+4}{9}=5$.

Phương sai mẫu số liệu là:

${S}^{2}=\frac{1}{9}$(6$^{2}$ + 8$^{2}$ + 3$^{2}$ + 4$^{2}$ + 5$^{2}$ + 6$^{2}$ + 7$^{2}$ + 2$^{2}$ + 4$^{2}$) – 5$^{2}$ = $\frac{10}{3}$.

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu là: $S=\sqrt{{S}^{2}}=\sqrt{\frac{10}{3}}=\frac{\sqrt{30}}{3}$.

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

2; 3; 4; 4; 5; 6; 6; 7; 8.

Khoảng biến thiên của mẫu là: R = 8 – 2 = 6.

Vì cỡ mẫu là 9 là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là Q$_{2}$ = 5.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 3; 4; 4. Do đó Q$_{1}$ = 3,5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 6; 6; 7; 8. Do đó Q$_{3}$ = 6,5.

Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ∆$_{Q}$ = 6,5 – 3,5 = 3.

Ta có: Q$_{3}$ + 1,5∆$_{Q}$ = 6,5 + 1,5 . 3 = 11 và Q$_{1}$ – 1,5∆$_{Q}$ = 3,5 – 1,5 . 3 = – 1.

Do đó mẫu số liệu không có giá trị ngoại lệ.

b)

Số trung bình:

$\overline{x}=\frac{13+37+64+12+26+43+29+23}{8}=30{,}875$.

Phương sai mẫu số liệu là:

${S}^{2}=\frac{1}{8}$(13$^{2}$ + 37$^{2}$ + 64$^{2}$ + 12$^{2}$ + 26$^{2}$ + 43$^{2}$ + 29$^{2}$ + 23$^{2}$) – (30,875)$^{2}$ ≈ 255,86.

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu là: $S=\sqrt{{S}^{2}}=\sqrt{255{,}86}\approx 16$.

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

12; 13; 23; 26; 29; 37; 43; 64.

Khoảng biến thiên của mẫu là: R = 64 – 12 = 52.

Vì cỡ mẫu là 8 là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là Q$_{2}$ = $\frac{1}{2}(26+29)=27{,}5$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 12; 13; 23; 26. Do đó Q$_{1}$ = 18.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 29; 37; 43; 64. Do đó Q$_{3}$ = 40.

Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ∆$_{Q}$ = 40 – 18 = 22.

Ta có: Q$_{3}$ + 1,5∆$_{Q}$ = 40 + 1,5 . 22 = 73 và Q$_{1}$ – 1,5∆$_{Q}$ = 18 – 1,5 . 22 = – 15.

Do đó mẫu số liệu không có giá trị ngoại lệ.

a) Cỡ mẫu n = 10 + 20 + 30 + 20 + 10 = 90.

Số trung bình: $\overline{x}=\frac{10.(-2)+20.(-1)+30.0+20.1+10.2}{90}=0$

Phương sai mẫu số liệu là:

S$^{2}$ = $\frac{1}{90}$[10 . (– 2)$^{2}$ + 20 . (– 1)$^{2}$ + 30 . 0$^{2}$ + 20 . 1$^{2}$ + 10 . 2$^{2}$] – 0$^{2}$ = $\frac{4}{3}$.

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu là:

S = $\sqrt{{S}^{2}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Sắp xếp các số liệu của mẫu theo thứ tự không giảm, ta được:

– 2; – 2; – 2; – 2 ; – 2; – 2; – 2; – 2; – 2; – 2; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 2 – (– 2) = 4.

Vì cỡ mẫu là 90 là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là Q$_{2}$ = 0.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: – 2; – 2; – 2; – 2 ; – 2; – 2; – 2; – 2; – 2; – 2; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0. Do đó Q$_{1}$ = – 1.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2. Do đó Q$_{3}$ = 1.

Khoảng tứ phân vị là ∆$_{Q}$ = 1 – (– 1) = 2.

b) Số trung bình: $\overline{x}$ = 0,1 . 0 + 0,2 . 1 + 0,4 . 2 + 0,2 . 3 + 0,1 . 4 = 2.

Phương sai mẫu số liệu là:

S$^{2}$ = (0,1 . 0$^{2}$ + 0,2 . 1$^{2}$ + 0,4 . 2$^{2}$ + 0,2 . 3$^{2}$ + 0,1 . 4$^{2}$) – 2$^{2}$ = 1,2.

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu là:

S = $\sqrt{{S}^{2}}=\sqrt{1{,}2}=\frac{\sqrt{30}}{5}$.

Giả sử cỡ mẫu là 10. Khi đó:

Tần số của giá trị 0 là 0,1 . 10 = 1.

Tần số của giá trị 1 là 0,2 . 10 = 2.

Tần số của giá trị 2 là 0,4 . 10 = 4.

Tần số của giá trị 3 là 0,2 . 10 = 2.

Tần số của giá trị 4 là 0,1 . 1 = 1.

Sắp xếp các số liệu của mẫu theo thứ tự không giảm, ta được:

0; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 4.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là R = 4 – 0 = 4.

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là Q$_{2}$ = 2.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 0; 1; 1; 2; 2. Do đó Q$_{1}$ = 1.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 2; 2; 3; 3; 4. Do đó Q$_{3}$ = 3.

Khoảng tứ phân vị là: ∆$_{Q}$ = 3 – 1 = 2.

* Mẫu 1:

+ Số trung bình: $\overline{{x}_{1}}=\frac{0{,}1+0{,}3+0{,}5+0{,}5+0{,}3+0{,}7}{6}=0{,}4$.

+ Phương sai mẫu: ${S}_{1}^{2}=\frac{1}{6}$(0,1$^{2}$ + 0,3$^{2}$ + 0,5$^{2}$ + 0,5$^{2}$ + 0,3$^{2}$ + 0,7$^{2}$) – 0,4$^{2}$ = $\frac{11}{300}$.

+ Độ lệch chuẩn: ${S}_{1}=\sqrt{{S}_{1}^{2}}=\sqrt{\frac{11}{300}}=\frac{\sqrt{33}}{30}$.

* Mẫu 2:

+ Số trung bình: $\overline{{x}_{2}}=\frac{1{,}1+1{,}3+1{,}5+1{,}5+1{,}3+1{,}7}{6}=1{,}4$.

+ Phương sai mẫu: ${S}_{2}^{2}=\frac{1}{6}$(1,1$^{2}$ + 1,3$^{2}$ + 1,5$^{2}$ + 1,5$^{2}$ + 1,3$^{2}$ + 1,7$^{2}$) – 1,4$^{2}$ = $\frac{11}{300}$.

+ Độ lệch chuẩn: ${S}_{2}=\sqrt{{S}_{2}^{2}}=\sqrt{\frac{11}{300}}=\frac{\sqrt{33}}{30}$.

* Mẫu 3:

+ Số trung bình: $\overline{{x}_{3}}=\frac{1+3+5+5+3+7}{6}=4$.

+ Phương sai mẫu: ${S}_{3}^{2}=\frac{1}{6}$(1$^{2}$ + 3$^{2}$ + 5$^{2}$ + 5$^{2}$ + 3$^{2}$ + 7$^{2}$) – 4$^{2}$ = $\frac{11}{3}$.

+ Độ lệch chuẩn: ${S}_{3}=\sqrt{{S}_{3}^{2}}=\sqrt{\frac{11}{3}}=\frac{\sqrt{33}}{3}$.

* So sánh ta thấy:

+ Phương sai mẫu và độ lệch chuẩn của mẫu 1 và mẫu 2 là như nhau. Số trung bình của mẫu 1 nhỏ hơn số trung bình của mẫu 2.

+ Số trung bình, độ lệch chuẩn của mẫu 3 gấp 10 lần mẫu 1, phương sai mẫu 3 gấp 100 lần phương sai mẫu 1.

a)

* Tỉnh Thái Bình:

Số trung bình:

$\overline{{x}_{1}}=\frac{1061{,}9+1061{,}9+1053{,}6+942{,}6+1030{,}4}{5}=1030{,}08$.

Phương sai mẫu:

${S}_{1}^{2}=\frac{1}{5}$(1061,9$^{2}$ + 1061,9$^{2}$ + 1053,6$^{2}$ + 942,6$^{2}$ + 1030,4$^{2}$) – 1030,08$^{2}$ ≈ 2046,21.

Độ lệch chuẩn: S$_{1}$ = $\sqrt{{S}_{1}^{2}}=\sqrt{2046{,}21}\approx 45{,}24$.

Khoảng biến thiên: R$_{1}$ = 1061,9 – 942,6 = 119,3.

* Tỉnh Hậu Giang:

Số trung bình: $\overline{{x}_{2}}=\frac{1204{,}6+1293{,}1+1231{,}0+1261{,}0+1246{,}1}{5}=1247{,}16$.

Phương sai mẫu:

${S}_{2}^{2}=\frac{1}{5}$(1204,6$^{2}$ + 1293,1$^{2}$ + 1231,0$^{2}$ + 1261,0$^{2}$ + 1246,1$^{2}$) – 1247,16$^{2}$ = 875,1304.

Độ lệch chuẩn: S$_{2}$ = $\sqrt{{S}_{2}^{2}}=\sqrt{875{,}1304}\approx 29{,}58$.

Khoảng biến thiên: R$_{2}$ = 1293,1 – 1204,6 = 88,5.

b) Do 45,24 > 29,58, 119,3 > 88,5 nên độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên của sản lượng lúa tỉnh Thái Bình lớn hơn tỉnh Hậu Giang, điều đó có nghĩa là sản lượng lúa của tỉnh Thái Bình trong các năm từ 2014 đến 2018 có độ phân tán cao hơn tỉnh Hậu Giang.

Vậy tỉnh Hậu Giang có sản lượng lúa ổn định hơn (ít bị phân tán hơn).

a)

* Nhà máy A:

+ Số trung bình mức lương hàng tháng:

$\overline{{x}_{A}}=\frac{4+5+5+47+5+6+4+4}{8}=10$.

+ Giá trị 4 và 5 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu số liệu ở nhà máy A là 4 và 5.

+ Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 47.

Vì cỡ mẫu là 8 là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là Q$_{2A}$ = 5.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 4; 4; 4; 5. Do đó Q$_{1A}$ = 4.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 5; 5; 6; 47. Do đó Q$_{3A}$ = 5,5.

+ Phương sai mẫu:

${S}_{A}^{2}=\frac{1}{8}$(4$^{2}$ + 5$^{2}$ + 5$^{2}$ + 47$^{2}$ + 5$^{2}$ + 6$^{2}$ + 4$^{2}$ + 4$^{2}$) – 10$^{2}$ = 196.

+ Độ lệch chuẩn: S$_{A}$ = $\sqrt{{S}_{A}^{2}}=\sqrt{196}=14$.

* Nhà máy B:

+ Số trung bình mức lương hàng tháng:

$\overline{{x}_{B}}=\frac{2+9+9+8+10+9+9+11+9}{9}\approx 8{,}4$.

+ Giá trị 9 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu số liệu ở nhà máy B là 9.

+ Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

2; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 10; 11.

Vì cỡ mẫu là 9 là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là Q$_{2B}$ = 9.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 8; 9; 9. Do đó Q$_{1B}$ = 8,5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 9; 9; 10; 11. Do đó Q$_{3B}$ = 9,5.

+ Phương sai mẫu:

${S}_{B}^{2}=\frac{1}{9}$(2$^{2}$ + 8$^{2}$ + 9$^{2}$ + 9$^{2}$ + 9$^{2}$ + 9$^{2}$ + 9$^{2}$ + 10$^{2}$ + 11$^{2}$) – 8,4$^{2}$ = 6,55.

+ Độ lệch chuẩn: S$_{B}$ = $\sqrt{{S}_{B}^{2}}=\sqrt{6{,}55}\approx 2{,}6$.

b)

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ở nhà máy A là: ∆$_{QA}$ = 5,5 – 4 = 1,5.

Ta có: Q$_{3A}$ + 1,5∆$_{QA}$ = 5,5 + 1,5 . 1,5 = 7,75 và Q$_{1A}$ – 1,5∆$_{QA}$ = 4 – 1,5 . 1,5 = 1,75.

Do đó giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu ở nhà máy A là 47.

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ở nhà máy B là: ∆$_{QB}$ = 9,5 – 8,5 = 1.

Ta có: Q$_{3B}$ + 1,5∆$_{QB}$ = 9,5 + 1,5 . 1 = 11 và Q$_{1B}$ – 1,5∆$_{QB}$ = 8,5 – 1,5 . 1 = 7.

Do đó giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu ở nhà máy B là 2.

+ Quan sát các số liệu tính được ở câu a), ta thấy

- Số trung bình mức lương hàng tháng của công nhân ở nhà máy A cao hơn nhà máy B.

- Phương sai mẫu và độ lệch chuẩn mẫu số liệu ở nhà máy A cao hơn nhà máy B nên mức lương hằng tháng của công nhân nhà máy A có độ phân tán cao hơn nhà máy B, do đó mức lương của công nhân nhà máy B ổn định hơn nhà máy A.

- Mức lương xuất hiện nhiều nhất trong mẫu A là 4 và 5 triệu đồng, nhà máy B là 9 triệu đồng.

Do đó, ta có thể khẳng định công nhân nhà máy A có mức lương cao hơn (đều và ổn định hơn).