Bài tập Bất phương trình mũ lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Ta có 8$^{x}$ ≥ $\frac{1}{64}$ ⇔ 8$^{x}$ ≥ 8$^{-2}$ ⇔ x ≥ – 2.

Đáp án đúng là: A

Lôgarit cơ số 3 cả hai vế bất phương trình trở thành: x$^{2}$ – 1 > log$_{3}$2$^{x+1}$

⇔ x$^{2}$ – 1 > (x + 1)log$_{3}$2

⇔ (x + 1)(x – 1 – log$_{3}$2) > 0

⇔ $[\begin{matrix}\text{x}<-1 \\ \text{x}>1+{\log }_{3}2\end{matrix}$ .

Đáp án đúng là: C

Đưa vế phải về cơ số 4, ta có $\frac{4}{{16}^{\text{x}}}={4}^{1-\text{2x}}$ .

Từ đó bất phương trình trở thành 4$^{x+7}$ ≥ 4$^{1-2x}$ ⇔ x + 7 ≥ 1 – 2x ⇔ x ≥ – 2.

Đáp án đúng là: A

⇔ ⇔ x$^{2}$ – x + 4 < 4 ⇔ x$^{2}$ – x < 0 ⇔ 0 < x < 1.

Vậy bất phương trình${2}^{{\text{x}}^{2}-\text{x+}4}<16$ không có nghiệm nguyên.

Đáp án đúng là: D

Ta có ${7}^{{\text{x}}^{2}+5\text{x}-6}\le 1$ ⇔ ${7}^{{\text{x}}^{2}+5\text{x}-6}\le {7}^{0}$⇔ x$^{2}$ + 5x – 6 ≤ 0 ⇔ – 6 ≤ x ≤ 1.

Vậy bất phương trình ${7}^{{\text{x}}^{2}+5\text{x}-6}\le 1$có 8 nghiệm nguyên.

Đáp án đúng là: B

Ta có ${2}^{\frac{2\text{x}-1}{\text{x+}1}}>\frac{1}{16}$ ⇔ ${2}^{\frac{2\text{x}-1}{\text{x+}1}}>{2}^{-4}$

⇔ $\frac{2\text{x}-1}{\text{x +}1}>-4$

⇔ $\frac{\text{6x}+3}{\text{x +}1}>0$

⇔ $[\begin{matrix}\text{x}>\frac{-1}{2} \\ \text{x}<-1\end{matrix}$

Đáp án đúng là: B

Lôgarit cơ số 4 cả hai vế bất phương trình trở thành:

x$^{2}$ < log$_{4}$5$^{x}$

⇔ x$^{2}$ < xlog$_{4}$5

⇔ x(x – log$_{4}$5) < 0

⇔ $\{\begin{matrix}\text{x}>0 \\ \text{x}<{\log }_{4}5\end{matrix}$.

Vậy bất phương trình có 1 nghiệm nguyên là x = 1.

Đáp án đúng là: A

Ta có ${4}^{\text{x}}{.2}^{1-{\text{x}}^{\text{2}}}>{(\sqrt{2})}^{\text{2x}}$

⇔ ${2}^{2\text{x}+1-{\text{x}}^{\text{2}}}>{2}^{\text{x}}$

⇔ 2x + 1 – x$^{2}$ > x

⇔ x$^{2}$ – x – 1 < 0

⇔ $\frac{1-\sqrt{5}}{2}<\text{x}<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Vậy có 1 giá trị nguyên dương là x = 1 thỏa mãn bất phương trình đã cho.

Đáp án đúng là: D

Ta có 5$^{x}$ + 5$^{x+1}$ + 5$^{x+2}$ < 2$^{x}$ + 2$^{x+1}$ + 2$^{x+2}$

⇔ 31 . 5$^{x}$ < 7. 2$^{x}$

$^{{5}^{\text{x}}<{2}^{\text{x}}\cdot \frac{7}{31}}$

⇔ $\Leftrightarrow {(\frac{5}{2})}^{\text{x}}<\frac{7}{31}$

$\Leftrightarrow x<{\log }_{\frac{5}{2}}\frac{7}{31}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: 2$^{x}$ > 6 ⇔ x > log$_{2}$6

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (log$_{2}$6; $+ \infty$).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: 3$^{x}$ < 2 ⇔ x < log$_{3}$2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (–$\infty$; log$_{3}$2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

2$^{2x}$ < 2$^{x+6}$ ⇔ 2x < x + 6 (do 2 > 1)

⇔ 2x – x < 6 ⇔ x < 6.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (–$\infty$; 6).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: 5$^{x+2}$< ${\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{ - x}}$ ⇔ 5$^{x+2}$< (25$^{–1}$)$^{–x}$ ⇔ 5$^{x+2}$< 25$^{x}$

⇔ 5$^{x+2}$< (5$^{2}$)$^{x}$ ⇔ 5$^{x+2}$< 5$^{2x}$

Vì a = 5 > 1 ⇒ x + 2 < 2x ⇔ x – 2x < –2 ⇔ –x < –2 ⇔ x > 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (2; $+ \infty$).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: 3$^{x}$ < e$^{x}$

Chia cả hai vế của bất phương trình cho e$^{x}$ > 0, ta được:

$\frac{{{3^x}}}{{{e^x}}}$ < 1 ⇔ ${\left( {\frac{3}{e}} \right)^x}$ < 1 ⇔ ${\left( {\frac{3}{e}} \right)^x}$ < ${\left( {\frac{3}{e}} \right)^0}$.

Vì a = $\frac{3}{e}$ > 1 ⇒ x < 0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (–$\infty$; 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Thay x = $\frac{1}{2}$ vào vế trái của bất phương trình (1), ta có:

${25^{\frac{1}{2}}}$ – 6 ⋅ ${5^{\frac{1}{2}}}$ + 5 = $\sqrt {25}$ – 6$\sqrt 5$ + 5 = 5 – 6$\sqrt 5$ + 5 = 10 – 6$\sqrt 5$

Vì 10 = $\sqrt {100}$ < 6$\sqrt 5$ = $\sqrt {180}$ ⇒ 10 – 6$\sqrt 5$ < 0. Do đó, mệnh đề sai.

b) Đúng. Thay x = –1 vào vế trái của bất phương trình (1), ta có:

25$^{–1}$ – 6 ⋅ 5$^{–1}$ + 5 = $\frac{1}{{25}}$ – $\frac{6}{5}$ + 5 = $\frac{{96}}{{25}}$ > 0

Vậy x = –1 là một nghiệm của bất phương trình (1).

c) Đúng. Ta có: 25$^{x}$ – 6 ⋅ 5$^{x}$ + 5 ≥ 0 ⇔ (5$^{2}$)$^{x}$ – 6 ⋅ 5$^{x}$ + 5 ≥ 0.

Với t = 5$^{x}$ (t > 0) ⇒ (1) trở thành t$^{2}$ – 6t + 5 ≥ 0.

d) Đúng. Theo câu c), ta có: t$^{2}$ – 6t + 5 ≥ 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}t \le 1\\t \ge 5\end{array} \right.$; kết hợp với điều kiện t > 0

⇒ $\left[ \begin{array}{l}0 < t \le 1\\t \ge 5\end{array} \right.$

- Với t ≤ 1 ⇒ 5$^{x}$ ≤ 5$^{0}$ ⇔ x ≤ 0.

- Với t ≥ 5 ⇒ 5$^{x}$ ≥ 5$^{1}$ ⇔ x ≥ 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là S = (–$\infty$; 0] ∪ [1; $+ \infty$).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: 16$^{x}$ < $\frac{1}{4}$ ⇔ 2$^{4x}$ < 2$^{–2}$. Vì a = 2 > 1

⇒ 4x < – 2 ⇔ x < $- \frac{1}{2}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = $\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)$.

b) Sai. Ta có: 5$^{x–1}$≥ ${\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^x}$ ⇔ 5$^{x–1}$≥ (5$^{–2}$)$^{x}$ ⇔ 5$^{x–1}$ ≥ 5$^{–2x}$.

Vì a = 5 > 1 ⇒ x – 1 ≥ –2x ⇔ x + 2x ≥ 1 ⇔ 3x ≥ 1 ⇔ x ≥ $\frac{1}{3}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = $\left[ {\frac{1}{3}; + \infty } \right)$

⇒ Bất phương trình không có nghiệm lớn nhất.

c) Sai. Ta có: (0,3)$^{x–2}$ ≤ 3. Vì 0 < a = 0,3 < 1

⇒ x – 2 ≥ log$_{0{,}3}$3 ⇔ x ≥ 2 + log$_{0{,}3}$3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [2 + log$_{0{,}3}$3; +$\infty$)

⇒ Bất phương trình không có nghiệm lớn nhất.

d) Đúng. Ta có: 2 ⋅ 7$^{x+2}$ > 9 ⇔ 7$^{x+2}$> $\frac{9}{2}$. Vì a = 7 > 1

⇒ x + 2 > ${\log _7}\left( {\frac{9}{2}} \right)$ ⇔ x > – 2 + ${\log _7}\left( {\frac{9}{2}} \right)$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = $\left( { - 2 + {{\log }_7}\left( {\frac{9}{2}} \right); + \infty } \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: ${\left( {\frac{1}{9}} \right)^x}$ ≥ 27 ⋅ 3$^{x}$ ⇔ 3$^{–2x}$ ≥ 3$^{3}$ ⋅ 3$^{x}$ ⇔ 3$^{–2x}$ ≥ 3$^{3+x}$.

⇒ Bất phương trình có chung tập nghiệm với 3$^{–2x}$ ≥ 3$^{3+x}$.

b) Đúng. Theo câu a), bất phương trình có chung tập nghiệm với 3$^{–2x}$ ≥ 3$^{3+x}$

Vì a = 3 > 1

⇒ –2x ≥ 3 + x ⇔ –2x – x ≥ 3 ⇔ –3x ≥ 3 ⇔ x ≤ –1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (–$\infty$; –1] ⇒ b = –1.

c) Đúng. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} (3x + 2)$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (3x + 2) = - \infty$.

d) Sai. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to b} (3x + 2)$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} (3x + 2)$ = 3×(–1) + 2 = –1 ≠ 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Ta có: ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 32$ ⇔ (2$^{–1}$)$^{x}$ > 2$^{5}$ ⇔ 2$^{–x}$ > 2$^{5}$. Vì a = 2 > 1

⇒ –x > 5 ⇔ x < –5

Xét bất phương trình 2$^{x}$ < 32, ta có: 2$^{x}$ < 2$^{5}$. Vì a = 2 > 1 ⇒ x < 5

Vậy mệnh đề a sai.

b) Đúng. Theo câu a), ta có nghiệm của bất phương trình (1) là:

x < –5 ⇔ x + 5 < –5 + 5 ⇔ x + 5 < 0

Vì a = 2 > 1 ⇒ 2$^{x+5}$< 2$^{0}$ ⇔ 2$^{x+5}$< 1

Vậy bất phương trình (1) tương đương với 2$^{x+5}$< 1.

c) Sai. Xét bất phương trình 2$^{x}$ > $\frac{1}{{32}}$ ⇔ 2$^{x}$ > 2$^{–5}$. Vì a = 2 > 1 ⇒ x > –5.

⇒ Mệnh đề c) sai.

d) Đúng. Vì nghiệm của bất phương trình là x < –5 ⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S = (–$\infty$; –5).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Điều kiện x – 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2.

b) Sai. Ta có: ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{x - 2}}}}$ ≥ 1 ⇔ ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{x - 2}}}}$ ≥ ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^0}$

⇔ $\frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{x - 2}}$ ≤ 0 (do 0 < $\frac{1}{3}$ < 1)

c) Sai. Theo câu b), ta có: $\frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{x - 2}}$ ≤ 0 ⇔ $\frac{{(x - 1)(x - 4)}}{{x - 2}}$ ≤ 0

Gọi f(x) = $\frac{{(x - 1)(x - 4)}}{{x - 2}}$ ≤ 0 với x ≠ 2, ta có:

⇒ f(x) ≤ 0 ⇔ x ≤ 1 hoặc 2 < x ≤ 4

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = ($- \infty$; 1] ∪ (2; 4].

d) Đúng. Theo câu c, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = ($- \infty$; 1] ∪ (2; 4]

⇒ Các số nguyên dương thuộc tập nghiệm là: x = 1; x = 3; x = 4

Vậy bất phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm nguyên dương.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5

Ta có: ${3^{{x^2} - 4x - 7}} < \frac{1}{9}$ ⇔ ${3^{{x^2} - 4x - 7}} < {3^{ - 2}}$. Vì a = 3 > 1 ⇒ x$^{2}$ – 4x – 7 < –2

⇔ x$^{2}$ – 4x – 7 + 2 < 0 ⇔ x$^{2}$ – 4x – 5 < 0 ⇔ –1 < x < 5 ⇔ x ∈ (–1; 5)

Vì x ∈ ℤ nên x ∈ {0; 1; 2; 3; 4}

Vậy số phần tử của S bằng 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Ta có: $\frac{{64}}{{{2^{x - 2}}}} \ge {4^{\frac{x}{2}}}$ ⇔ 64 ≥ ${\left( {{2^2}} \right)^{\frac{x}{2}}}$ ⋅ 2$^{x–2}$

⇔ 64 ≥ 2$^{x}$ ⋅ 2$^{x–2}$ ⇔ 2$^{6}$ ≥ 2$^{2x–2}$. Vì a = 2 > 1

⇒ 6 ≥ 2x – 2 ⇔ 6 + 2 ≥ 2x ⇔ 8 ≥ 2x ⇔ x ≤ 4.

⇒ Nghiệm nguyên dương của bất phương trình là: x ∈{1; 2; 3; 4}

Vậy số nghiệm nguyên dương của bất phương trình là 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1,11

Ta có: 25$^{x}$ – 5$^{1+ x}$– 6 ≥ 0 ⇔ 5$^{2x}$ – 5 ⋅ 5$^{x}$ – 6 ≥ 0 ⇔ ${({5^x})^2}$ – 5 ⋅ 5$^{x}$ – 6 ≥ 0

Đặt t = 5$^{x}$ (t > 0)

⇒ t$^{2}$ – 5t – 6 ≥ 0 ⇔ (t – 6)(t + 1) ≥ 0.

Vì t > 0 ⇒ t + 1 > 1 > 0

Do đó: t – 6 ≥ 0 ⇔ t ≥ 6

Thay t = 5$^{x}$ ta được 5$^{x}$ ≥ 6. Vì a = 5 > 1 ⇒ x ≥ log$_{5}$6.

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S = [log$_{5}$6; $+ \infty$)

⇒ a = log$_{5}$6 ≈ 1,11

Vậy giá trị của a ≈ 1,11.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Ta có: ${\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge \frac{1}{{125}}$ ⇔ ${\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge {\left( {\frac{1}{5}} \right)^3}$⇔ x$^{2}$ – 2x ≤ 3 (do 0 < $\frac{1}{5}$ < 1)

⇔ x$^{2}$ – 2x – 3 ≤ 0 ⇔ –1 ≤ x ≤ 3

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S = [–1; 3] ⇒ a = –1; b = 3

Vậy P = a + b = –1 + 3 = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Ta có: 7$^{x}$ – 7$^{2–x}$< 48 ⇔ 7$^{x}$ – $\frac{{{7^2}}}{{{7^x}}}$ < 48 ⇔ 7$^{x}$ – $\frac{{49}}{{{7^x}}}$ < 48

Đặt t = 7$^{x}$ (t > 0)

⇒ t – $\frac{{49}}{t}$ < 48. Nhân cả hai vế của bất phương trình với t > 0, ta được:

t$^{2}$ – 49 < 48t ⇔ t$^{2}$ – 48t – 49 < 0 ⇔ –1 < t < 49, kết hợp với t > 0

⇒ 0 < t < 49

Thay t = 7$^{x}$: 0 < 7$^{x}$< 49.

Vì 7$^{x}$ > 0 với mọi x ⇒ 7$^{x}$ < 49 ⇔ 7$^{x}$ < 7$^{2}$ ⇔ x < 2 (do a = 7 > 1)

⇒ Nghiệm nguyên dương của bất phương trình là: x = 1

Vậy số nghiệm nguyên dương của bất phương trình là 1.