Bài tập Bất phương trình lôgarit lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: x + 8 > 0 và −x$^{2}$ + 6x − 8 > 0, tức 2 < x < 4.

Vì cơ số 2 > 1 nên bất phương trình trở thành x + 8 ≤ – x$^{2}$ + 6x – 8 hay x$^{2}$ – 5x + 16 ≤ 0.

Vì x$^{2}$ – 5x + 16 = ${(\text{x}-\frac{5}{2})}^{2}+\frac{39}{4}>0$ với mọi x.

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: x > 0.

Vì cơ số 2 > 1 nên bất phương trình trở thành x < 2$^{5}$ hay x < 32.

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là 0 < x < 32.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: 3x – 4 > 0 và 2 + x > 0, tức $\text{x}>\frac{4}{3}$ .

Vì cơ số nên bất phương trình trở thành 3x – 4 < 2 + x ⇔ x < 3.

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là $\frac{4}{3}<\text{x}<3$ .

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: x – 40 > 0 và 60 – x > 0, tức 40 < x < 60.

Bất phương trình trở thành log[(x – 40)(60 – x)] < 2 hay – x$^{2}$ +100x – 2400 < 10$^{2}$.

Từ đó ta có – x$^{2}$ +100x – 2500 < 0.

Vì – x$^{2}$ +100x – 2500 = – (x – 50)$^{2}$ < 0 với mọi x.

Kết hợp với điều kiện ta được 19 nghiệm nguyên dương của bất phương trình đã cho là:{41; 42; 43; 44; 45; 46; 47; …..; 59}.

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: x – 1 > 0 và x + 1 > 0, tức x > 1.

Bất phương trình trở thành log$_{3}$ (x – 1)$^{2}$ – log$_{3}$(x + 1) ≥ 1.

Từ đó ${\log }_{3}\frac{{(\text{x}-1)}^{2}}{\text{x}+1}\ge 1$ hay $\frac{{(\text{x}-1)}^{2}}{\text{x}+1}\ge 3$

⇔ $\frac{{(\text{x}-1)}^{2}-3\text{x}-3}{\text{x}+1}\ge 0$

⇔ $\frac{{\text{x}}^{2}-5\text{x}-2}{\text{x}+1}\ge 0$

⇔ $[\begin{matrix}x\le \frac{5-\sqrt{33}}{2} \\ x\ge \frac{5+\sqrt{33}}{2}\end{matrix}$(vì x + 1 > 0).

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình .

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: x > 0 và 2 – x$^{2}$ > 0, tức $0<\text{x}<\sqrt{2}$ .

Bất phương trình trở thành log$_{3}$x$^{-1}$ + log$_{3}$(2 – x$^{2}$) ≥ 0 hay ${\log }_{3}(\frac{2-{\text{x}}^{2}}{\text{x}})\ge 0$

⇔ ${\log }_{3}(\frac{2-{\text{x}}^{2}}{\text{x}})\ge 0$

⇔ $\frac{2-{\text{x}}^{2}}{\text{x}}\ge 1$

⇔ $\frac{2-{\text{x}}^{2}-\text{x}}{\text{x}}\ge 0$

⇔ 0 < x ≤ 1 (vì x > 0).

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là 0 < x £ 1.

Vậy bất phương trình có một nghiệm nguyên là x = 1 nên tổng các nghiệm nguyên là 1.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: x$^{2}$ – x – 1 > 0 và x – 1 > 0 , tức x > $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ .

Bất phương trình trở thành log$_{4}$(x$^{2}$ – x – 1)$^{2}$ ≥ log$_{4}$(x – 1)$^{2}$.

Vì cơ số 4 > 1 nên bất phương trình trở thành (x$^{2}$ – x – 1)$^{2}$ ≥ (x – 1)$^{2}$.

⇔ (x$^{2}$ – x – 1)$^{2}$ – (x – 1)$^{2}$ ≥ 0.

⇔ (x$^{2}$ – x – 1 – x + 1)( x$^{2}$ – x – 1 + x – 1) ≥ 0.

⇔ (x$^{2}$ – 2x)( x$^{2}$ – 2) ≥ 0.

⇔ $0\le \text{x}\le \sqrt{2}$ .

Kết hợp với điều kiện đề bài ta được bất phương trình đã cho vô nghiệm.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: x + 4 > 0 và 14 – x > 0, tức –4 < x < 14.

Bất phương trình trở thành log$_{2}$(x + 4) < log$_{2}$(14 – x).

Vì cơ số 2 > 1 nên x + 4 < 14 – x hay x < 5.

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là –4 < x < 5.

Vậy A sai.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: x > 0.

Khi đó bất phương trình trở thành ${\log }_{4}{\text{x}}^{3}+{\log }_{4}\frac{\text{1}}{\text{x}}+{\log }_{4}\text{x}\le 3$

⇔ ${\log }_{4}({\text{x}}^{3}\cdot \frac{\text{1}}{\text{x}}\cdot \text{x})\le 3$

⇔ log$_{4}$x$^{3}$ ≤ 3

⇔ x$^{3}$ ≤ 4$^{3}$

⇔ x ≤ 4.

Kết hợp với điều kiện ta được bất phương trình có nghiệm là 0 < x ≤ 4.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: x > 0 và 2 – 9x > 0, tức .

Khi đó bất phương trình trở log$_{5}$x < log$_{5}$(2 – 9x)$^{2}$

Vì cơ số 5 > 1 nên ta có x < (2 – 9x)$^{2}$

⇔ 81x$^{2}$ – 37x + 4 > 0

⇔ $[\begin{matrix}\text{x}>\frac{37+\sqrt{73}}{162} \\ \text{x<}\frac{37-\sqrt{73}}{162}\end{matrix}$

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là $\text{x<}\frac{37-\sqrt{73}}{162}$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: x – 2 > 0 ⇔ x > 2

Ta có: ${\log _{\frac{1}{2}}}(x - 2)$ ≤ 1. Vì 0 < a = $\frac{1}{2}$ < 1

⇒ x – 2 ≥ $\frac{1}{2}$ ⇔ x ≥ $\frac{5}{2}$

Kết hợp với điều kiện ⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S = $\left[ {\frac{5}{2}; + \infty } \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}2x > 0\\x + 6 > 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > - 6\end{array} \right.$ ⇔ x > 0

Vì a = 10 > 1 nên ta có: log(2x) < log(x + 6) ⇔ 2x < x + 6 ⇔ 2x – x < 6 ⇔ x < 6

Kết hợp với điều kiện, suy ra 0 < x < 6

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (0; 6).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x + 6 > 0\\x > 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x > - 6\\x > 0\end{array} \right.$ ⇔ x > 0

Ta có: log$_{4}$(x + 6) < 2 – 2log$_{4}$x ⇔ log$_{4}$(x + 6) < log$_{4}$16 – 2log$_{4}$x

⇔ log$_{4}$(x + 6) < log$_{4}$16 – log$_{4}$x$^{2}$ ⇔ log$_{4}$(x + 6) < ${\log _4}\frac{{16}}{{{x^2}}}$ ⇔ x + 6 < $\frac{{16}}{{{x^2}}}$

⇔ x$^{3}$ + 6x$^{2}$ – 16 < 0

⇔ $\left[ \begin{array}{l}x < - 2 - 2\sqrt 3 \\ - 2 < x < - 2 + 2\sqrt 3 \end{array} \right.$

Kết hợp với điều kiện, suy ra 0 < x < –2 + $2\sqrt 3$ ≈ 1,46

Suy ra nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là x = 1.

Vậy bất phương trình đã cho có 1 nghiệm nguyên.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}3x - 2 > 0\\6 - 5x > 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x > \frac{2}{3}\\x < \frac{6}{5}\end{array} \right.$ ⇔ $\frac{2}{3} < x < \frac{6}{5}$

Ta có: log$_{2}$(3x – 2) + ${\log _{\frac{1}{2}}}(6 - 5x)$ > 0 ⇔ log$_{2}$(3x – 2) + ${\log _{{2^{ - 1}}}}(6 - 5x)$ > 0

⇔ log$_{2}$(3x – 2) – log$_{2}$(6 – 5x) > 0 ⇔ log$_{2}$(3x – 2) > log$_{2}$(6 – 5x)

Vì a = 2 > 1 ⇒ 3x –2 > 6 – 5x ⇔ 3x + 5x > 6 + 2 ⇔ 8x > 8 ⇔ x > 1

Kết hợp với điều kiện, suy ra 1 < x < $\frac{6}{5}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = $\left( {1;\frac{6}{5}} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\{x^2} - x - 2 > 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 2\end{array} \right.\end{array} \right.$ ⇔ x > 2

Ta có: ${\log _2}({x^2} - x - 2)$ ≥ log$_{0{,}5}$(x – 1) + 1 ⇔ ${\log _2}({x^2} - x - 2)$ ≥ ${\log _{{2^{ - 1}}}}(x - 1)$ + 1

⇔ ${\log _2}({x^2} - x - 2)$ ≥ –log$_{2}$(x – 1) + 1 ⇔ ${\log _2}({x^2} - x - 2)$ + log$_{2}$(x – 1) ≥ 1

⇔ ${\log _2}({x^2} - x - 2)(x - 1)$ ≥ 1 ⇔ (x$^{2}$ – x – 2)(x – 1) ≥ 2$^{1}$ ⇔ (x$^{2}$ – x – 2)(x – 1) ≥ 2

⇔ x$^{3}$ – x$^{2}$ – x$^{2}$ + x – 2x + 2 ≥ 2 ⇔ x$^{3}$ – 2x$^{2}$ – x ≥ 0 ⇔ x ∈ [1 – $\sqrt 2$, 0] ∪ [1 +$\sqrt 2$, $+ \infty$)

Kết hợp với điều kiện, suy ra x ≥ 1 + $\sqrt 2$ ≈ 2,41

Suy ra các nghiệm nguyên thuộc [0; 2023] là x ∈ {3; 4; 5;…; 2023}

⇒ Bất phương trình có: 2021 nghiệm nguyên thuộc [0; 2023]

Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình thuộc [0; 2023] là 2021.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Điều kiện –x + 3 > 0 ⇔ x < 3

Ta có: log$_{2}$(–x + 3) ≥ 1. Vì a = 2 > 1

⇒ –x + 3 ≥ 2$^{1}$ ⇔ –x + 3 ≥ 2 ⇔ –x ≥ –1 ⇔ x ≤ 1.

Kết hợp với điều kiện, suy ra x ≤ 1 ⇒ Nghiệm lớn nhất của bất phương trình bằng 1.

b) Sai. Điều kiện: 2x – 3 > 0 ⇔ x > $\frac{1}{3}$

Ta có: ${\log _{\frac{1}{3}}}(2x - 3)$ ≤ 3. Vì 0 < a = $\frac{1}{3}$ < 1

⇒ 2x – 3 ≥ ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^3}$ ⇔ 2x – 3 ≥ $\frac{1}{{27}}$ ⇔ 2x ≥ $\frac{{82}}{{27}}$ ⇔ x ≥ $\frac{{41}}{{27}}$

Kết hợp với điều kiện, suy ra x ≥ $\frac{{41}}{{27}}$

⇒ Nghiệm bé nhất của bất phương trình bằng $\frac{{41}}{{27}}$.

c) Sai. Điều kiện: x$^{2}$ + 5x + 4 > 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x > - 1\\x < - 4\end{array} \right.$

Vậy điều kiện nghiệm của bất phương trình là x > –1 hoặc x < –4.

d) Đúng. Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} - 2x - 1 > 0\\x + 1 > 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x < - \frac{1}{2}\\x > - 1\end{array} \right.$ ⇔ –1 < x < $- \frac{1}{2}$

Ta có: ${\log _{\frac{1}{9}}}( - 2x - 1) > {\log _{\frac{1}{9}}}(x + 1)$. Vì 0 < a = $\frac{1}{9}$ < 1

⇒ –2x – 1 < x + 1 ⇔ –2x – x < 1 + 1 ⇔ –3x < 2 ⇔ x > $- \frac{2}{3}$

Kết hợp với điều kiện, suy ra nghiệm của bất phương trình là $- \frac{2}{3} < x < - \frac{1}{2}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = $\left( { - \frac{2}{3}; - \frac{1}{2}} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Điều kiện: x$^{2}$ – 5x + 7 > 0 ⇔ ${\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}$ > $\frac{3}{4}$ > 0 với mọi x ∈ ℝ ⇔ x ∈ ℝ

b) Đúng. Ta có: ${\log _{\frac{1}{{10}}}}({x^2} - 5x + 7)$ ≥ 0. Vì 0 < a = $\frac{1}{{10}}$ < 1

⇒ x$^{2}$ – 5x + 7 ≤ ${\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^0}$ ⇔ x$^{2}$ – 5x + 7 ≤ 1 ⇔ x$^{2}$ – 5x + 6 ≤ 0.

⇒ Bất phương trình có chung tập nghiệm với x$^{2}$ – 5x + 6 ≤ 0.

c) Sai. Theo câu b), bất phương trình ⇔ x$^{2}$ – 5x + 6 ≤ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ 3

Kết hợp với điều kiện theo câu a), suy ra nghiệm của bất phương trình là 2 ≤ x ≤ 3

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S = [2; 3] ⇒ a = 2; b = 3

Ta có: 3 số a; b; 5 lập thành cấp số cộng ⇔ 2b = a + 5

Mà 2 ⋅ 3 ≠ 2 + 5 (do 6 ≠ 7) ⇒ a; b; 5 không là một cấp số cộng.

d) Đúng. Ta có: [a; b] ∪ (2; 9) = [2; 3] ∪ (2; 9) = [2; 9).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Điều kiện: x – 1 > 0 ⇔ x > 1.

b) Đúng. Vì 0 < a = $\frac{1}{3}$ < 1 ⇒ x – 1 ≤ ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 2}}$ ⇔ x – 1 ≤ (3$^{–1}$)$^{–2}$ ⇔ x – 1 ≤ 3$^{2}$

⇔ x – 1 ≤ 9.

c) Đúng. Theo câu b), ta có: x – 1 ≤ 9 ⇔ x ≤ 10.

Kết hợp với điều kiện, suy ra nghiệm của bất phương trình là: 1 < x ≤ 10.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (1; 10].

d) Sai. Theo câu c), tập nghiệm của bất phương trình là (1; 10]

Với x ∈ ℤ ⇒ x ∈ {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}. Vậy tổng cộng có 9 giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}{(x + 1)^2} > 0\\2x > 0\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\x > 0\end{array} \right.$ ⇔ x > 0

Ta có: log$_{0{,}5}$(x + 1)$^{2}$ ≤ log$_{0{,}5}$2x. Vì 0 < a = 0,5 < 1

⇒ (x + 1)$^{2}$ ≥ 2x ⇔ x$^{2}$ + 2x + 1 – 2x ≥ 0 ⇔ x$^{2}$ + 1 ≥ 0 ⇔ x ∈ ℝ.

Kết hợp với điều kiện, suy ra nghiệm của bất phương trình là x > 0.

Vây tập nghiệm của bất phương trình là S = (0; $+ \infty$) ⇒ a = 0.

b) Đúng. Theo câu a), S = (0; $+ \infty$)

⇒ (a; b) ∩ (3; 2024) = (0; $+ \infty$) ∩ (3; 2024) = (3; 2024).

c) Sai. Vì với a = 0 ⇒ P = 0$^{2}$ + 3 ⋅ 0 + 5 = 5 ≠ 2.

d) Sai. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to b} \left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x}} \right)$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x}} \right)$

= $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{x^3}}}$ + $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)$ + $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{x}} \right)$ = 0 + 0 + 0 = 0

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to b} \left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x}} \right)$ = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + 3 > 0\\{x^2} + 1 > 0\\m > 0\end{array} \right.$ (*)

Ta có: x$^{2}$ + 2x + 3 = (x + 1)$^{2}$ + 2 > 0; x$^{2}$ + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ

⇒ (*) ⇔ m > 0.

Điều kiện của tham số để bất phương trình có nghĩa với mọi x ∈ ℝ là m > 0.

b) Đúng. Ta có: log$_{3}$(x$^{2}$ + 2x + 3) – log$_{3}$(x$^{2}$ + 1) ≥ log$_{3}$m

⇔ ${\log _3}\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}$ ≥ log$_{3}$m. Vì a = 3 > 1

⇒ $\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}$ ≥ m với mọi x ∈ ℝ.

c) Đúng. Đặt y = $\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}$ ⇔ y(x$^{2}$ + 1) = x$^{2}$ + 2x + 3

⇔ yx$^{2}$ + y = x$^{2}$ + 2x + 3 ⇔ yx$^{2}$ – x$^{2}$ – 2x + y – 3 = 0

⇔ (y – 1)x$^{2}$ – 2x + (y – 3) = 0 (1)

*TH1: y – 1 = 0 ⇔ y = 1

Thay y = 1 vào phương trình (1) ⇔ 0 ⋅ x$^{2}$ – 2x + (1 – 3) = 0 ⇔ –2x – 2 = 0 ⇔ x = –1

*TH2: y – 1 ≠ 0 ⇔ y ≠ 1

Phương trình có nghiệm ⇔ △' ≥ 0 ⇔ (–1)$^{2}$ – (y – 1)(y – 3) ≥ 0

⇔ –y$^{2}$ + 4y – 2 ≥ 0 ⇔ 2 – $\sqrt 2$ ≤ y ≤ 2 + $\sqrt 2$.

Vì 2 – $\sqrt 2$ ≤ y ≤ 2 +$\sqrt 2$ nên giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) là 2 – $\sqrt 2$.

d) Đúng. Theo câu b), ta có $\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}$ ≥ m với mọi x ∈ ℝ.

Mà f(x) = $\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}$ nên để bất phương trình đúng với mọi x ∈ ℝ ⇒ m ≤ f(x), ∀x.

⇔ m ≤ f$_{min}$. Mà f$_{min}$ = 2 – $\sqrt 2$ ⇒ m ≤ 2 – $\sqrt 2$ .

Kết hợp với điều kiện, suy ra 0 < m ≤ 2 – $\sqrt 2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5

Điều kiện: x > 0

log$_{2}$3 + log$_{5}$x ≥ 1 + log$_{2}$3 ⋅ log$_{5}$x ⇔ log$_{2}$3 + log$_{5}$x – 1 – log$_{2}$3 ⋅ log$_{5}$x ≥ 0

⇔ log$_{5}$x⋅(1 – log$_{2}$3) – (1 – log$_{2}$3) ≥ 0

⇔ (log$_{5}$x – 1) (1 – log$_{2}$3) ≥ 0

Vì 1 – log$_{2}$3 ≈ –0,58 < 0 và cơ số 5 > 1 nên bất phương trình trở thành:

log$_{5}$x – 1 ≤ 0 ⇔ log$_{5}$x ≤ 1 ⇔ x ≤ 5

Kết hợp với điều kiện, suy ra nghiệm của bất phương trình là 0 < x ≤ 5

Mà x ∈ ℤ ⇒ x ∈ {1; 2; 3; 4; 5}

Vậy số phần tử của S bằng 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 5 > 0\\4x > 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > \sqrt 5 \\x < - \sqrt 5 \end{array} \right.\\x > 0\end{array} \right.$ ⇔ x > $\sqrt 5$

Ta có: log$_{3}$(x$^{2}$ – 5) < log$_{3}$4x. Vì cơ số 3 > 1 nên bất phương trình đã cho trở thành:

x$^{2}$ – 5 < 4x ⇔ x$^{2}$ – 4x – 5 < 0 ⇔ –1 < x < 5

Kết hợp với điều kiện, suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = ($\sqrt 5$; 5)

⇒ Các nghiệm nguyên của bất phương trình là x ∈ {3; 4}.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 10

Điều kiện: x – 2 > 0 ⇔ x > 2

Ta có: ${\log _{\frac{1}{2}}}(x - 2)$ ≥ –3. Vì cơ số 0 < $\frac{1}{2}$ < 1 nên bất phương trình trở thành:

x – 2 ≤ ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 3}}$ ⇔ x – 2 ≤ 8 ⇔ x ≤ 10

Kết hợp với điều kiện, suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = (2; 10].

Do đó, nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là 10.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 121

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x + 2 > 0\\x - 4 > 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\x > 4\end{array} \right.$ ⇔ x > 4

Ta có: log$_{3}$(x + 2) + log$_{3}$(x – 4) ≤ 3 ⇔ log$_{3}$(x + 2)(x – 4) ≤ 3

Vì cơ số 3 > 1 nên bất phương trình trở thành:

(x + 2)(x – 4) ≤ 3$^{3}$ ⇔ x$^{2}$ – 2x – 8 ≤ 27 ⇔ x$^{2}$ – 2x – 35 ≤ 0 ⇔ –5 ≤ x ≤ 7

Kết hợp với điều kiện, suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = (4; 7].

Suy ra a = 4, b = 7. Giá trị của biểu thức T = (a + b)$^{2}$ = (4 + 7)$^{2}$ = 121.

Vậy T = 121.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 7

Điều kiện: x > 0

Đặt t = log$_{2}$x (t ∈ ℝ)

⇒ t$^{2}$ – 4t + 3 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ t ≤ 3

Thay t = log$_{2}$x ⇒ 1 ≤ log$_{2}$x ≤ 3

Vì cơ số 2 > 1 nên bất phương trình trở thành: 2$^{1}$ ≤ x ≤ 2$^{3}$ ⇔ 2 ≤ x ≤ 8

Kết hợp với điều kiện, suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = [2; 8]

Suy ra các giá trị nguyên thỏa mãn của bất phương trình là x ∈ {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

Vậy số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình trên là: 7.