Bài tập Bất phương trình bậc nhất biến đổi đặc biệt lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{{x + 1}}{{35}} + \frac{{x + 3}}{{33}} \ge \frac{{x + 5}}{{31}} + \frac{{x + 7}}{{29}}$

Suy ra $\frac{{x + 1}}{{35}} + 1 + \frac{{x + 3}}{{33}} + 1 \ge \frac{{x + 5}}{{31}} + 1 + \frac{{x + 7}}{{29}} + 1$

$\frac{{x + 36}}{{35}} + \frac{{x + 36}}{{33}} \ge \frac{{x + 36}}{{31}} + \frac{{x + 36}}{{29}}$

$\frac{{x + 36}}{{35}} + \frac{{x + 36}}{{33}} - \frac{{x + 36}}{{31}} - \frac{{x + 36}}{{29}} \ge 0$

(x + 36) $\left( {\frac{1}{{35}} + \frac{1}{{33}} - \frac{1}{{31}} - \frac{1}{{29}}} \right)$ ≥ 0.

Nhận thấy $\frac{1}{{35}} + \frac{1}{{33}} - \frac{1}{{31}} - \frac{1}{{29}}$ < 0.

Nên x + 36 ≤ 0 hay x ≤ −36.

Suy ra nghiệm của bất phương trình là x ≤ −36.

Vậy a = −36.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{{x + 6}}{{1999}} + \frac{{x + 8}}{{1997}} \ge \frac{{x + 10}}{{1995}} + \frac{{x + 12}}{{1993}}$

Suy ra $\frac{{x + 6}}{{1999}} + 1 + \frac{{x + 8}}{{1997}} + 1 \ge \frac{{x + 10}}{{1995}} + 1 + \frac{{x + 12}}{{1993}} + 1$

$\frac{{x + 2005}}{{1999}} + \frac{{x + 2005}}{{1997}} \ge \frac{{x + 2005}}{{1995}} + \frac{{x + 2005}}{{1993}}$

$\frac{{x + 2005}}{{1999}} + \frac{{x + 2005}}{{1997}} - \frac{{x + 2005}}{{1995}} - \frac{{x + 2005}}{{1993}} \ge 0$

(x + 2005) $\left( {\frac{1}{{1999}} + \frac{1}{{1997}} - \frac{1}{{1995}} - \frac{1}{{1993}}} \right)$ ≥ 0

Nhận thấy $\frac{1}{{1999}} + \frac{1}{{1997}} - \frac{1}{{1995}} - \frac{1}{{1993}}$ < 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì x + 2005 ≤ 0 hay x ≤ −2005.

Do đó, nghiệm nguyên của bất phương trình là x ≤ −2005.

Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là −2005.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{{x - 10}}{{1994}} + \frac{{x - 8}}{{1996}} + \frac{{x - 6}}{{1998}} > \frac{{x - 1998}}{6} + \frac{{x - 1996}}{8} + \frac{{x - 1994}}{{10}}$

Có $\frac{{x - 10}}{{1994}} - 1 + \frac{{x - 8}}{{1996}} - 1 + \frac{{x - 6}}{{1998}} - 1 > \frac{{x - 1998}}{6} - 1 + \frac{{x - 1996}}{8} - 1 + \frac{{x - 1994}}{{10}} - 1$

$\frac{{x - 2004}}{{1994}} + \frac{{x - 2004}}{{1996}} + \frac{{x - 2004}}{{1998}} > \frac{{x - 2004}}{6} + \frac{{x - 2004}}{8} + \frac{{x - 2004}}{{10}}$

$\frac{{x - 2004}}{{1994}} + \frac{{x - 2004}}{{1996}} + \frac{{x - 2004}}{{1998}} - \frac{{x - 2004}}{6} - \frac{{x - 2004}}{8} - \frac{{x - 2004}}{{10}} > 0$

(x – 2004)$\left( {\frac{1}{{1994}} + \frac{1}{{1996}} + \frac{1}{{1998}} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} - \frac{1}{{10}}} \right) > 0$

Nhận thấy $\frac{1}{{1994}} + \frac{1}{{1996}} + \frac{1}{{1998}} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} - \frac{1}{{10}}$ < 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì x – 2004 < 0 hay x < 2004.

Do đó, nghiệm của bất phương trình là x < 2004.

Vậy a = 2004.

Do đó, giá trị biểu thức T = a – 902 = 2004 – 904 = 1100.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{{x - 1009}}{{1001}} + \frac{{x - 4}}{{1003}} + \frac{{x + 2010}}{{1005}} \ge 7$

$\frac{{x - 1009}}{{1001}} - 1 + \frac{{x - 4}}{{1003}} - 2 + \frac{{x + 2010}}{{1005}} - 4 \ge 7 - 1 - 2 - 4$

$\frac{{x - 1009 - 1001}}{{1001}} + \frac{{x - 4 - 2.1003}}{{1003}} + \frac{{x + 2010 - 4.1005}}{{1005}} \ge 0$

$\frac{{x - 2010}}{{1001}} + \frac{{x - 2010}}{{1003}} + \frac{{x - 2010}}{{1005}} \ge 0$

(x – 2010) $\left( {\frac{1}{{1001}} + \frac{1}{{1003}} + \frac{1}{{1005}}} \right)$ ≥ 0

Nhận thấy $\frac{1}{{1001}} + \frac{1}{{1003}} + \frac{1}{{1005}}$ > 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì

x – 2010 ≥ 0 hay x ≥ 2010.

Do đó, nghiệm của bất phương trình là x ≥ 2010.

Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là 2010.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{{x - 85}}{{15}} + \frac{{x - 74}}{{13}} + \frac{{x - 67}}{{11}} \le 6$

Suy ra $\frac{{x - 85}}{{15}} - 1 + \frac{{x - 74}}{{13}} - 2 + \frac{{x - 67}}{{11}} - 2 \le 6 - 1 - 2 - 3$

$\frac{{x - 100}}{{15}} + \frac{{x - 100}}{{13}} + \frac{{x - 100}}{{11}} \le 0$

(x – 100)$\left( {\frac{1}{{15}} + \frac{1}{{13}} + \frac{1}{{11}}} \right) \le 0$

Nhận thấy $\frac{1}{{15}} + \frac{1}{{13}} + \frac{1}{{11}}$ > 0 nên để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì x – 100 ≤ 0 hay x ≤ 100.

Do đó, nghiệm của bất phương trình là x ≤ 100.

Suy ra a = 100 và có $\sqrt {100} = 10$.

Vậy căn bậc hai số học của a là 10.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\frac{{x - 1}}{{13}} - \frac{{2x - 13}}{{15}} < \frac{{3x - 15}}{{27}} - \frac{{4x - 27}}{{29}}$

Suy ra $\frac{{x - 1}}{{13}} - 1 - \frac{{2x - 13}}{{15}} - 1 < \frac{{3x - 15}}{{27}} - 1 - \frac{{4x - 27}}{{29}} - 1$

$\frac{{x - 14}}{{13}} - \frac{{2x - 28}}{{15}} < \frac{{3x - 42}}{{27}} - \frac{{4x - 56}}{{29}}$

$\frac{{x - 14}}{{13}} - \frac{{2x - 28}}{{15}} - \frac{{3x - 42}}{{27}} + \frac{{4x - 56}}{{29}} < 0$

$\frac{{x - 14}}{{13}} - \frac{{2\left( {x - 14} \right)}}{{15}} - \frac{{3\left( {x - 14} \right)}}{{27}} + \frac{{4\left( {x - 14} \right)}}{{29}} < 0$

(x – 14)$\left( {\frac{1}{{13}} - \frac{2}{{15}} - \frac{3}{{27}} + \frac{4}{{29}}} \right)$ < 0.

Nhận thấy $\frac{1}{{13}} - \frac{2}{{15}} - \frac{3}{{27}} + \frac{4}{{29}}$ < 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì x – 14 > 0 hay x > 14.

Do đó, nghiệm của bất phương trình là x > 14.

Suy ra a = 14 nên a$^{2}$ = 14$^{2}$ = 196.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\frac{{x - 3}}{{2011}} + \frac{{x - 2}}{{2012}} \le \frac{{x - 2012}}{2} + \frac{{x - 2011}}{3}$

Suy ra $\frac{{x - 3}}{{2011}} - 1 + \frac{{x - 2}}{{2012}} - 1 \le \frac{{x - 2012}}{2} - 1 + \frac{{x - 2011}}{3} - 1$

$\frac{{x - 2014}}{{2011}} + \frac{{x - 2014}}{{2012}} \le \frac{{x - 2014}}{2} + \frac{{x - 2014}}{3}$

$\frac{{x - 2014}}{{2011}} + \frac{{x - 2014}}{{2012}} - \frac{{x - 2014}}{2} - \frac{{x - 2014}}{3} \le 0$

(x – 2014) $\left( {\frac{1}{{2011}} + \frac{1}{{2012}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) \le 0$

Nhận thấy $\frac{1}{{2011}} + \frac{1}{{2012}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ < 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì x – 2014 ≥ 0 và x ≥ 2014.

Do đó, nghiệm của bất phương trình là x ≥ 2014.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{{1909 - x}}{{91}} + \frac{{1907 - x}}{{93}} + \frac{{1905 - x}}{{95}} + \frac{{1903 - x}}{{97}} > - 4$

Nên $\frac{{1909 - x}}{{91}} + \frac{{1907 - x}}{{93}} + \frac{{1905 - x}}{{95}} + \frac{{1903 - x}}{{97}} + 4 > 0$

Ta có: $\frac{{1909 - x}}{{91}} + 1 + \frac{{1907 - x}}{{93}} + 1 + \frac{{1905 - x}}{{95}} + 1 + \frac{{1903 - x}}{{97}} + 1 > 0$

$\frac{{2000 - x}}{{91}} + \frac{{2000 - x}}{{93}} + \frac{{2000 - x}}{{95}} + \frac{{2000 - x}}{{97}} > 0$

(2000 – x) $\left( {\frac{1}{{91}} + \frac{1}{{93}} + \frac{1}{{95}} + \frac{1}{{97}}} \right) > 0$

Nhận thấy $\frac{1}{{91}} + \frac{1}{{93}} + \frac{1}{{95}} + \frac{1}{{97}}$ > 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì 2000 – x > 0 hay x < 2000.

Do đó, nghiệm của bất phương trình là x < 2000.

Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là 1999.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{{21 - x}}{{1978}} - \frac{{x - 1978}}{{21}} + \frac{{19 - x}}{{1980}} - \frac{{x - 1980}}{{19}} \ge 0$

Suy ra $\frac{{21 - x}}{{1978}} + 1 - \frac{{x - 1978}}{{21}} - 1 + \frac{{19 - x}}{{1980}} + 1 - \frac{{x - 1980}}{{19}} - 1 \ge 0$

$\frac{{1999 - x}}{{1978}} - \frac{{x - 1999}}{{21}} + \frac{{1999 - x}}{{1980}} - \frac{{x - 1999}}{{19}} \ge 0$

(x – 1999) $\left( { - \frac{1}{{1978}} - \frac{1}{{21}} - \frac{1}{{1980}} - \frac{1}{{19}}} \right)$ ≥ 0.

Nhận thấy $- \frac{1}{{1978}} - \frac{1}{{21}} - \frac{1}{{1980}} - \frac{1}{{19}}$ < 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì x – 1999 ≤ 0 hay x ≤ 1999.

Do đó, nghiệm của bất phương trình là x ≤ 1999.

Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là 1999.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{{x - 1995}}{5} - \frac{{x - 5}}{{1995}} + \frac{{x - 1997}}{3} - \frac{{x - 3}}{{1997}} + \frac{{x - 1999}}{1} - \frac{{x - 1}}{{1999}} < 0$

Suy ra $\frac{{x - 1995}}{5} + \frac{{5 - x}}{{1995}} + \frac{{x - 1997}}{3} + \frac{{3 - x}}{{1997}} + \frac{{x - 1999}}{1} + \frac{{1 - x}}{{1999}} < 0$

$\frac{{x - 1995}}{5} - 1 + \frac{{5 - x}}{{1995}} + 1 + \frac{{x - 1997}}{3} - 1 + \frac{{3 - x}}{{1997}} + 1 + \frac{{x - 1999}}{1} - 1 + \frac{{1 - x}}{{1999}} + 1 < 0$

$\frac{{x - 2000}}{5} + \frac{{2000 - x}}{{1995}} + \frac{{x - 2000}}{3} + \frac{{2000 - x}}{{1997}} + \frac{{x - 2000}}{1} + \frac{{2000 - x}}{{1999}} < 0$

$\frac{{x - 2000}}{5} - \frac{{x - 2000}}{{1995}} + \frac{{x - 2000}}{3} - \frac{{x - 2000}}{{1997}} + \frac{{x - 2000}}{1} - \frac{{x - 2000}}{{1999}} < 0$

(x – 2000) $\left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{{1995}} + \frac{1}{3} - \frac{1}{{1997}} + \frac{1}{1} - \frac{1}{{1999}}} \right) < 0$

Nhận thấy $\frac{1}{5} - \frac{1}{{1995}} + \frac{1}{3} - \frac{1}{{1997}} + \frac{1}{1} - \frac{1}{{1999}}$ > 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì a – 2000 < 0 hay x < 2000.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 2000.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Ta có: $\frac{{x - 3}}{{33}} + \frac{{x - 2}}{{34}} \le \frac{{x - 33}}{3} + \frac{{x - 34}}{2}$

$\frac{{x - 3}}{{33}} + \frac{{x - 2}}{{34}} - 2 \le \frac{{x - 33}}{3} + \frac{{x - 34}}{2} - 2$

$\frac{{x - 3}}{{33}} - 1 + \frac{{x - 2}}{{34}} - 1 \le \frac{{x - 33}}{3} - 1 + \frac{{x - 34}}{2} - 1$

$\frac{{x - 36}}{{33}} + \frac{{x - 36}}{{34}} \le \frac{{x - 36}}{3} + \frac{{x - 36}}{2}$

b) Sai.

Chuyển vế ta có: $\frac{{x - 36}}{{33}} + \frac{{x - 36}}{{34}} - \frac{{x - 36}}{3} - \frac{{x - 36}}{2} \le 0$

$\left( {x - 36} \right)\left( {\frac{1}{{33}} + \frac{1}{{34}} - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}} \right) \le 0$

c) Đúng.

Vì $\frac{1}{{33}} + \frac{1}{{34}} - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} < 0$, do đó x – 36 ≥ 0

Vậy nghiệm của (1) là nghiệm của bất phương trình x – 36 ≥ 0.

d) Sai.

Giải bất phương trình x – 36 ≥ 0 được x ≥ 36.

Do đó, nghiệm nhỏ nhất của bất phương trình là 36.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Cộng hai vế của bất phương trình với 3, ta được:

$\frac{{x + 2}}{{88}} + \frac{{x + 4}}{{86}} + \frac{{x + 6}}{{84}} + 3 < \frac{{x + 83}}{7} + \frac{{x + 86}}{4} + \frac{{x + 85}}{5} + 3$

$\frac{{x + 2}}{{88}} + 1 + \frac{{x + 4}}{{86}} + 1 + \frac{{x + 6}}{{84}} + 1 < \frac{{x + 83}}{7} + 1 + \frac{{x + 86}}{4} + 1 + \frac{{x + 85}}{5} + 1$

$\frac{{x + 90}}{{88}} + \frac{{x + 90}}{{86}} + \frac{{x + 90}}{{84}} < \frac{{x + 90}}{7} + \frac{{x + 90}}{4} + \frac{{x + 90}}{5}$

b) Sai.

Chuyển vế đặt nhân tử chung được:

$\frac{{x + 90}}{{88}} + \frac{{x + 90}}{{86}} + \frac{{x + 90}}{{84}} - \frac{{x + 90}}{7} - \frac{{x + 90}}{4} - \frac{{x + 90}}{5} < 0$

$\left( {x + 90} \right)\left( {\frac{1}{{88}} + \frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} - \frac{1}{7} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5}} \right) < 0$

c) Đúng.

Nhận thấy $\frac{1}{{88}} + \frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} - \frac{1}{7} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} < 0$ nên suy ra x + 90 < 0.

Vậy nghiệm của (1) là nghiệm của bất phương trình x + 90 < 0.

d) Sai.

Giải bất phương trình được x < −90.

Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là −91.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Biến đổi bất phương trình được

$\frac{{x + 1}}{{2025}} + 1 + \frac{{x + 2}}{{2024}} + 1 + \frac{{x + 3}}{{2023}} + 1 + \frac{{x + 4}}{{2022}} + 1 > 0$

$\frac{{x + 2026}}{{2025}} + \frac{{x + 2026}}{{2024}} + \frac{{x + 2026}}{{2023}} + \frac{{x + 2026}}{{2022}} > 0$

b) Đúng.

Biến đổi được $\left( {x + 2026} \right)\left( {\frac{1}{{2025}} + \frac{1}{{2024}} + \frac{1}{{2023}} + \frac{1}{{2022}}} \right) > 0$

c) Đúng.

Vì $\frac{1}{{2025}} + \frac{1}{{2024}} + \frac{1}{{2023}} + \frac{1}{{2022}} > 0$ nên x + 2026 > 0.

Vậy nghiệm của (1) là nghiệm của x + 2026 > 0.

d) Sai.

Giải bất phương trình được x > −2026.

Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là −2025.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Cộng hai vế bất phương trình với −2, được:

$\frac{{x - 2}}{{2002}} + \frac{{x - 4}}{{2000}} - 2 < \frac{{x - 3}}{{2001}} + \frac{{x - 5}}{{1999}} - 2$

$\frac{{x - 2}}{{2002}} - 1 + \frac{{x - 4}}{{2000}} - 1 < \frac{{x - 3}}{{2001}} - 1 + \frac{{x - 5}}{{1999}} - 1$

$\frac{{x - 2004}}{{2002}} + \frac{{x - 2004}}{{2000}} < \frac{{x - 2004}}{{2001}} + \frac{{x - 2004}}{{1999}}$

b) Đúng.

Chuyển vế và biến đổi, ta được:

$\frac{{x - 2004}}{{2002}} + \frac{{x - 2004}}{{2000}} - \frac{{x - 2004}}{{2001}} - \frac{{x - 2004}}{{1999}} < 0$

$\left( {x - 2004} \right)\left( {\frac{1}{{2002}} + \frac{1}{{2000}} - \frac{1}{{2001}} - \frac{1}{{1999}}} \right) < 0$

c) Sai.

Vì $\frac{1}{{2002}} + \frac{1}{{2000}} - \frac{1}{{2001}} - \frac{1}{{1999}} < 0$ nên x – 2004 > 0

Vậy nghiệm của (1) là nghiệm của bất phương trình x – 2004 > 0.

c) Sai.

Giải x – 2004 > 0 được x > 2004.

Do đó, x = 2003 không là nghiệm của bất phương trình.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Cộng hai vế của bất phương trình với 2, được:

$\frac{{x + 23}}{{32}} - \frac{{x + 25}}{{30}} + 2 \le \frac{{x + 21}}{{34}} - \frac{{x + 19}}{{36}} + 2$

$\frac{{x + 23}}{{32}} + 1 - \frac{{x + 25}}{{30}} + 1 \le \frac{{x + 21}}{{34}} + 1 - \frac{{x + 19}}{{36}} + 1$

$\frac{{x + 55}}{{32}} - \frac{{x + 55}}{{30}} \le \frac{{x + 55}}{{34}} - \frac{{x + 55}}{{36}}$.

b) Đúng.

Biến đổi bất phương trình được: $\frac{{x + 55}}{{32}} - \frac{{x + 55}}{{30}} - \frac{{x + 55}}{{34}} + \frac{{x + 55}}{{36}} \le 0$

$\left( {x + 55} \right)\left( {\frac{1}{{32}} - \frac{1}{{30}} - \frac{1}{{34}} + \frac{1}{{36}}} \right) \le 0$

c) Đúng.

Nhận thấy $\frac{1}{{32}} - \frac{1}{{30}} - \frac{1}{{34}} + \frac{1}{{36}} < 0$ nên x + 55 ≥ 0.

Vậy nghiệm của (1) là nghiệm của x + 55 ≥ 0.

d) Sai.

Giải x + 55 ≥ 0 được x ≥ −55.

Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là −55.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1998

Ta có: $\frac{{x - 29}}{{1970}} + \frac{{x - 27}}{{1972}} + \frac{{x - 25}}{{1974}} > \frac{{x - 1970}}{{29}} + \frac{{x - 1972}}{{27}} + \frac{{x - 1974}}{{25}}$

$\frac{{x - 29}}{{1970}} + \frac{{x - 27}}{{1972}} + \frac{{x - 25}}{{1974}} - 3 > \frac{{x - 1970}}{{29}} + \frac{{x - 1972}}{{27}} + \frac{{x - 1974}}{{25}} - 3$ $\frac{{x - 29}}{{1970}} - 1 + \frac{{x - 27}}{{1972}} - 1 + \frac{{x - 25}}{{1974}} - 1 > \frac{{x - 1970}}{{29}} - 1 + \frac{{x - 1972}}{{27}} - 1 + \frac{{x - 1974}}{{25}} - 1$

$\frac{{x - 1999}}{{1970}} + \frac{{x - 1999}}{{1972}} + \frac{{x - 1999}}{{1974}} > \frac{{x - 1999}}{{29}} + \frac{{x - 1999}}{{27}} + \frac{{x - 1999}}{{25}}$

$\frac{{x - 1999}}{{1970}} + \frac{{x - 1999}}{{1972}} + \frac{{x - 1999}}{{1974}} - \frac{{x - 1999}}{{29}} - \frac{{x - 1999}}{{27}} - \frac{{x - 1999}}{{25}} > 0$

$\left( {x - 1999} \right)\left( {\frac{1}{{1970}} + \frac{1}{{1972}} + \frac{1}{{1974}} - \frac{1}{{29}} - \frac{1}{{27}} - \frac{1}{{25}}} \right) > 0$

Nhận thấy $\frac{1}{{1970}} + \frac{1}{{1972}} + \frac{1}{{1974}} - \frac{1}{{29}} - \frac{1}{{27}} - \frac{1}{{25}} < 0$

Do đó, x – 1999 < 0

x < 1999.

Suy ra, nghiệm của bất phương trình là x < 1999.

Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên là 1998.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −99.

Ta có: $\frac{{x + 1}}{{99}} + \frac{{x + 3}}{{97}} + \frac{{x + 5}}{{95}} < \frac{{x + 2}}{{98}} + \frac{{x + 4}}{{96}} + \frac{{x + 6}}{{94}}$

$\frac{{x + 1}}{{99}} + 1 + \frac{{x + 3}}{{97}} + 1 + \frac{{x + 5}}{{95}} + 1 < \frac{{x + 2}}{{98}} + 1 + \frac{{x + 4}}{{96}} + 1 + \frac{{x + 6}}{{94}} + 1$

$\frac{{x + 100}}{{99}} + \frac{{x + 100}}{{97}} + \frac{{x + 100}}{{95}} < \frac{{x + 100}}{{98}} + \frac{{x + 100}}{{96}} + \frac{{x + 100}}{{94}}$

$\frac{{x + 100}}{{99}} + \frac{{x + 100}}{{97}} + \frac{{x + 100}}{{95}} - \frac{{x + 100}}{{98}} - \frac{{x + 100}}{{96}} - \frac{{x + 100}}{{94}} < 0$

$\left( {x + 100} \right)\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{95}} - \frac{1}{{98}} - \frac{1}{{96}} - \frac{1}{{94}}} \right) < 0$

Nhận thấy $\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{95}} - \frac{1}{{98}} - \frac{1}{{96}} - \frac{1}{{94}} < 0$ nên x + 100 > 0 hay x > −100.

Do đó, số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình trên là −99.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 16

Ta có: $\frac{{x + 1987}}{{2002}} + \frac{{x + 1988}}{{2003}} > \frac{{x + 1989}}{{2004}} + \frac{{x + 1990}}{{2005}}$

$\frac{{x + 1987}}{{2002}} - 1 + \frac{{x + 1988}}{{2003}} - 1 > \frac{{x + 1989}}{{2004}} - 1 + \frac{{x + 1990}}{{2005}} - 1$

$\frac{{x - 15}}{{2002}} + \frac{{x - 15}}{{2003}} > \frac{{x - 15}}{{2004}} + \frac{{x - 15}}{{2005}}$

$\frac{{x - 15}}{{2002}} + \frac{{x - 15}}{{2003}} - \frac{{x - 15}}{{2004}} - \frac{{x - 15}}{{2005}} > 0$

$\left( {x - 15} \right)\left( {\frac{1}{{2002}} + \frac{1}{{2003}} - \frac{1}{{2004}} - \frac{1}{{2005}}} \right) > 0$

Nhận thấy $\frac{1}{{2002}} + \frac{1}{{2003}} - \frac{1}{{2004}} - \frac{1}{{2005}} > 0$ nên x – 15 > 0 hay x > 15.

Vậy số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình trên là 16.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1

Ta có: $\frac{{x + 1}}{{2029}} + \frac{{x + 2}}{{2028}} + \frac{{x + 3}}{{2027}} + \frac{{x + 4}}{{2026}} + 4 > 0$

$\frac{{x + 1}}{{2029}} + 1 + \frac{{x + 2}}{{2028}} + 1 + \frac{{x + 3}}{{2027}} + 1 + \frac{{x + 4}}{{2026}} + 1 > 0$

$\frac{{x + 2030}}{{2029}} + \frac{{x + 2030}}{{2028}} + \frac{{x + 2030}}{{2027}} + \frac{{x + 2030}}{{2026}} > 0$

$\left( {x + 2030} \right)\left( {\frac{1}{{2029}} + \frac{1}{{2028}} + \frac{1}{{2027}} + \frac{1}{{2026}}} \right) > 0$

Nhận thấy $\frac{1}{{2029}} + \frac{1}{{2028}} + \frac{1}{{2027}} + \frac{1}{{2026}}$, do đó x + 2030 > 0 hay x > −2030.

Vậy số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình trên là 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0

Ta có: $\frac{{x + 2004}}{{2005}} + \frac{{x + 2005}}{{2006}} < \frac{{x + 2006}}{{2007}} + \frac{{x + 2007}}{{2008}}$

$\frac{{x + 2004}}{{2005}} - 1 + \frac{{x + 2005}}{{2006}} - 1 < \frac{{x + 2006}}{{2007}} - 1 + \frac{{x + 2007}}{{2008}} - 1$

$\frac{{x - 1}}{{2005}} + \frac{{x - 1}}{{2006}} < \frac{{x - 1}}{{2007}} + \frac{{x - 1}}{{2008}}$

$\frac{{x - 1}}{{2005}} + \frac{{x - 1}}{{2006}} - \frac{{x - 1}}{{2007}} - \frac{{x - 1}}{{2008}} < 0$

$\left( {x - 1} \right)\left( {\frac{1}{{2005}} + \frac{1}{{2006}} - \frac{1}{{2007}} - \frac{1}{{2008}}} \right) < 0$

Nhận thấy $\frac{1}{{2005}} + \frac{1}{{2006}} - \frac{1}{{2007}} - \frac{1}{{2008}} > 0$ nên x – 1 < 0 hay x < 1.

Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là 0.