Bài tập Bài toán thực tiễn liên quan lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Theo giả thiết, coi số cây có ở mỗi hàng của hình tam giác là một dãy số u$_{n}$.

Ta có: u$_{1}$ = 1; u$_{2}$ = 2; u$_{3}$ = 3; …

Dãy số u$_{n}$ có thể được viết dưới dạng công thức tổng quát: u$_{n}$ = n.

Do đó: 3003 = u$_{1}$ + u$_{2}$ + u$_{3}$ + … + u$_{n}$ = 1 + 2 + 3 + … + n = $\frac{n(n+1)}{2}$.

Giải phương trình bậc hai ta tìm được nghiệm của n là: 77.

Đáp án đúng là: D

Coi số tiền của người chơi khi tham gia là một dãy số u$_{n}$.

Sau câu trả lời đúng đầu tiên: u$_{1}$ = 1 (triệu đồng).

Sau câu trả lời đúng thứ hai: u$_{2}$ = u$_{1}$ + 0,5 = 1,5 (triệu đồng).

Sau câu trả lời đúng thứ ba: u$_{3}$ = u$_{2}$ + 0,5 = 2 (triệu đồng).

…

Từ đó, ta nhận thấy u$_{n}$ có thể được viết dưới dạng tổng quát: u$_{n}$ = 1 + 0,5.(n – 1).

Xét biểu thức: u$_{n}$ = 1 + 0,5.(n – 1) ≥ 10.

Biểu thức có nghiệm: n ≥ 19.

Do đó n = 19 là nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: A

Coi mức lương của người lao động theo từng năm là một dãy số u$_{n}$.

Ta có: u$_{1}$= 36; u$_{2}$ = u$_{1}$ + 3 = 39; u$_{3}$ = u$_{2}$ + 3 = 42; …

⟹ (u$_{n}$) có thể được viết dưới dạng công thức tổng quát: u$_{n}$ = 36 + 3.(n – 1).

Do đó, mức lương của người lao động ở năm cuối cùng của hợp đồng là:

u$_{10}$ = 36 + 3.(10 – 1) = 63 (triệu đồng).

Đáp án đúng là: A

Coi mức lương của người lao động theo từng quý là một dãy số u$_{n}$.

Ta có: u$_{1}$= 7; u$_{2}$ = u$_{1}$ + 0,5 = 7,5; u$_{3}$ = u$_{2}$ + 0,5 = 8; …

⟹ (u$_{n}$) có thể được viết dưới dạng công thức tổng quát: u$_{n}$ = 7 + 0,5.(n – 1).

Do đó, mức lương của người lao động ở quý thứ 9 của hợp đồng là:

u$_{9}$ = 7 + 0,5.(9 – 1) = 11 (triệu đồng).

Đáp án đúng là: A

Coi diện tích nền mỗi tầng của tòa tháp là một dãy số u$_{n}$.

Có: u$_{1}$ = 50; u$_{2}$ = 2u$_{1}$; u$_{3}$ = 2u$_{2}$ = 4u$_{1}$; u$_{4}$ = 2u$_{3}$ = 8u$_{1}$; …

Ta có công thức tổng quát của dãy số: u$_{n}$ = 2$^{n}$ $^{–}$ $^{1}$.u$_{1}$ = 2$^{n}$ $^{–}$ $^{1}$.50

Diện tích nền tầng 10 là: u$_{10}$ = 2$^{10}$ $^{–}$ $^{1}$.50 = 25 600 (m$^{2}$).

Diện tích mỗi viên gạch: 50 . 50 = 2 500 (cm$^{2}$) = 0,25 m$^{2}$.

Do đó, số viên gạch cần để lát nền tầng 10 là:

25 600 : 0,25 =102 400 (viên).

Đáp án đúng là: D

Coi số tiền nhận được sau mỗi năm là một dãy số: u$_{n}$ .

Ta có:

• Sau năm thứ nhất: u$_{1}$ = 200.1,08 = 216 (triệu đồng)

• Sau năm thứ hai: u$_{2}$ = u$_{1}$.1,08 = 233,28 (triệu đồng)

• Sau năm thứ ba: u$_{3}$ = u$_{2}$.1,08 = 252,9424 (triệu đồng)

…

Ta suy ra được công thức tổng quát số tiền ta có sau mỗi năm:

u$_{n}$ = 200.1,08$^{n}$ (triệu đồng) (n ≤ 5)

Do đó, sau năm năm ông An thu được số tiền:

u$_{5}$ = 200.1,08$^{5}$ = 293,866 (triệu đồng).

Đáp án đúng là: C

Coi mức lương của người công nhân trong 6 tháng là một dãy số u$_{n}$.

Các số hạng của u$_{n}$ lần lượt là:

u$_{1}$= 2,3; u$_{2}$ = u$_{1}$.1,07; u$_{3}$ = u$_{2}$.1,07 = u$_{1}$.1,07$^{2}$; …

Ta rút được công thức số hạng tổng quát của u$_{n}$ là: u$_{n}$ = 2,3.1,07$^{n}$ $^{–}$ $^{1}$

Sau 4 năm mức lương của người công nhân là:

u$_{8}$ = 2,3.1,07$^{7}$ = 3,69 (triệu đồng)

Đáp án đúng là: B

Ta có: u$_{8}$ = 21; u$_{7}$ = 13; u$_{6}$ = 8; u$_{5}$ = 5; u$_{4}$ = 3; u$_{3}$ = 2; u$_{2}$ = 1.

Nhận thấy: u$_{n+2}$ = u$_{n+1}$ + u$_{n}$ ⟹ u$_{1}$ = 1.

Do đó, ta có thể rút ra được công thức truy hồi của dãy số thỏa mãn đề bài:

$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 2}} = {u_{n + 1}} + {u_n}\end{array} \right.$(n ≤ 6).

Đáp án đúng là: B

Từ giả thiết, ta có: u$_{n}$ $_{+}$ $_{1}$ = u$_{n}$– 1.

Công thức tổng quát của số hạng u$_{n}$ = u$_{1}$ – (n – 1) = 25 – n + 1 = 26 – n (n < 26)

Do đó n = 25 là số hàng tối đa của chồng gỗ.

Đáp án đúng là: A

Từ giả thiết, ta có: u$_{n+}$ $_{1}$ = u$_{n}$+ 1.

Ta suy ra được công thức tổng quát của số hạng u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n – 1) = 13 + n.

Do đó, hàng có 29 cột gỗ là: n = 29 – 13 = 16.

Vậy hàng có 29 cột gỗ là hàng 16.

Đáp án đúng là: B

Kế hoạch thu gom diễn ra trong đúng 1 tuần (7 ngày) nên hành trình này có điểm kết thúc. Do đó, dãy số (u$_{n}$) là một dãy số hữu hạn gồm chính xác 7 số hạng.

Đáp án đúng là: C

Tháng 1 có u$_{1}$ = 20.

Tháng sau tăng gấp đôi tháng trước nghĩa là số lượng cá thể của tháng n + 1 bằng số lượng của tháng n nhân với 2 => u$_{n + 1}$ = 2u$_{n}$.

Vậy $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} = 20}\\{{u_{n + 1}} = 2{u_n}\quad (\forall n \ge 1)}\end{array}} \right.$.

Đáp án đúng là: B

Hàng 1 có ${u_1} = 120$;

Hàng 2 có ${u_2} = 120 - 4 = 116$;

Hàng 3 có ${u_3} = 116 - 4 = 112$.

Thử công thức phương án B: u$_{n}$ = 124 – 4n.

Với n = 1 => u$_{1}$ = 120 (thỏa mãn).

Với n = 2 => u$_{2}$ = 116 (thỏa mãn).

Với n = 3 => u$_{3}$ = 112 (thỏa mãn).

Đáp án đúng là: C

Độ cao ban đầu là 8 m.

Độ cao nảy lên lần lượt là: ${h_1} = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6{\rm{ m}}$; ${h_2} = 6 \cdot \frac{3}{4} = 4{,}5{\rm{ m}}$; ${h_3} = 4{,}5 \cdot \frac{3}{4} = 3{,}375{\rm{ m}}...$ Ta thấy h$_{1}$ > h$_{2}$ > h$_{3}$ > …> h$_{n}$. Số hạng càng về sau càng nhỏ nên đây là một dãy số giảm.

Đáp án đúng là: D

${u_0} = 5000$

${u_1} = 0{,}9 \cdot 5000 + 600 = 4500 + 600 = 5100$

${u_2} = 0{,}9 \cdot 5100 + 600 = 4590 + 600 = 5190$

${u_3} = 0{,}9 \cdot 5190 + 600 = 4671 + 600 = 5271$

Nhìn nhận xu hướng: ${u_0} < {u_1} < {u_2} < {u_3} < \ldots$ Đây là một dãy số tăng.

Để xét xem dãy số tăng này bị chặn trên bởi số nào, ta giả sử khi $n$ lớn vô hạn, lượng nước đạt đến trạng thái cân bằng $L$: $L = 0{,}9L + 600 \Leftrightarrow 0{,}1L = 600 \Leftrightarrow L = 6000$.

Vì dãy số bắt đầu từ 5000 và tăng dần tiến về phía 6000 nên $5000 \le {u_n} < 6000$.

Do đó dãy số bị chặn trên bởi $6000{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. u$_{1}$ = 3; u$_{2}$ = 3 + 0,5 = 3,5; u$_{3}$ = 3,5 + 0,5 = 4.

b) Đúng. Ngày sau bằng ngày trước cộng lượng tăng thêm cố định 0,5 km.

Khi đó u$_{n+1}$ = u$_{n}$ + 0,5.

c) Sai. Ta có u$_{4}$ = 4 + 0,5 = 4,5; u$_{5}$ = 4,5 + 0,5 = 5 km.

d) Đúng. Khoảng cách tăng liên tục nên dãy tăng. Khi n càng lớn thì u$_{n}$ càng lớn. Do đó dãy không bị chặn trên.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Lượng chất phóng xạ ban đầu giờ 0 là 16.

Sau 1 giờ (m$_{1}$): $\frac{{16}}{2} = 8{\rm{ mg}}$.

Sau 2 giờ (m$_{2}$): $\frac{8}{2} = 4{\rm{ mg}}$.

Sau 3 giờ (m$_{3}$): $\frac{4}{2} = 2{\rm{ mg}}$.

b) Đúng. Theo quy luật chia đôi liên tiếp từ mốc gốc 16: ${m_n} = 16 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}$.

c) Sai. Số hạng nhỏ dần qua từng giờ ($8 > 4 > 2 > 1...$) nên đây phải là dãy số giảm.

d) Đúng. Vì khối lượng luôn dương nên ${m_n} > 0$.

Số hạng đầu tiên lớn nhất m$_{1}$ = 8 => m$_{n}$ ≤ 8. Vậy 0 < m$_{n}$ ≤ 8, dãy số bị chặn.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Tuần 1 cao 4 cm.

Tuần 2 cao thêm 4.0,5 = 2 cm. Chiều cao tổng cuối tuần 2 là 4 + 2 = 6 cm.

b) Đúng. Ta có

h$_{1}$ = 4

h$_{2}$ = 4 + 2 = 6

h$_{3}$ = 4 + 2 + 1 = 7

…

${h_n} = 4 + 2 + 1 + \ldots + \frac{4}{{{2^{n - 1}}}} = 4 \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 8\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right] = 8 - \frac{8}{{{2^n}}}$.

c) Sai. Mặc dù lượng cao thêm hằng tuần ít đi, nhưng cây vẫn cao thêm nên tổng chiều cao tổng thể ${h_n}$ luôn tăng theo thời gian (4 < 6 < 7 <…). Đây phải là dãy số tăng.

d) Đúng. Vì biểu thức ${h_n} = 8 - \frac{8}{{{2^n}}} < 8$ với mọi n ∈ ℕ$^{*}$, nên chiều cao mầm cây bị chặn trên bởi 8 cm.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Hết năm 1: $200 \cdot 1{,}065 = 213$ triệu.

Hết năm 2: $213 \cdot 1{,}065 = 226{,}845$ triệu đồng.

b) Đúng. Tiền năm sau bằng tiền năm trước nhân hệ số gốc cộng lãi: $(1 + 6{,}5\% ) = 1{,}065$ nên A$_{n}$ = 1,065.A$_{n – 1}$.

c) Đúng. Có A$_{1}$ = 200.1,065; A$_{2}$ = A$_{1}$.1,065 = 200.(1,065)$^{2}$; …

A$_{n}$= 200.(1,065)$^{n}$.

d) Sai. Đây là dãy số tăng tăng trưởng theo hàm mũ, khi n càng lớn thì số tiền càng lớn, không bị chặn trên.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Ngày 1: d$_{1}$ = 60.

Ngày 2 lượng cũ còn lại 60.0,4 = 24, cộng thêm viên mới 60 mg.

Suy ra d$_{2}$ = 24 + 60 = 84 mg.

b) Đúng. Hệ thức mô tả chính xác quy luật đào thải 60% (còn giữ 40% = 0,4) và nạp thêm 60 mỗi ngày là d$_{n}$ = 60 + 0,4d$_{n – 1}$.

c) Đúng. Ta có d$_{3}$ = 60 + 0,4d$_{2}$ = 60 + 0,4.84 = 93,6 mg.

d) Đúng. Xét các số hạng ta có d$_{1}$ < d$_{2}$ < d$_{3}$ < … . Dãy số tăng.

Khi n càng lớn, trạng thái cân bằng lượng thuốc đạt ngưỡng L = 0,4L + 60 ⇔ L = 100 mg.

Do đó lượng thuốc luôn nhỏ hơn 100 mg, dãy bị chặn trên.

Đáp án: 50

Hàng 1: u$_{1}$ = 80

Hàng 2: u$_{2}$ = 80 – 3 = 77

Hàng 3: u$_{3}$ = 77 – 3 = 74

...

Quy luật số hạng tổng quát của dãy số này có dạng: u$_{n}$= 80 – (n – 1).3 = 83 – 3n.

Thay n = 11 ta có u$_{11}$ = 83 - 3.11 = 50 tấm pin.

Đáp án: 605

Cuối năm 1: u$_{1}$ = 500 con.

Cuối năm 2: u$_{2}$ = 500 + 500.10% = 550 con.

Cuối năm 3: u$_{3}$ = 550 + 550.10% = 605 con.

Đáp án: 6

Lần 1: u$_{1}$ = 64 kN.

Lần 2: ${u_2} = \frac{{64}}{2} = 32{\rm{ kN}}$

Lần 3: ${u_3} = \frac{{32}}{2} = 16{\rm{ kN}}$

Lần 4: ${u_4} = \frac{{16}}{2} = 8{\rm{ kN}}$

Lần 5: ${u_5} = \frac{8}{2} = 4{\rm{ kN}}$

Lần 6: ${u_6} = \frac{4}{2} = 2{\rm{ kN}}$

Vậy ở lần thử thứ 6, lực kéo dây chịu được giảm xuống còn đúng $2{\rm{ kN}}$.

Đáp án: 21

Liệt kê dãy sản lượng mủ: u$_{1}$ = 15; u$_{2}$ = 19; u$_{3}$ = 23; u$_{4}$ = 27; …

Quy luật của dãy số này là số hạng sau luôn hơn số hạng trước đúng 4 đơn vị

=> u$_{n}$ = 15 + (n – 1).4 = 11 + 4n.

Khi đó ta có 11 + 4n = 95 ⇔ n = 21.

Vậy đó là khu vực thứ 21.

Đáp án: 1820

Ban đầu bể chứa: u$_{0}$ = 2000 lít.

Sau ngày 1: Thiết bị lấy đi 20% (còn giữ 80%) rồi bơm thêm 300 lít mới:

u$_{1}$ = 2000.0,8 + 300 = 1900 lít

Sau ngày 2: u$_{2}$ = 1900.0,8 + 300 = 1820 lít

Vậy lượng dầu còn lại sau đúng 2 ngày vận hành là 1820 lít.