Bài tập Bài toán thực tiễn liên quan đến phương trình lượng giác lớp 11 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Giả sử thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ t$_{0}$.

Ta có: $d({t}_{0})=3\sin [\frac{π}{182}({t}_{0}-80)]+12$

Mà d(t$_{0}$) = 15 nên ta có:

$3\sin [\frac{π}{182}({t}_{0}-80)]+12=15$

⇔$3\sin [\frac{π}{182}({t}_{0}-80)]=3$

⇔$\sin [\frac{π}{182}({t}_{0}-80)]=1$

⇔$\frac{π}{182}({t}_{0}-80)=\frac{π}{2}+k2π$, k ∈ ℤ

⇔ t$_{0}$ – 80 = 91 + 364k, k ∈ ℤ

⇔ t$_{0}$ = 364k + 171, k ∈ ℤ

Mà 0 ≤ t$_{0}$ ≤ 365

⇔ –171 ≤ 364k ≤ 194

⇔ –0,47 ≤ k ≤ 0,53

Mà k ∈ ℤ nên k = 0

Nếu k = 0 thì t$_{0}$ = 171

Vậy thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 171.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Giả sử thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ t$_{0}$.

Ta có: $d({t}_{0})=3\sin [\frac{π}{182}({t}_{0}-80)]+12$

Mà d(t$_{0}$) = 9 nên ta có:

$3\sin [\frac{π}{182}({t}_{0}-80)]+12=9$

⇔$3\sin [\frac{π}{182}({t}_{0}-80)]=-3$

⇔$\sin [\frac{π}{182}({t}_{0}-80)]=-1$

⇔$\frac{π}{182}({t}_{0}-80)=-\frac{π}{2}+k2π$ , k ∈ ℤ

⇔ t$_{0}$ – 80 = –91 + 364k , k ∈ ℤ

⇔ t$_{0}$ = 364k – 11, k ∈ ℤ

Mà 0 ≤ t$_{0}$ ≤ 365

⇔ 11 ≤ 364k ≤ 376

⇔ 0,03 ≤ k ≤ 1,03

Mà k ∈ ℤ nên k = 1

Nếu k = 1 thì t$_{0}$ = 353

Vậy thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 353.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì v$_{0}$ = 500 m/s và g = 9,8 m/s$^{2}$nên ta có phương trình quỹ đạo của quả đạn là:

$y=\frac{-9{,}8}{{2.500}^{2}{\cos }^{2}α}{x}^{2}+x\tan α=\frac{-49}{2500000{\cos }^{2}α}{x}^{2}+x\tan α$\.

Quả đạn chạm đất khi y = 0, khi đó

$\frac{-49}{2500000{\cos }^{2}α}{x}^{2}+x\tan α=0$

⇔ $x(\frac{-49}{2500000{\cos }^{2}α}x+\tan α)=0$

⇔ $[\begin{matrix}x=0 \\ x=\frac{2500000{\cos }^{2}α.\tan α}{49}\end{matrix}$

⇔ $[\begin{matrix}x=0 \\ x=\frac{2500000\cos α.\sin α}{49}\end{matrix}$

⇔ $[\begin{matrix}x=0 \\ x=\frac{1250000\sin 2α}{49}\end{matrix}$

Loại x = 0 (đạn pháo chưa được bắn)

Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là $x=\frac{1250000\sin 2α}{49}$ (m).

Để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháp 22 000 m thì x = 22 000 m.

Khi đó: $\frac{1250000\sin 2α}{49}=22000$

⇔

⇔.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Khi s $=-5\sqrt{3}$cm thì:

$10\sin (10t+\frac{π}{2})=-5\sqrt{3}$

⇔ $\sin (10t+\frac{π}{2})=\frac{-\sqrt{3}}{2}$

⇔ $\sin (10t+\frac{π}{2})=\sin (\frac{-π}{3})$

⇔$[\begin{matrix}10t+\frac{π}{2}=\frac{-π}{3}+k2π \\ 10t+\frac{π}{2}=\frac{4π}{3}+k2π\end{matrix}$ , k ∈ ℤ

⇔$[\begin{matrix}10t=\frac{-5π}{6}+k2π \\ 10t=\frac{5π}{6}+k2π\end{matrix}$ , k ∈ ℤ

⇔$[\begin{matrix}t=\frac{-π}{12}+k\frac{π}{5} \\ t=\frac{π}{12}+k\frac{π}{5}\end{matrix}$, k ∈ ℤ

Khi k = 0 thì t = $\frac{-π}{12}$ hoặc t = $\frac{π}{12}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Khi góc tới là 45° thì góc khúc xạ bằng 30° nên ta có:

Tỉ số $\frac{\sin i}{\sin r}$ = $\frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}=\sqrt{2}$

Khi góc tới là 60° thì ta có:

$\frac{\sin 60^{\circ}}{\sin r}=\sqrt{2}$

⇔ $\sin 60^{\circ}=\sqrt{2}\sin r$

⇔$\sqrt{2}\sin r=\frac{\sqrt{3}}{2}$

⇔$\sin r=\frac{\sqrt{6}}{4}$

⇔$\sin r\approx \sin (38^{\circ})$

⇔$[\begin{matrix}r\approx 38^{\circ}\ (TM) \\ r\approx 142^{\circ}\ (KTM)\end{matrix}$.

Đáp án đúng là: D

Vận tốc bằng 2 cm/s thì:

$2 = - 4\cos \left( {\frac{2}{3}t + \frac{\pi }{4}} \right)$

$\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{2}{3}t + \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{2}{3}t + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{2}{3}t + \frac{\pi }{4} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\\frac{2}{3}t + \frac{\pi }{4} = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.$, k ∈ ℤ

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{5\pi }}{8} + k3\pi \\t = - \frac{{11\pi }}{8} + k3\pi \end{array} \right.$, k ∈ ℤ

Với k = 0 thì t = $\frac{{5\pi }}{8}$.

Đáp án đúng là: D

Vận tốc bằng 2 cm/s thì:

$2 = 2\sin \left( {2t + \frac{\pi }{6}} \right)$

$\Leftrightarrow \sin \left( {2t + \frac{\pi }{6}} \right) = 1$

$\Leftrightarrow 2t + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k2\pi$, k ∈ ℤ

$\Leftrightarrow t = \frac{\pi }{6} + k\pi$, k ∈ ℤ.

Với k = 0 thì t = $\frac{\pi }{6}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Để độ sâu của mực nước là 15 m thì

$3\cos (\frac{π}{6}t)+12=15$

$\Leftrightarrow 3\cos (\frac{π}{6}t)=3$

$\Leftrightarrow \cos (\frac{π}{6}t)=1$

$\Leftrightarrow \frac{π}{6}t=k2π$ (k ∈ ℤ)

$\Leftrightarrow t=$12k (k ∈ ℤ)

Mà 0 ≤ t ≤ 24 ⇔ 0 ≤ k ≤ 2.

Với k = 0 thì t = 0.

Với k = 1 thì t = 12.

Với k = 2 thì t = 24.

Vậy tại các thời điểm 0 giờ, 12 giờ, 24 giờ thì độ sâu của mực nước là 15 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Với mọi t > 0, ta có:

⇔$-1\le \sin (\frac{π}{25}t+\frac{π}{3})\le 1$

⇔$-20\le 20\sin (\frac{π}{25}t+\frac{π}{3})\le 20$

⇔$10\le 30+20\sin (\frac{π}{25}t+\frac{π}{3})\le 50$

Hay 10 ≤ h(t) ≤ 50

Vậy cabin đạt độ cao tối đa là 50 (m).

Đáp án đúng là: B

Thời gian để cabin đạt độ cao 40 m lần đầu tiên là nghiệm của phương trình:

$h\left( t \right) = 30 + 20\sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) = 40$ với t > 0 và t đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải phương trình:

$30 + 20\sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) = 40$

$\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.$ (k ∈ ℤ)

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{{25}}{6} + k50\\t = \frac{{25}}{2} + k50\end{array} \right.$ (k ∈ ℤ)

+) Xét $t = - \frac{{25}}{6} + k50$ , k ∈ ℤ và t > 0, ta có:

$t = - \frac{{25}}{6} + k50 > 0 \Leftrightarrow k > \frac{1}{{12}}$ nên k ∈ {1; 2; …}

Mà t đạt giá trị nhỏ nhất nên k = 1, suy ra $t = - \frac{{25}}{6} + 1 \cdot 50 \approx 45{,}8$ (s).

+) Xét $t = \frac{{25}}{2} + k50$ , k ∈ ℤ và t > 0 ta có:

$t = \frac{{25}}{2} + k50 > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{1}{4}$, k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …}

Mà t đạt giá trị nhỏ nhất nên t = $\frac{{25}}{2} + 0 \cdot 50 = 12{,}5$ (s) với k = 0.

Do 12,5 < 45,8 nên sau 12,5 giây thì cabin đạt độ cao 40 m lần đầu tiên.

Đáp án đúng là: B

Vật đi qua vị trí x = 0 khi và chỉ khi:

$4\sin \left( {2\pi t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2\pi t - \frac{\pi }{6} = k\pi \Leftrightarrow 2\pi t = \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow t = \frac{1}{{12}} + \frac{k}{2}\quad (k \in \mathbb{Z})$.

Với $k = 0$, ta thu được thời điểm tương ứng là $t = \frac{1}{{12}}$ giây.

Đáp án đúng là: C

Vì $\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = - \frac{1}{2}$ nên phương trình $\cos \left( {\frac{\pi }{3}t} \right) = - \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{3}t} \right) = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)$.

Đáp án đúng là: C

$3 + 2\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) = 4 \Leftrightarrow 2\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi }{3}$

$\Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \Leftrightarrow t = \pm 2 + 12k\quad (k \in \mathbb{Z})$

Với $t = 2 + 12k$. Vì $0 \le t \le 24 \Rightarrow k \in \{ 0;1\} \Rightarrow t \in \{ 2;14\}$.

Với $t = - 2 + 12k$. Vì $0 \le t \le 24 \Rightarrow k \in \{ 1;2\} \Rightarrow t \in \{ 10;22\}$.

Tổng cộng có đúng 4 thời điểm trong ngày thỏa mãn điều kiện đề bài.

Đáp án đúng là: A

$2 + 2\sin \left( {100\pi t - \frac{\pi }{4}} \right) = 2 \Leftrightarrow \sin \left( {100\pi t - \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow 100\pi t - \frac{\pi }{4} = k\pi$

$\Leftrightarrow 100\pi t = \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow t = \frac{1}{{400}} + \frac{k}{{100}} = 0{,}0025 + 0{,}01k\quad (k \in \mathbb{Z})$

Thời điểm dương đầu tiên ứng với giá trị $k = 0 \Rightarrow t = 0{,}0025$ giây.

Đáp án đúng là: D

$22 + 20\sin \left( {\frac{\pi }{{30}}t - \frac{\pi }{2}} \right) = 32 \Leftrightarrow 20\sin \left( {\frac{\pi }{{30}}t - \frac{\pi }{2}} \right) = 10 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{30}}t - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{{30}}t - \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{\pi }{{30}}t - \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{{30}}t = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\\frac{\pi }{{30}}t = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 20 + 60k\\t = 40 + 60k\end{array} \right.$

Khoảng thời gian khảo sát trong 2 phút đầu tiên tương ứng với 0 ≤ t ≤ 120 giây:

Từ họ 1: $k = 0 \Rightarrow t = 20{\rm{ s}}$; $k = 1 \Rightarrow t = 80{\rm{ s}}$.

Từ họ 2: $k = 0 \Rightarrow t = 40{\rm{ s}}$; $k = 1 \Rightarrow t = 100{\rm{ s}}$.

Vậy có 4 thời điểm.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Cho i = 0, ta có $i = 2\cos \left( {100\pi t + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {100\pi t + \frac{\pi }{3}} \right) = 0$.

b) Sai. $\cos \left( {100\pi t + \frac{\pi }{3}} \right) = 0$$\Leftrightarrow 100\pi t + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

c) Đúng. Biến đổi từ ý b: $100\pi t = \frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{3} + k\pi = \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow t = \frac{1}{{600}} + \frac{k}{{100}},k \in \mathbb{Z}$.

d) Đúng. Thay $t = 0 \Rightarrow i = 2\cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 2 \cdot 0{,}5 = 1{\rm{ A}}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có $d = 5 + 3\sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} - \frac{\pi }{6}} \right) = 6{,}5$$\Leftrightarrow 3\sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} - \frac{\pi }{6}} \right) = 1{,}5$$\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}$.

b) Sai. $\sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}$.

c) Đúng. $\sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\pi t}}{4} - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{{\pi t}}{4} - \frac{\pi }{6} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{4}{3} + 8k\\t = 4 + 8k\end{array} \right.$.

Với k = 0 thì $t = \frac{4}{3};t = 4$.

Vậy thời điểm đầu tiên trong ngày mà phải đóng van xả nước là $\frac{4}{3}$ giờ tức 1 giờ 20 phút.

d) Sai. Từ họ 1 ($t = \frac{4}{3} + 8k$): trong khoảng $[0;24] \Rightarrow k \in \{ 0;1;2\} \Rightarrow 3$ nghiệm.

Từ họ 2 ($t = 4 + 8k$): trong khoảng $[0;24] \Rightarrow k \in \{ 0;1;2\} \Rightarrow 3$ nghiệm.

Tổng số thời điểm trong ngày là $3 + 3 = 6$ thời điểm.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có $s = 10 + 6\cos \left( {10\pi t} \right) = 13$$\Leftrightarrow 6\cos \left( {10\pi t} \right) = 13 - 10 = 3 \Rightarrow \cos \left( {10\pi t} \right) = \frac{1}{2}$.

b) Đúng. Ta có $\cos \left( {10\pi t} \right) = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow 10\pi t = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

c) Đúng. Chia cả hai vế cho $10\pi$: $t = \pm \frac{\pi }{{3 \cdot 10\pi }} + \frac{{k2\pi }}{{10\pi }} = \pm \frac{1}{{30}} + \frac{k}{5}$.

d) Đúng. Đếm số nghiệm trong khoảng $0 \le t \le 1$:

Nhánh dương $t = \frac{1}{{30}} + \frac{k}{5} = \frac{{6k + 1}}{{30}}$: Với $0 \le \frac{{6k + 1}}{{30}} \le 1 \Rightarrow k \in \{ 0;1;2;3;4\} \Rightarrow 5$ nghiệm.

Nhánh âm $t = - \frac{1}{{30}} + \frac{k}{5} = \frac{{6k - 1}}{{30}}$: Với $0 \le \frac{{6k - 1}}{{30}} \le 1 \Rightarrow k \in \{ 1;2;3;4;5\} \Rightarrow 5$ nghiệm.

Tổng số thời điểm là 10 thời điểm.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Điều kiện: $\frac{\pi }{4}t \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow t \ne 2 + 4k$.

b) Đúng. Đặt $d = 2 \Rightarrow 2\tan \left( {\frac{\pi }{4}t} \right) = 2 \Leftrightarrow \tan \left( {\frac{\pi }{4}t} \right) = 1$.

c) Đúng. Áp dụng công thức nghiệm cơ bản hàm tan: $\frac{\pi }{4}t = \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow t = 1 + 4k,k \in \mathbb{Z}$.

d) Đúng. Vì $0 \le 1 + 4k \le 10 \Leftrightarrow - 0{,}25 \le k \le 2{,}25 \Rightarrow k \in \{ 0;1;2\}$.

Do đó có đúng 3 thời điểm trong 10 phút đầu.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Đặt $T = 24 \Rightarrow 12\sin \left( {\frac{\pi }{6}x - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 24 - 18 = 6 \Rightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{6}x - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}$.

b) Đúng. Bản chất của phương trình lượng giác cơ bản hàm sin luôn sinh ra hai họ nghiệm đối xứng qua trục tung.

c) Đúng. Giải nhánh 1: $\frac{\pi }{6}x - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \Leftrightarrow \frac{\pi }{6}x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \Leftrightarrow x = 5 + 12k$.

Do $1 \le x \le 12 \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = 5$ (tháng 5).

d) Sai. Giải nhánh 2: $\frac{\pi }{6}x - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \Leftrightarrow \frac{\pi }{6}x = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = 9 + 12k$.

Do $1 \le x \le 12 \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = 9$ (tháng 9). Vậy tháng muộn nhất trong năm đạt mức nhiệt này phải là tháng 9.

Đáp án: 4

Con lắc qua vị trí thẳng đứng khi α = 0:

$0{,}1\cos (2\pi t) = 0 \Leftrightarrow \cos (2\pi t) = 0 \Leftrightarrow 2\pi t = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow t = \frac{1}{4} + \frac{k}{2}\quad (k \in \mathbb{Z})$

Có $0 \le \frac{1}{4} + \frac{k}{2} \le 2 \Leftrightarrow 0 \le 1 + 2k \le 8 \Leftrightarrow - 0{,}5 \le k \le 3{,}5 \Rightarrow k \in \{ 0;1;2;3\}$.

Có chính xác 4 thời điểm, tương ứng con lắc đi qua vị trí cân bằng 4 lần.

Đáp án: 0,83

$2 + 0{,}8\sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right) = 2{,}4 \Leftrightarrow 0{,}8\sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right) = 0{,}4 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right) = \frac{{0{,}4}}{{0{,}8}} = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi }{6}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{5}t = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{\pi }{5}t = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{5}{6} + 10k\\t = \frac{{25}}{6} + 10k\end{array} \right.$.

Thời điểm t dương nhỏ nhất là $t = \frac{5}{6} \approx 0{,}83$.

Đáp án: 2

Có $220\sqrt 2 \cos \left( {100\pi t} \right) = 220\sqrt 2 \Leftrightarrow \cos \left( {100\pi t} \right) = 1 \Leftrightarrow 100\pi t = k2\pi \Leftrightarrow t = \frac{k}{{50}} = 0{,}02k\;(k \in \mathbb{Z})$

Có$0 \le 0{,}02k \le 0{,}02 \Leftrightarrow 0 \le k \le 1 \Rightarrow k \in \{ 0;1\}$.

Vậy có đúng hai thời điểm.

Đáp án: 4

$5\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = \frac{{5\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \cot \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \cot \left( {\frac{\pi }{3}} \right)$

$\Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}t = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow t = 4 + 12k\quad (k \in \mathbb{Z})$

D$0 < t < 12$, ta chọn k = 0. Suy ra t = 4 giờ.

Đáp án: 33,3

$15 + 10\sin \left( {\frac{\pi }{{20}}t - \frac{\pi }{2}} \right) = 10 \Leftrightarrow 10\sin \left( {\frac{\pi }{{20}}t - \frac{\pi }{2}} \right) = - 5 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{20}}t - \frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{1}{2} = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)$

Nhánh 1: $\frac{\pi }{{20}}t - \frac{\pi }{2} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \Leftrightarrow \frac{\pi }{{20}}t = \frac{\pi }{3} + k2\pi \Leftrightarrow t = \frac{{20}}{3} + 40k$.

Nhánh 2: $\frac{\pi }{{20}}t - \frac{\pi }{2} = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \Leftrightarrow \frac{\pi }{{20}}t = \frac{{5\pi }}{3} + k2\pi \Leftrightarrow t = \frac{{100}}{3} + 40k$.

Tìm thời điểm lớn nhất trong vòng quay đầu tiên ($0 \le t \le 40$):

Từ nhánh 1, với $k = 0 \Rightarrow t = \frac{{20}}{3} \approx 6{,}7{\rm{ s}}$.

Từ nhánh 2, với $k = 0 \Rightarrow t = \frac{{100}}{3} \approx 33{,}3{\rm{ s}}$.

So sánh hai giá trị, thời điểm lớn nhất thỏa mãn là $t = 33{,}3$ giây