Bài tập Bài toán thực tiễn liên quan đến hàm số lượng giác lớp 11 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Mực nước của con kênh cao nhất khi h đạt giá trị lớn nhất

$\Leftrightarrow \cos (\frac{πt}{8}+\frac{π}{4})=1\Leftrightarrow \frac{πt}{8}+\frac{π}{4}=k2π\ (k\in ℤ)\Leftrightarrow t=16k-2\ (k\in ℤ)$ (1).

Mặt khác 0 ≤ t ≤ 24, kết hợp với (1) ta được: $\frac{1}{8}\le k\le \frac{13}{8},k\in ℤ$. Do đó k = 1.

Với k = 1 thì t = 14 (giờ).

Vậy mực nước của con kênh cao nhất khi t = 14 giờ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Hai vị trí O và A là hai vị trí chân cầu, tại hai vị trí này thì y = 0.

Ta có y = 0 $\Leftrightarrow 4{,}8\sin \frac{x}{9}=0\Leftrightarrow \sin \frac{x}{9}=0\Leftrightarrow \frac{x}{9}=kπ$ (k ∈ ℤ).

Suy ra x = 9kπ, k ∈ ℤ.

Quan sát đồ thị ta thấy, đồ thị hàm số $y=4{,}8\sin \frac{x}{9}$ cắt trục hoành tại điểm O và A liên tiếp nhau với x ≥ 0.

Xét k = 0, ta có x$_{1}$ = 0;

Xét k = 1, ta có x$_{2}$ = 9π.

Mà x$_{1}$ = 0 nên đây là hoành độ của O, do đó x$_{2}$ = 9π là hoành độ của điểm A.

Khi đó OA = 9π ≈ 28,3.

Vậy chiều rộng của con sông xấp xỉ 28,3 m.

Đáp án đúng là: C

Vì điểm nằm cách xích đạo không quá 20 cm trên bản đồ nên ta có –20 ≤ y ≤ 20.

Khi đó $- 20 \le 20\tan \left( {\frac{\pi }{{180}}\varphi } \right) \le 20$ hay $- 1 \le \tan \left( {\frac{\pi }{{180}}\varphi } \right) \le 1$.

Ta có –90 ≤ φ ≤ 90 khi và chỉ khi $- \frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{{180}}\varphi < \frac{\pi }{2}$.

Xét đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ (hình vẽ). Ta thấy $- 1 \le \tan \left( {\frac{\pi }{{180}}\varphi } \right) \le 1$ khi và chỉ khi $- \frac{\pi }{4} < \frac{\pi }{{180}}\varphi < \frac{\pi }{4}$ hay –45 ≤ φ ≤ 45.

Vậy trên bản đồ, các điểm cách xích đạo không quá 20 cm nằm ở vĩ độ từ –45° đến 45°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có đồ thị hàm số v$_{x}$ = 0,3sinα

Theo đồ thị, với góc $α\in (\frac{π}{2};π)$ hoặc $α\in (π;\frac{3π}{2})$ thì v$_{x}$ giảm (đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Điểm G là điểm biểu diễn cho góc lượng giác có số đo α. Bán kính của guồng là 3 m.

Khi đó tọa độ điểm G là (3cosα; 3sinα).

Do OB = 3 m nên chiều cao của gàu đến mặt nước là: h = 3 + 3sinα.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác AHT vuông tại H có:

$\cot α=\frac{TH}{AH}\Leftrightarrow TH=AH\cdot \cot α=500\cdot \cot α$

Vậy trên trục Tx, tọa độ x$_{H}$= 500cotα.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có –1 ≤ sin160πt ≤ 1 ⇔ –25 ≤ 25sin160πt ≤ 25 ⇔ 90 ≤ 115 + 25sin160πt ≤ 140 ∀t.

Vậy huyết áp tâm thu của người đó là 140, huyết áp tâm trương là 90.

Do đó chỉ số huyết áp là 140/90.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Độ dài bóng của tòa nhà bằng chiều cao của tòa nhà khi: S(t) = 40

$\Leftrightarrow 40|\cot \frac{π}{12}t|=40\Leftrightarrow \cot \frac{π}{12}t=\pm 1$.

Do đó: $\frac{π}{12}t=\pm \frac{π}{4}+kπ,k\in ℤ$.

Suy ra: t = ±3 + 12k, k ∈ ℤ.

Vì 0 ≤ t ≤ 12. Do đó, t = 3 hoặc t = 9.

Vì t là số giờ tính từ 6 giờ sáng, do vậy tại thời điểm 9 giờ sáng (6 + 3 = 9) và 15 giờ chiều (6 + 9 = 15) thì bóng của tòa nhà dài bằng chiều cao của tòa nhà.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Mặt cắt của thanh xà gồ là hình chữ nhật có hai kích thước là

AB = 30cos θ (cm) và AD = 30sin θ (cm).

Vậy diện tích mặt cắt là

S = AB ∙ AD = 30cosθ ∙ 30sinθ = 450 ∙ 2sinθ cosθ = 450sin2θ (cm$^{2}$).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì $-1\le \sin \frac{π}{12}(t-9)\le 1$ nên $26\le 29+3\sin \frac{π}{12}(t-9)\le 32$.

Do đó nhiệt độ thấp nhất trong ngày là 26℃.

Đáp án đúng là: A

Ta có: -1 ≤ $\sin \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} - \frac{\pi }{2}} \right)$ ≤ 1 => -4 ≤ 4$\sin \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} - \frac{\pi }{2}} \right)$ ≤ 4

=> 3 ≤ 4$\sin \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} - \frac{\pi }{2}} \right)$ + 7 ≤ 11 => 3 ≤ T ≤ 11.

Vậy nhiệt độ thấp nhất trong ngày tại Sa Pa là 3°C.

Đáp án đúng là: B

Ta có: -1 ≤ $\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right)$ ≤ 1 => -3 ≤ 3cos$\left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right)$ ≤ 3

=> 9 ≤ 3cos$\left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right)$ + 12 ≤ 15 ⇔ 9 ≤ h ≤ 15.

Vậy mực nước của kênh là cao nhất là 15 m.

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số y = $4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10$, với t ∈ ℤ và 0 < t ≤ 365.

Do $\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right]$ ≤ 1, t nên y = $4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10$ ≤ 14.

Vậy thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất bằng 14.

Đáp án đúng là: B

Hàm số h(t) = 146cos$\left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right)$ tuần hoàn với chu kì T = $\frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{{10}}}} = 20$.

Vậy chu kì của sóng là T = 20 giây.

Đáp án đúng là: A

Hàm số y = 25sin4πt tuần hoàn với chu kì T = $\frac{{2\pi }}{{4\pi }} = \frac{1}{2}$. Do đó chu kì dao động của con lắc lò xo là T = $\frac{1}{2}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Hàm số P(t) là một hàm tuần toàn với chu kì ngắn nhất là T = $\frac{{2\pi }}{{880\pi }} = \frac{1}{{440}}$ (giây).

b) Đúng. Tập xác định D = ℝ

Với mọi t ∈ D thì -t ∈ D, ta có: P(-t) = 0,04cos(880π(-t)) = 0,04cos(880πt) = P(t).

Vậy hàm số P(t) hàm số chẵn.

c) Sai. Cứ sau mỗi khoảng thời gian T = $\frac{1}{{440}}$ giây, đồ thị dao động của ấp suất âm thanh lặp lại trạng thái cũ.

d) Sai. Ta có: -1 ≤ cos(880πt) ≤ 1 ⇔ -0,04 ≤ 0,04cos(880πt) ≤ 0,04 ⇔ -0,04 ≤ P(t) ≤ 0,04.

Vậy giá trị lớn nhất của áp suất âm thanh là 0,04 Pa.

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Hàm số có tập xác định D = ℝ.

Với mọi t ∈ D thì -t ∈ D, ta có: d(-t) = $150 + 5\cos \left( {\frac{{\pi \cdot \left( { - t} \right)}}{{182}}} \right) = 150 + 5\cos \left( {\frac{{\pi \cdot t}}{{182}}} \right)$ = d(t).

Vậy hàm số d(t) là hàm số chẵn.

b) Sai. Hàm số tuần hoàn với chu kì T = $\frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{{182}}}} = 364$ (ngày).

c) Đúng. Ta có: -1 ≤ $\cos \left( {\frac{{\pi t}}{{182}}} \right)$ ≤ 1 => - 5 ≤ 5$\cos \left( {\frac{{\pi t}}{{182}}} \right)$ ≤ 5

=> 145 ≤ 150 + 5$\cos \left( {\frac{{\pi t}}{{182}}} \right)$ ≤ 155 => 145 ≤ y ≤ 155.

Khoảng cách lớn nhất từ hành tinh này đến ngôi sao chủ là 155 triệu km.

d) Đúng. Tập giá trị của hàm số d(t) là [145; 155].

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Hàm số có tập xác định là D = ℝ.

b) Sai. Hàm số tuần hoàn với chu kì T = $\frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{{12}}}} = 24$.

Vậy hàm số tuần hoàn với chu kì T = 24 giờ.

c) Sai. Với mọi t ∈ D thì -t ∈ D.

Ta có: h(-t) = 30 + 4sin$\left[ {\frac{\pi }{{12}}\left( { - t - 8} \right)} \right] = 30 + 4\sin \left[ { - \left( {\frac{\pi }{{12}}\left( {t + 8} \right)} \right)} \right]$

$= 30 - 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{12}}\left( {t + 8} \right)} \right]$ ≠ h(t)

Vậy hàm số h(t) là hàm số không chẵn không lẻ.

d) Đúng. Ta có: -1 ≤ sin$\left[ {\frac{\pi }{{12}}\left( {t - 8} \right)} \right]$ ≤ 1 => -4 ≤ 4sin$\left[ {\frac{\pi }{{12}}\left( {t - 8} \right)} \right]$ ≤ 4

⇔ 26 ≤ 30 + 4sin$\left[ {\frac{\pi }{{12}}\left( {t - 8} \right)} \right]$ ≤ 34 ⇔ 26 ≤ h(t) ≤ 34.

Do đó, nhiệt độ cao nhất trong ngày là 34°C và nhiệt độ thấp nhất trong ngày là 26°C. Biên độ là 34 – 26 = 8°C.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: E(α) = 45sinαcosα + 50 = 45$\frac{1}{2}\sin \left( {2\alpha } \right)$ + 50 = 22,5sin(2α) + 50.

b) Sai. Ta có: -1 ≤ sin(2α) ≤ 1 => -22,5 ≤ 22,5sin(2α) ≤ 22,5 => 27,5 ≤ 22,5sin(2α) + 50 ≤ 72,5.

Vậy giá trị lớn nhất của hiệu suất năng lượng hấp thụ năng lượng mà tấm pin có thể đạt được là 72,5%.

c) Đúng. Giá trị nhỏ nhất của hiệu suất năng lượng hấp thụ năng lượng mà tấm pin có thể đạt được là 27,5%.

d) Đúng. Hàm số có tập xác định D = ℝ.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Thời điểm vòng quay bắt đầu hoạt động là t = 0, thay vào hàm số h(t) ta được: h(0) = 25 + 20sin$\left( {\frac{{\pi \cdot 0}}{5} - \frac{\pi }{2}} \right) = 25 + 20\sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = 25 + 20 \cdot \left( { - 1} \right) = 5$ (m).

b) Sai. Thời gian để vòng quay đi hết một vòng chính là chu kì tuần hoàn của hàm số. Do đó hàm số tuần hoàn với chu kì T = $\frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{5}}} = 10$ (phút).

c) Đúng. Ta có: -1 ≤ sin$\left( {\frac{{\pi t}}{5} - \frac{\pi }{2}} \right)$ ≤ 1 => -20 ≤ 20sin$\left( {\frac{{\pi t}}{5} - \frac{\pi }{2}} \right)$ ≤ 20

=> 5 ≤ 25+ 20sin$\left( {\frac{{\pi t}}{5} - \frac{\pi }{2}} \right)$ ≤ 45 => 5 ≤ h(t) ≤ 45.

Vậy chiều cao lớn nhất mà cabin này có thể đạt được khi lên tới đỉnh của vòng quy là 45 m.

d) Sai. Tập xác định: D = ℝ.

Với mọi t ∈ D thì -t ∈ D, ta có: h(-t) = 25 + 20sin$\left( {\frac{{\pi \left( { - t} \right)}}{5} - \frac{\pi }{2}} \right)$

$= 25 + 20\sin \left( { - \frac{{\pi t}}{5} - \frac{\pi }{2}} \right) = 25 - 20\sin \left( {\frac{{\pi t}}{5} + \frac{\pi }{2}} \right) \ne h(t)$.

Vậy hàm số không chẵn không lẻ.

Đáp án: 1,29.

Vì -1 ≤ cos150πt ≤ 1 => - 15 ≤ 15cos150πt ≤ 15 => 105 ≤ 120 + 15cos150πt ≤ 135 => 105 ≤ t ≤ 135.

Vậy huyết áp tâm thu là 135 và huyết áp tâm trương là 105.

Do đó chỉ số huyết áp của người đó là $\frac{{135}}{{105}}$ 1,29.

Đáp án: 180.

Chu kì của sóng là: $T = \frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{{10}}}} = 20$ (giây).

Vì -1 ≤ $\cos \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right)$ ≤ 1 => -90 ≤ 90$\cos \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right)$ ≤ 90.

Vậy chiều cao của sóng theo phương thẳng đứng là: 90 + 90 = 180 (cm).

Đáp án: 15.

Ta có: -1 ≤ sin(0,0172x – 1,376) ≤ 1 => -3 ≤ 3sin(0,0172x – 1,376) ≤ 3

=> 9 ≤ 3sin(0,0172x – 1,376) + 12 ≤ 15 => 9 ≤ g(x) ≤ 15.

Do đó, số giờ ban ngày dài nhất trong một ngày là 15 giờ.

Đáp án: 12.

Chu kì tuần hoàn của hàm số độ sâu mực nước là: T = $\frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{6}}} = 12$ (giờ).

Đáp án: 11.

Ta có: -1 ≤ sin$\left( {4\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)$ ≤ 1 => -4 ≤ 4sin$\left( {4\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)$ ≤ 4

=> 11 ≤ 4sin$\left( {4\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)$ + 15 ≤ 19 => 11 ≤ y(t) ≤ 19.

Vậy khoảng cách nhỏ nhất từ khung xe đến trục bánh trong quá trình dao động là 11 cm.