Bài tập Bài toán thực tiễn có vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Ta có: ABCD là hình vuông và AC là đường chéo nên AC là đường phân giác của $\widehat {DAB}$ hay AC là đường phân giác của $\widehat {NAM}.$

Áp dụng tính chất đường phân giác trong $\Delta NAM$ với AC là đường phân giác của $\widehat {NAM}$ ta có: $\frac{{CN}}{{CM}} = \frac{{AN}}{{AM}} \Rightarrow \frac{{CN}}{{AN}} = \frac{{CM}}{{AM}};\,\,\frac{{AN}}{{CN}} = \frac{{AM}}{{CM}}.$

Như vậy, phương án A, B, C mang nội dung đúng; phương án D mang nội dung sai.

Đáp án đúng là: A

Từ giả thiết ta có: AB = 30 m, BC = 25m;

$\widehat {ADB} = \widehat {BDC}$ suy ra DB là tia phân giác $\widehat {ADC}.$

Xét ∆ADC có DB là tia phân giác $\widehat {ADC},$ nên áp dụng tính chất đường phân giác trong

∆ADC ta có: $\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{30}}{{25}} = \frac{6}{5}.$

Vậy tỉ số khoảng cách từ vị trí D đang đứng đến điểm A và đến điểm C bằng $\frac{6}{5}.$

Đáp án đúng là: A

Từ giả thiết ta có: MA = 14 m, MB = 20 m;

$\widehat {ACM} = \widehat {MCB}$ suy ra CM là tia phân giác $\widehat {ACB}.$

Xét ∆ACB có CM là tia phân giác $\widehat {ACB},$ nên áp dụng tính chất đường phân giác trong

∆ACB ta có: $\frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{14}}{{20}} = \frac{7}{{10}}.$

Vậy tỉ số khoảng cách của ngư dân A và B đến cù lao C trên sông là $\frac{7}{{10}}.$

Đáp án đúng là: D

Theo bài ra ta có: GM = 3 km.

Vì ABCD là hình vuông nên CD = AD và DB là tia phân giác của $\widehat {ADC}.$

Do M là trung điểm của DC nên $DM = \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2}DA$ (do CD = AD).

$\Rightarrow \frac{{DM}}{{DA}} = \frac{1}{2}.$

Xét ∆ADM có: DG là tia phân giác của $\widehat {ADM}$ (do DB là tia phân giác của $\widehat {ADC}$).

Áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆ADM với DG là tia phân giác của $\widehat {ADM}$ ta có:

$\frac{{DM}}{{DA}} = \frac{{GM}}{{GA}} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{3}{{GA}} \Rightarrow GA = 6$ (km).

Vậy bạn Mai phải đi quãng đường ngắn nhất từ nhà tới nhà bạn Lan là GA = 6 km để gặp Lan và Điệp.

Đáp án đúng là: B

Do $\widehat {BAC} = \widehat {CAD}$ nên AC là đường phân giác của $\widehat {BAD}.$

Xét ∆BAD có AC là đường phân giác của $\widehat {BAD},$ nên áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆BAD ta có:

$\frac{{CB}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AD}} \Rightarrow \frac{{20}}{{15}} = \frac{{AB}}{{93}}$ ⇒ AB ∙ 15 = 20 ∙ 93 ⇒ AB ∙ 15 = 1 860

$\Rightarrow AB = \frac{{1\,\,860}}{{15}} = 124$ (m).

Vậy chiều dài của dây thép khi được căng thẳng từ A đến B là 124 m.

Đáp án đúng là: A

Thời gian để bạn Hải đi từ A đến C là: 6 giờ 30 phút – 6 giờ = 30 phút = 0,5 giờ.

Quãng đường mà bạn Hải đi từ A đến C trong 0,5 giờ với tốc độ trung bình lên dốc 4 km/h là: AC = S$_{A→C}$ = 4 ∙ 0,5 = 2 (km).

Xét ∆ACB có CH là đường phân giác của $\widehat {ACB},$ nên áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆ACB ta có:

$\frac{{HA}}{{HB}} = \frac{{CA}}{{CB}} \Rightarrow \frac{{0{,}32}}{{0{,}4}} = \frac{2}{{CB}}$ ⇒ 0,32 ∙ CB = 0,4 ∙ 2 ⇒ 0,32 ∙ CB = 0,8

$\Rightarrow CB = \frac{{0{,}8}}{{0{,}32}} = 2{,}5$ (m).

Thời gian để bạn Hải đi hết quãng đường CB = 2,5 m với tốc độ trung bình xuống dốc 10 km/h là: $\frac{{2{,}5}}{{10}} = 0{,}25$ (giờ).

Như vậy, tổng thời gian bạn Hải đi từ A đến trường B là

0,5 + 0,25 = 0,75 (giờ) = 45 (phút).

Do đó bạn Hải đến trường lúc 6 giờ 45 phút.

Đáp án đúng là: C

Theo đề bài, ABCD là hình thoi nên AB = AD và AC là tia phân giác của $\widehat {BAD}.$

Ta có: AB = 3AM hay AD = 3AM (do AB = AD).

$\Rightarrow \frac{{AM}}{{AD}} = \frac{1}{3}.$

Xét ∆MAD có: AI là tia phân giác của $\widehat {MAD}$ (do AC là tia phân giác của $\widehat {BAD}$),

Áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆MAD ta có:

$\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{IM}}{{ID}} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{{IM}}{{ID}} \Rightarrow IM = \frac{1}{3}ID.$

Theo đề bài, I là địa điểm gặp nhau nên bạn Bảo đi theo quãng đường MI, bạn Lan đi theo quãng đường DI.

Ta có: S = vt, mà quãng đường bạn Bảo đi bằng $\frac{1}{3}$ lần quãng đường bạn Lan đi và vận tốc đi bộ của hai bạn đều bằng nhau nên thời gian bạn Bảo đi bằng $\frac{1}{3}$ lần thời gian bạn Lan đi thì hai bạn mới gặp nhau tại địa điểm I.

Bạn Bảo gặp bạn Lan lúc 7 giờ 30 phút nên thời gian bạn Lan đi hết quãng đường MI là:

7 giờ 30 phút – 7 giờ = 30 phút.

Khi đó, thời gian bạn Bảo đi là $\frac{1}{3} \cdot 30 = 10$ (phút).

Do đó, bạn Bảo phải xuất phát từ lúc: 7 giờ 30 phút – 10 phút = 7 giờ 20 phút.

Vậy bạn Bảo phải xuất phát lúc 7 giờ 20 phút để gặp bạn Lan lúc 7 giờ 30 phút tại điểm I.

Đáp án đúng là: D

Theo bài ra ta có: IA = 500 m = 0,5 km, AB = 6 km, IK = 1 km.

Vì $\widehat {IKA} = \widehat {AKB}$ nên AK là đường phân giác của $\widehat {IKB}.$

Áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆IKB có:

$\frac{{AB}}{{AI}} = \frac{{BK}}{{IK}} \Rightarrow \frac{6}{{0{,}5}} = \frac{{BK}}{1} \Rightarrow BK = \frac{6}{{0{,}5}} = 12$ (km).

Vậy khoảng cách từ người đó (vị trí K) đến hòn đảo B là BK = 12 km.

Đáp án đúng là: B

Vì $\widehat {BAD} = \widehat {CAD}$ nên AD là đường phân giác của $\widehat {BAC}.$

Áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆BAC có: $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$.

Suy ra $\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{DB + DC}}{{AB + AC}} = \frac{{BC}}{{AB + AC}} \Rightarrow \frac{{DB}}{3} = \frac{{DC}}{{3{,}5}} = \frac{5}{{3 + 3{,}5}} = \frac{{10}}{{13}}$

$\Rightarrow \frac{{DB}}{3} = \frac{{10}}{{13}} \Rightarrow DB = \frac{{3 \cdot 10}}{{13}} = \frac{{30}}{{13}} \approx 2{,}31$ (km);

Và $\frac{{DC}}{{3{,}5}} = \frac{{10}}{{13}} \Rightarrow DC = \frac{{3{,}5 \cdot 10}}{{13}} = \frac{{35}}{{13}} \approx 2{,}69$ (km).

Quãng đường vận động viên chạy từ A qua B trước rồi đến D là:

AB + DB ≈ 3 + 2,31 = 5,31 (km).

Quãng đường vận động viên chạy từ A qua C trước rồi đến D là:

AC + DC ≈ 3,5 + 2,69 = 6,19 (km).

Biết hai vận động viên xuất phát cùng một thời điểm và sau t phút thì hai vận động viên gặp nhau tại D nên thời gian chạy của hai vận động viên là như nhau. Mà quãng đường vận động viên chạy từ A qua B trước rồi đến D nhỏ hơn quãng đường vận động viên chạy từ A qua C trước rồi đến D (do 5,31 km < 6,19 km).

Do đó, trong t phút đầu vận động viên chạy từ A qua C trước rồi đến D sẽ chạy nhanh hơn vận động viên chạy từ A qua B trước rồi đến D.

Đáp án đúng là: A

Theo đề bài, ABCD là hình thoi nên BA = BC và BD là tia phân giác của $\widehat {ABC}.$

Vì K là trung điểm của BC nên $BK = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}BA \Rightarrow \frac{{BK}}{{BA}} = \frac{1}{2}.$

Xét ∆ABK có: BH là tia phân giác của $\widehat {ABK}$ (do BD là tia phân giác của$\widehat {ABC}$).

Áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆ABK với BH là tia phân giác của $\widehat {ABK}$ ta có:

$\frac{{BK}}{{BA}} = \frac{{HK}}{{HA}} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{{HK}}{{HA}} \Rightarrow HA = 2HK.$

Theo đề bài, H là địa điểm gặp nhau nên bạn Hoa đi theo quãng đường KH, bạn Phương đi theo quãng đường AH.

Ta có: S = vt, mà quãng đường bạn Phương đi bằng 2 lần quãng đường bạn Hoa đi và vận tốc đi xe đạp của hai bạn đều bằng nhau nên thời gian bạn Phương đi bằng 2 lần thời gian bạn Hoa đi thì hai bạn mới gặp nhau tại địa điểm H.

Bạn Phương gặp bạn Hoa lúc 8 giờ 15 phút và Hoa xuất phát lúc 8 giờ nên thời gian bạn Hoa đi hết quãng đường KH là:

8 giờ 15 phút – 8 giờ = 15 phút.

Khi đó, thời gian bạn Phương đi là 2 ∙ 15 = 30 (phút).

Do đó, bạn Phương phải xuất phát từ lúc: 8 giờ 15 phút – 30 phút = 7 giờ 45 phút.

Vậy bạn Phương phải xuất phát lúc 7 giờ 45 phút giờ để gặp bạn Hoa lúc 8 giờ 15 phút tại điểm H.

Đáp án đúng là: B

Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy.

Do AD là đường phân giác của góc A nên ta có hệ thức $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆MNP, ta có $\frac{{IN}}{{IP}} = \frac{{MN}}{{MP}}$.

Thay số đo vào ta được $\frac{{IN}}{{IP}} = \frac{{1{,}5}}{2} = \frac{3}{4}$.

Đáp án đúng là: C

Áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆SAB, ta có $\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{SA}}{{SB}}$.

Thay số ta được $\frac{{SA}}{{SB}} = \frac{4}{3}$.

Đáp án đúng là: B

Vì EH là tia phân giác của góc E trong ∆EFG nên ta có $\frac{{FH}}{{HG}} = \frac{{EF}}{{EG}}$.

Suy ra $\frac{{40}}{{HG}} = \frac{{80}}{{120}} = \frac{2}{3}$.

Do đó HG = $\frac{{40 \cdot 3}}{2}$ = 60 (cm).

Đáp án đúng là: A

Theo tính chất đường phân giác trong ∆PQR, ta có: $\frac{{SQ}}{{SR}} = \frac{{PQ}}{{PR}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}$.

Suy ra $\frac{{SQ}}{2} = \frac{{SR}}{3}$

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{SQ}}{2} = \frac{{SR}}{3} = \frac{{SQ + SR}}{{2 + 3}} = \frac{{QR}}{5} = \frac{{20}}{5} = 4$.

Vậy SQ = 4 ∙ 2 = 8 (m).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Xét ∆ABC có AD là phân giác của góc A, suy ra $\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}}$.

b) Sai. Theo ý a), ta có $\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{600}}{{800}} = \frac{3}{4}$.

c) Đúng. Từ $\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{3}{4}$ suy ra $\frac{{BD}}{3} = \frac{{CD}}{4}$.

d) Đúng. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{BD}}{3} = \frac{{CD}}{4} = \frac{{BD + CD}}{{3 + 4}} = \frac{{BC}}{7} = \frac{{1000}}{7}$.

Do đó $CD = 4 \cdot \frac{{1000}}{7} = \frac{{4000}}{7} \approx 571$ (m).

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Xét ∆DEF có EG là đường phân giác của góc E nên $\frac{{ED}}{{EF}} = \frac{{GD}}{{GF}}$.

b) Đúng. Ta có $\frac{{ED}}{{EF}} = \frac{{GD}}{{GF}} = \frac{{12}}{{20}} = \frac{3}{5}$.

c) Sai. Từ tỉ số $\frac{{ED}}{{EF}} = \frac{3}{5}$ ta có $\frac{{15}}{{EF}} = \frac{3}{5}$, suy ra EF = $\frac{{15 \cdot 5}}{3}$ = 25 m.

d) Đúng. Chiều dài DF = GD + GF = 12 + 20 = 32 m.

Chu vi ∆DEF là ED + EF + DF = 15 + 25 + 32 = 72 (m).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Xét ∆MNP có MQ là đường phân giác của góc M nên $\frac{{QN}}{{QP}} = \frac{{MN}}{{MP}}$.

b) Sai. Ta có $\frac{{QN}}{{QP}} = \frac{{MN}}{{MP}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

c) Đúng. Theo bài, QP – QN = 1.

Từ $\frac{{QN}}{{QP}} = \frac{2}{3}$ ta có $\frac{{QN}}{2} = \frac{{QP}}{3}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{QN}}{2} = \frac{{QP}}{3} = \frac{{QP - QN}}{{3 - 2}} = \frac{1}{1} = 1$.

Suy ra QN = 2 (m).

d) Sai. Từ ý c) ta cũng tính được QP = 3 (m).

Chiều dài đáy NP là NP = QN + QP = 2 + 3 = 5 (m).

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Xét ∆ABC có AD là tia phân giác góc A nên $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}}$.

b) Đúng. Vì $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}}$ và $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{4}{5}$ nên $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{4}{5}$.

c) Sai. Từ $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{4}{5}$ ta có $\frac{{AB}}{4} = \frac{{AC}}{5}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{AB}}{4} = \frac{{AC}}{5} = \frac{{AB + AC}}{{4 + 5}} = \frac{9}{9} = 1$.

Suy ra AC = 5 (km).

d) Đúng. Từ tính toán trên AB = 4 km.

Vậy khoảng cách từ trạm A đến trạm B ngắn hơn từ A đến C là 5 – 4 = 1 (km).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Xét ∆TXY có TM là phân giác của góc T nên $\frac{{TX}}{{TY}} = \frac{{MX}}{{MY}}$.

b) Sai. Ta có $\frac{{TX}}{{TY}} = \frac{{MX}}{{MY}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

c) Đúng. Từ $\frac{{TX}}{{TY}} = \frac{2}{3}$ ta có $\frac{{TX}}{2} = \frac{{TY}}{3}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{TX}}{2} = \frac{{TY}}{3} = \frac{{TY - TX}}{{3 - 2}} = \frac{6}{1} = 6$.

Suy ra TX = 6 ∙ 2 = 12 (km).

d) Sai. Từ ý c) ta có TY = 6 ∙ 3 = 18 km.

Tổng khoảng cách TX + TY = 12 + 18 = 30 (km).

Đáp án: 8.

Chiều dài tổng đáy BC = BD + CD = 3 + 4 = 7 (m).

Tổng độ dài hai cạnh bên là AB + AC = Chu vi – BC = 21 – 7 = 14 (m).

Theo tính chất đường phân giác, ta có:

$\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}}$ hay $\frac{3}{4} = \frac{{AB}}{{AC}}$, tức là $\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4} = \frac{{AB + AC}}{{3 + 4}} = \frac{{14}}{7} = 2$.

Do đó độ dài AC = 4 ∙ 2 = 8 (m).

Đáp án: 160.

Hai tam giác MNI và MPI có chung đường cao hạ từ đỉnh M xuống cạnh đáy NP.

Do đó tỉ số diện tích của chúng bằng tỉ số hai cạnh đáy tương ứng là $\frac{{{S_{MNI}}}}{{{S_{MPI}}}} = \frac{{IN}}{{IP}}$.

Theo tính chất đường phân giác, $\frac{{IN}}{{IP}} = \frac{{MN}}{{MP}} = \frac{{30}}{{40}} = \frac{3}{4}$.

Suy ra $\frac{{{S_{MNI}}}}{{{S_{MPI}}}} = \frac{3}{4}$ hay $\frac{{120}}{{{S_{MPI}}}} = \frac{3}{4}$.

Diện tích ∆MPI là: ${S_{MPI}} = \frac{{120 \cdot 4}}{3} = 160$ (cm$^{2}$).

Đáp án: 8.

Chiều dài EG = Chu vi – FG – EF = 42 – 14 – 12 = 16 km.

Theo tính chất đường phân giác trong ∆EFG, ta có $\frac{{FH}}{{HG}} = \frac{{EF}}{{EG}} = \frac{{12}}{{16}} = \frac{3}{4}$.

Suy ra $\frac{{FH}}{3} = \frac{{HG}}{4}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{FH}}{3} = \frac{{HG}}{4} = \frac{{FH + HG}}{{3 + 4}} = \frac{{FG}}{7} = \frac{{14}}{7} = 2$.

Suy ra HG = 4 ∙ 2 = 8 (km).

Đáp án: 8.

Áp dụng tính chất đường phân giác cho góc A của ∆ABC, ta có:

$\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}}$ nên $\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{15}}{{25}} = \frac{3}{5}$, tức là $\frac{{BD}}{3} = \frac{{CD}}{5}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{BD}}{3} = \frac{{CD}}{5} = \frac{{BD + CD}}{{3 + 5}} = \frac{{BC}}{8} = \frac{{32}}{8} = 4$.

Do đó BD = 3 ∙ 4 = 12 cm và CD = 5 ∙ 4 = 20 (cm).

Hiệu độ dài CD – BD = 20 – 12 = 8 (cm).

Đáp án: 6.

Theo tính chất đường phân giác của góc A, ta có $\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}$.

Vì DE // AB, theo định lí Thalès trong ∆ABC, ta có $\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{2}{3}$.

Suy ra $\frac{{AE}}{2} = \frac{{EC}}{3}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{AE}}{2} = \frac{{EC}}{3} = \frac{{AE + EC}}{{2 + 3}} = \frac{{AC}}{5} = \frac{{15}}{5} = 3$.

Suy ra AE = 2 ∙ 3 = 6 (m).