Bài tập Bài 5. Đường trung trực của một đoạn thẳng có đáp án

Ta thấy khi gấp giấy điểm A trùng với điểm B nên O là trung điểm của AB.

Ngoài ra nếp gấp vuông góc với đoạn AB.

Do đó nếp gấp xy vuông góc với đoạn AB tại trung điểm của AB.

Do ABCD là hình chữ nhật nên MM’ ^ AB, NN’ ^ AB, PP’ ^ AB.

Ta có AN = AM + MN; NB = NP + PB.

Do AM = MN = NP = PB nên AN = NB và N nằm giữa AB do đó N là trung điểm của AB.

Khi đó NN’ ^ AB và N là trung điểm của AB nên đường trung trực của đoạn AB là NN’.

Do AM = MN và M nằm giữa AN nên M là trung điểm của AN.

Do MM’ ^ AN và M là trung điểm của AN nên đường trung trực của đoạn AN là MM’.

Do NP = PB và P nằm giữa N và B nên P là trung điểm của NB.

Do PP’ ^ NB và P là trung điểm của NB nên đường trung trực của đoạn NB là PP’.

Do DA = DC (theo giả thiết) nên D nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC (1).

Suy ra DP ^ AC.

Xét DBPA vuông tại P và DBPC vuông tại P có:

BP chung.

PA = PC (theo giả thiết).

Suy ra DBPA = DBPC (2 cạnh góc vuông).

Do đó BA = BC (2 cạnh tương ứng).

Suy ra B nằm trên đường trung trực của AC (2).

Từ (1) và (2) suy ra BD là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Do d là đường trung trực của AB nên d ^ AB và O là trung điểm của AB.

Khi đó OA = OB.

Xét DMOA vuông tại O và DMOB vuông tại O có:

OA = OB (chứng minh trên).

OM chung.

Do đó $ΔMOA=ΔMOB$ (2 cạnh góc vuông).

Suy ra MA = MB (2 cạnh tương ứng).

Do M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên MA = MB.

Do đó x + 2 = 7 suy ra x = 5.

Vậy x = 5.

Giả sử độ dài đoạn thẳng AB là 4 cm.

Thực hiện vẽ theo hướng dẫn của đề bài với bán kính cung tròn tại A và B là 3 cm.

Ta thu được hình sau:

Hai cung tròn tại A và B có bán kính 3 cm cắt nhau tại M và N nên

MA = MB = NA = NB = 3 cm.

Do MA = MB nên M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do NA = NB nên N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Vậy MN là đường trung trực của đoạn AB.

Do xy là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên xy vuông góc với AB tại trung điểm của AB.

Gọi O là giao điểm của xy và AB.

Khi đó về bên phải điểm O, trên đường thẳng qua O và vuông góc với xy, ta xác định một điểm sao cho khoảng cách từ điểm đó đến điểm O bằng độ dài đoạn OA.

Điểm đó chính là điểm B.

Ta có hình vẽ sau:

Do M là trung điểm của BC và AM vuông góc với BC tại M nên AM là đường trung trực của BC.

Khi đó AB = AC.

Vậy AC = 10 cm.

Do DB = DC = 8 cm nên D nằm trên đường trung trực của đoạn BC.

Mà AM là đường trung trực của đoạn BC hay D nằm trên đường thẳng AM.

Do đó A, M, D thẳng hàng.

Do AB = AC nên A nằm trên đường trung trực của đoạn BC.

Do DB = DC nên D nằm trên đường trung trực của đoạn BC.

Khi đó AD là đường trung trực của đoạn BC.

Do đó AD vuông góc với BC tại trung điểm của BC.

Mà AD cắt BC tại M nên M là trung điểm của BC.

Do M và N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng EF nên ME = MF và NE = NF.

Xét $ΔEMN$ và $ΔFMN$ có:

ME = MF (chứng minh trên).

NE = NF (chứng minh trên).

MN chung.

Do đó $ΔEMN=ΔFMN$ (c - c - c).

Trạm y tế cách đều hai điểm dân cư tức MA = MB.

Khi đó M nằm trên đường trung trực của AB.

Mà M nằm trên đường thẳng d nên M là giao điểm của d và đường trung trực của AB.