Bài tập Bài 4. Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ có đáp án

Ta có độ dài vòng dây là : F$_{1}$M + F$_{2}$M + F$_{1}$F$_{2}$ = 2a + 2c

⇒ F$_{1}$M + F$_{2}$M = (2a + 2c) − F$_{1}$F$_{2}$ = (2a + 2c) – 2c = 2a

Vậy F$_{1}$M + F$_{2}$M = 2a.

a) Ta có: $\overrightarrow{{F}_{1}M}$ = ( x + c; y) ; $\overrightarrow{{F}_{2}M}$ = (x – c ; y).

Khi đó F$_{1}$M = $|\overrightarrow{{F}_{1}M}|=\sqrt{{(x+c)}^{2}+{y}^{2}}$ ; F$_{2}$M = $\overrightarrow{{F}_{2}M}=\sqrt{{(x-c)}^{2}+{y}^{2}}$ ;

Vậy F$_{1}$M = $\sqrt{{(x+c)}^{2}+{y}^{2}}$ ; F$_{2}$M = $\sqrt{{(x-c)}^{2}+{y}^{2}}$ .

b) Elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F$_{1}$M + F$_{2}$M = 2a

⇔ $\sqrt{{(x+c)}^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{{(x-c)}^{2}+{y}^{2}}$= 2a.

Vậy M(x; y) ∈ (E) ⇔ $\sqrt{{(x+c)}^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{{(x-c)}^{2}+{y}^{2}}$ = 2a

Ta có: a = 3; b = 2.

Vậy phương trình chính tắc của (E) là: $\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$ .

Ta có: 2a = 10 ⇒ a = 5 và b = 4.

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là: $\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$.

a) Ta có: MF$_{2}$+ MA = l ⇒ MA = l – MF$_{2}$

Lại có MF$_{1}$ + MA = d ⇒ MF$_{1}$ + l – MF$_{2}$ = d ⇒ MF$_{1}$ – MF$_{2}$ = d − l = 2a

Vậy MF$_{1}$ – MF$_{2}$ = 2a.

b) Khi đính một đầu dây vào đầu A của thướcvà đổi chỗ cố định đầu dây còn lại vào F$_{1}$, đầu B của thước trùng với F$_{2}$ sao cho đoạn thẳng BA có thể quay quanh F$_{2}$ và làm tương tự như lần đầu để bút chì M vẽ được một nhánh khác của đường (H) (Hình 6c) thì ta có: MF$_{1}$+ MA = l ⇒ MA = l – MF$_{1}$

Lại có MF$_{2}$+ MA = d ⇒ MF$_{2}$ + l – MF$_{1}$ = d ⇒ MF$_{2}$ – MF$_{1}$ = d − l = 2a

Vậy MF$_{2}$ – MF$_{1}$ = 2a.

a) Ta có: $\overrightarrow{{F}_{1}M}$ = ( x + c; y) ; $\overrightarrow{{F}_{2}M}$ = (x – c ; y).

Khi đó F$_{1}$M = $|\overrightarrow{{F}_{1}M}|=\sqrt{{(x+c)}^{2}+{y}^{2}}$ ; F$_{2}$M = $\overrightarrow{{F}_{2}M}=\sqrt{{(x-c)}^{2}+{y}^{2}}$ ;

Vậy F$_{1}$M = $\sqrt{{(x+c)}^{2}+{y}^{2}}$ ; F$_{2}$M = $\sqrt{{(x-c)}^{2}+{y}^{2}}$ .

b) Ta có: Hypebol (H) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho |F$_{1}$M − F$_{2}$M |= 2a

Nếu M thuộc hypebol (H) thì |F$_{1}$M – F$_{2}$M| = 2a hay

⇔ $|\sqrt{{(x+c)}^{2}+{y}^{2}}-\sqrt{{(x-c)}^{2}+{y}^{2}}|$= 2a.

Nếu điểm M(x; y) có toạ độ thoả mãn $|\sqrt{{(x+c)}^{2}+{y}^{2}}-\sqrt{{(x-c)}^{2}+{y}^{2}}|$= 2a

⇔ |F$_{1}$M – F$_{2}$M| = 2a hay M là điểm thỏa mãn |F$_{1}$M – F$_{2}$M| = 2a thì M thuộc hypebol (H).

Ta có tiêu cự bằng 10 nên 2c = 10 ⇒ c = 5; độ dài trục ảo bằng 6 nên 2b = 6 ⇒ b = 3.

Ta lại có a$^{2}$ = c$^{2}$ – b$^{2}$ = 5$^{2}$ – 3$^{2}$ = 16 ⇔ a = 4.

Khi đó phương trình chính tắc của hypebol là:

$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{{x}^{2}}{{4}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{3}^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là: $\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$.

Theo bài ra khoảng cách từ nóc tháp đến tâm O bằng một nửa khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy mà tổng hai khoảng cách này bằng 120m nên ta có:

− Khoảng cách từ nóc tháp đến tâm O bằng 40m;

− Khoảng cách từ tâm O đến đáy bằng 80m.

Thay y = 40 vào phương trình (H), ta được:

$\frac{{x}^{2}}{{27}^{2}}-\frac{{40}^{2}}{{40}^{2}}=1$ ⇔ x$^{2}$ = 1 107⇔ x = ± $\sqrt{1107}$ ⇔ x ≈ ± 33,3.

⇒ Bán kính đường tròn nóc bằng 33,3 m.

Thay y = 80 vào phương trình (H), ta được:

$\frac{{x}^{2}}{{27}^{2}}-\frac{{80}^{2}}{{40}^{2}}=1$⇔ x$^{2}$ = 3 645 ⇔ x = ± $\sqrt{3645}$ ⇔ x ≈ ± 60,4

⇒ Bán kính đường tròn đáy bằng 60,4 m.

Vậy bán kính nóc và bán kính đáy của tháp lần lượt là 33,3 (m) và 60,4 (m).

Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là y$^{2}$ = 2px.

(P) có đường chuẩn Δ: x + 1 = 0 ⇒ $\frac{p}{2}$ =1 ⇔ p = 2.

Thay p = 2 vào phương trình chính tắc của parabol (P) ta được: y$^{2}$ = 2.2.x = 4x

Vậy (P) có phương trình y$^{2}$ = 4x.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Gọi phương trình của parabol là y$^{2}$ = 2px.

Trong đó AB là chân của cổng, OH là chiều cao của cổng, K là vị trí cách đỉnh cổng 2m. Từ điểm K dựng đường thẳng vuông góc với Ox cắt parabol tại 2 điểm C và D. Gọi phương trình của parabol là y$^{2}$ = 2px.

Ta có chiều cao của cổng là OC = 10 m ⇒ C(10; 0).

Bề rộng của cổng tại chân cổng là AB = 5 m ⇒ AC = 2,5 m ⇒ A(10; 2,5).

Vì A(10; 2,5) ∈ (P) nên thay tọa độ của A vào phương trình (P), ta được: 2,5$^{2}$ = 2p. 10

⇒ p = $\frac{5}{16}$ ⇒ (P): y$^{2}$ = $\frac{5}{8}$x..

Thay tọa độ điểm D(2; a) vào phương trình (P), ta được: a$^{2}$ = $\frac{5}{8}$. 2 ⇒ a = $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Vậy bề rộng của cộng tại chỗ cách đỉnh 2m là: 2a = 2. $\frac{\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$ (m).

a) Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$

Ta có 2a = 20 ⇒ a = 10;

2b = 16 ⇒ b = 8.

Thay a = 10 và b = 8 vào phương trình $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ , ta được:

⇔ $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$$\Leftrightarrow \frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{64}=1$.

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là: $\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{64}=1$.

b) Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H) là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$

Ta có: 2c = 20 ⇒ c = 10.

2a = 12 ⇒ a = 6 .

Ta lại có: b$^{2}$ = c$^{2}$ − a$^{2}$ = 10$^{2}$ – 6$^{2}$ = 64 ⇒ b = 8.

Thay a = 6 và b = 8 vào phương trình $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ , ta được:

$\frac{{x}^{2}}{{6}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{8}^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{64}=1$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là: $\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{64}=1$

c) Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là y$^{2}$ = 2px.

(P) có tiêu điểm F( $\frac{1}{2}$; 0) ⇒ $\frac{p}{2}=\frac{1}{2}$ ⇒ p = 1.

Thay p = 1 vào phương trình chính tắc của parabol (P) ta được: y$^{2}$ = 2.1.x = 2x

Vậy parabol (P) có phương trình: y$^{2}$ = 2x.

Gắn hệ trục tọa độ cho elip như hình sau:

Ta có: hình elip có trục lớn là 80 cm, trục nhỏ là 40 cm nên 2a = 80 cm và 2b = 40 cm

⇒ a = 40 cm, b = 20cm

⇒ c = $\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{{40}^{2}-{20}^{2}}=20\sqrt{3}$ (cm).

⇒ Khoảng cách từ mỗi đinh đến mép chiều dài của tấm ván là:

F$_{1}$A$_{1}$ = F$_{2}$A$_{2}$ = a – c = 40 – $20\sqrt{3}$ ≈ 5,36 (cm).

Khoảng cách từ mỗi đinh đến mép chiều rộng của tấm ván là F$_{1}$D = OB$_{2}$ = b = 20 cm.

Vòng dây có độ dài là 2a + 2c = 2.40 + 2. $20\sqrt{3}$ ≈ 74,64 cm.

Vậy, hai cái đinh cách mép chiều dài của tấm ván khoảng 5,36 cm, cách mép chiều rộng của tấm ván là 20 cm và lấy vòng dây có độ dài khoảng 74,64 cm.

a) Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:

Ta có: b = 8 m và 2a = 20 m ⇒ a = 10 m.

Vậy phương trình của elip (E) là: $\frac{{x}^{2}}{{10}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{8}^{2}}=1$.

b) Điểm A cách chân tường 5 m nên A(5; 0). Ta có độ dài AB chính là khoảng cách từ điểm A đến nóc nhà vòm.

Gọi B(5; y). Vì B ∈ (E) nên thay tọa độ B vào phương trình (E), ta được: $\frac{{5}^{2}}{{10}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{8}^{2}}=1$

⇒ y$^{2}$ = 48 ⇒ y = $\sqrt{48}$ ≈ 6,9 ⇒ AB ≈ 6,9.

Vậy khoảng cách theo phương thẳng đứng từ điểm cách chân tường 5m đến nóc nhà vòm khoảng 6,9 mét.

Theo bài ra ta có: OA + OB = 150 m và OA = $\frac{2}{3}$ OB ⇒ OA = 60 m, OB = 90 m.

⇒ A(0; 60), B(0; −90).

Thay y = 60 vào phương trình , ta được:

$\frac{{x}^{2}}{{28}^{2}}-\frac{{60}^{2}}{{42}^{2}}=1$⇔ x$^{2}$ = 2 384 ⇔ x = ± $\frac{{x}^{2}}{{28}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{42}^{2}}=1$ ≈ $\sqrt{2384}$ ± 48,8

⇒ Bán kính nóc khoảng 48,8 m.

Thay y = −90 vào phương trình , ta được:

$\frac{{x}^{2}}{{28}^{2}}-\frac{{(-90)}^{2}}{{42}^{2}}=1$⇔ x$^{2}$ = 4 384 ⇔ x = ± $\sqrt{4384}$ ≈ ± 66,2

⇒ Bán kính đáy khoảng 66,2 m.

Vậy bán kính nóc và bán kính đáy của tháp lần lượt khoảng 48,8 (m) và 66,2 (m).