Bài tập Bài 34. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến. Ba đường phân giác trong một tam giác có đáp án

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

G là trọng tâm của tam giác ABC. Trọng tâm được xác định khi cho ba đường trung tuyến giao nhau.

Học sinh tự thực hiện gấp giấy theo sự hướng dẫn của giáo viên.

Ba nếp gấp (ba đường trung tuyến) cùng đi qua một điểm.

- BM = MC nên M là trung điểm của BC.

AM là đường thẳng nối A và trung điểm M của cạnh BC nên AM là đường trung tuyến của tam giác ABC.

- Ta thấy GA chiếm 2 phần, MA chiếm 3 phần nên $\frac{GA}{MA}=\frac{2}{3}$;

GB chiếm 2 phần, NB chiếm 3 phần nên $\frac{GB}{NB}=\frac{2}{3}$;

GC chiếm 2 phần, PC chiếm 3 phần nên $\frac{GC}{PC}=\frac{2}{3}$.

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\frac{GB}{NB}=\frac{2}{3}$.

Mà BN = GB + GN nên ta có: $\frac{GB}{GB+\text{​}NG}=\frac{2}{3}$ hay 3GB = 2.(GB + NG).

Mà NG = 1cm nên 3GB = 2.(GB + 1)

3GB = 2GB + 2.

3GB – 2GB = 2.

GB = 2cm

Lại có: $\frac{GB}{NB}=\frac{2}{3}$ nên $\frac{2}{NB}=\frac{2}{3}$. Do đó, NB = 3cm.

Vậy GB = 2 cm, NB = 3 cm.

Các cách để tìm trọng tâm của tam giác:

Cách 1: Lấy giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác.

Cách 1. Lấy giao điểm của hai đường trung tuyến của tam giác.

Cách 2. Trên một đường trung tuyến của tam giác, chọn một điểm sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đỉnh bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đó.

Học sinh tự cắt tấm bìa và xác định trọng tâm tam giác theo yêu cầu của đề bài.

Ta quan sát được mảnh bìa đó thăng bằng trên giá nhọn.

Học sinh cắt và gấp theo hướng dẫn của giáo viên.

Ba nếp gấp đo cùng đi qua một điểm.

Tam giác ABC có hai đường phân giác AM, BN cắt nhau tại I nên đường phân giác của góc C đi qua I.

Do đó CI là đường phân giác của góc C.

Giả sử tam giác ABC đều có điểm I cách đều ba cạnh của tam giác, tức IM = IN = IP (hình vẽ).

Khi đó điểm I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC.

Do tam giác ABC đều nên tam giác ABC cũng cân tại A.

Theo kết quả Ví dụ 2, trang 75, ta có AI là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Chứng minh tương tự, ta cũng có:

• Tam giác ABC đều nên tam giác ABC cân tại B, do đó BI là đường trung tuyến của tam giác ABC;

• Tam giác ABC đều nên tam giác ABC cân tại C, do đó CI là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Suy ra AI, BI, CI là ba đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại điểm I.

Khi đó I là trọng tâm của tam giác ABC.

Vậy trong tam giác đều, điểm cách đều ba cạnh của tam giác là trọng tâm của tam giác đó.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

BG = $\frac{2}{3}$BN; CG = $\frac{2}{3}$CP.

Ta có: BG + GN = BN mà BG = $\frac{2}{3}$BN nên GN + $\frac{2}{3}$BN = BN. Do đó, GN = $\frac{1}{3}$BN.

Ta có: CG + GP = CP mà CG = $\frac{2}{3}$CP nên GP + $\frac{2}{3}$CP = CP. Do đó, GN = $\frac{1}{3}$CP.

BG : GN = $\frac{2}{3}$BN : $\frac{1}{3}$BN = 2

CG : GP = $\frac{2}{3}$CP : $\frac{1}{3}$CP = 2

Do đó, BG = 2GN; CG = 2GP.

Vậy BG = $\frac{2}{3}$BN, CG = $\frac{2}{3}$CP, BG = 2 GN, CG = 2 GP.

Giả sử tam giác ABC cân tại A có M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

a) Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (tính chất tam giác cân).

Vì M là trung điểm của AB nên AM = $\frac{1}{2}$AB;

Vì N là trung điểm của AC nên AN = $\frac{1}{2}$AC.

Mà AB = AC nên AM = AN

Xét $ΔANB$ và $ΔAMC$ có:

AM = AN (chứng minh trên).

AB = AC (chứng minh trên).

$\widehat{BAC}$ chung

Suy ra $ΔANB=ΔAMC$ (c - g - c).

Do đó BN = MC (2 cạnh tương ứng).

Vậy trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.

b) Giả sử tam giác ABC có hai trung tuyến CM, BN bằng nhau và cắt nhau tại G.

G là trọng tâm tam giác ABC nên CG = $\frac{2}{3}$CM, BG = $\frac{2}{3}$BN.

Do CM = BN nên CG = BG.

$ΔBGC$ có CG = BG nên $ΔBGC$ cân tại G.

Do đó $\widehat{GBC}=\widehat{GCB}$.

Xét $ΔMBC$ và $ΔNCB$ có:

MC = NB (theo giả thiết).

$\widehat{MCB}=\widehat{NBC}$ (chứng minh trên).

BC chung.

Suy ra $ΔMBC=ΔNCB$ (c - g - c).

Do đó $\widehat{MBC}=\widehat{NCB}$ (2 góc tương ứng).

$ΔABC$ có $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ nên $ΔABC$ cân tại A.

Vậy nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Xét $ΔGBC$ có $\widehat{GBC}>\widehat{GCB}$ nên GC > GB (cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn).

Do G là trọng tâm của $ΔABC$ nên CG = $\frac{2}{3}$ CN, BG = $\frac{2}{3}$BM.

Khi đó $\frac{2}{3}$CN > $\frac{2}{3}$BM.

Do đó CN > BM.

Vậy CN > BM.

Xét $ΔABC$ có $\widehat{CAB}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác).

Do đó:

$\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^{\circ}-\widehat{CAB}$

= 180$^{o}$ - 120$^{o}$ = 60$^{o}$.

Do BI là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{ABC}=2\widehat{IBC}$.

Do CI là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{ACB}=2\widehat{ICB}$.

Do đó $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2(\widehat{IBC}+\widehat{ICB})$.

hay 60$^{o}$ = 2$(\widehat{IBC}+\widehat{ICB})$.

$(\widehat{IBC}+\widehat{ICB})$ = 60$^{o}$ : 2 = 30$^{o}$.

Xét $ΔIBC$ có $\widehat{BIC}+\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=180^{\circ}$.

Do đó $\widehat{BIC}=180^{\circ}-(\widehat{IBC}+\widehat{ICB})$ = 180$^{o}$ - 30$^{o}$ = 150$^{o}$.

Vậy $\widehat{BIC}$ = 150$^{o}$.

Do $ΔABC$ cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$; AB = AC

Do BE là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{EBA}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$.

Do CF là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{FCA}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$.

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ nên $\widehat{EBA}=\widehat{FCA}$.

Xét $ΔAEB$ và $ΔAFC$ có:

$\widehat{EBA}=\widehat{FCA}$ (chứng minh trên).

$\widehat{BAC}$ chung.

AB = AC (chứng minh trên).

Suy ra $ΔFBC=ΔECB$ (g - c - g).

Do đó CF = BE (2 cạnh tương ứng).

Vậy BE = CF.

a) Vì D nằm trên tia phân giác BD của góc ABC nên D cách đều hai cạnh BA và BC.

Do đó DR = DP.

b) Do CD là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{DCQ}=\widehat{DCP}=\frac{1}{2}\widehat{PCQ}$.

Xét $ΔDCQ$ vuông tại Q và $ΔDCP$ vuông tại P có:

$\widehat{DCQ}=\widehat{DCP}$ (chứng minh trên).

CD chung.

Suy ra $ΔDCQ=ΔDCP$ (cạnh huyền - góc nhọn).

Do đó DQ = DP (2 cạnh tương ứng).

c) Từ ý a và b ta có DR = DP và DQ = DP nên DR = DQ.

Ta có D nằm trong $\widehat{BAC}$ và D cách đều hai cạnh AB và AC của $\widehat{BAC}$ nên D nằm trên tia phân giác của $\widehat{BAC}$.