Bài tập Bài 33. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác có đáp án

Tổng độ dài dây dẫn điện cần sử dụng để kéo điện từ cột điện A đến cột điện B thông qua cột điện C là AC + CB.

Ta xét các trường hợp:

• C thuộc đoạn thẳng AB hay C nằm giữa A và B thì AC + CB = AB.

• C thuộc đường thẳng AB nhưng không thuộc đoạn thẳng AB thì AC + CB > AB.

• C không thuộc đường thẳng AB thì khi đó ta có DABC

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có AC + BC > AB.

Khi đó với C bất kì thì AC + CB ≥ AB.

Do đó AC + CB nhỏ nhất khi AC + CB = AB.

AC + CB = AB khi C nằm giữa A và B.

Vậy C nằm giữa A và B thì tổng độ dài dây dẫn

Ta có 10 < 20 + 25; 20 < 10 + 25; 25 < 10 + 20.

Vậy độ dài của thanh bất kì luôn nhỏ hơn tổng độ dài của hai thanh còn lại.

Ta có 20 + 25 = 45 > 10; 10 + 20 = 30 > 25; 10 + 25 = 35 > 20.

Ta thấy tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại.

Bạn Tròn nói đúng vì trong một tam giác, độ dài một cạnh bất kì luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại. Tức là bất kỳ cạnh nào cũng vậy.

Ở đây ta thấy, 1 + 2 = 3 < 4 nên có một cạnh không thỏa mãn.

Do đó, ba đoạn thẳng đã cho không tạo thành tam giác.

a) Ta có 6 < 5 + 4, ba độ dài 5 cm, 4 cm, 6 cm thỏa mãn điều kiện độ dài lớn nhất nhỏ hơn tổng hai độ dài còn lại nên đây có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Dùng thước và compa ta vẽ được hình như sau:

Tổng độ dài dây dẫn điện cần sử dụng để kéo điện từ cột điện A đến cột điện B thông qua cột điện C là AC + CB.

Ta xét các trường hợp:

• C thuộc đoạn thẳng AB hay C nằm giữa A và B thì AC + CB = AB.

• C thuộc đường thẳng AB nhưng không thuộc đoạn thẳng AB thì AC + CB > AB.

• C không thuộc đường thẳng AB thì khi đó ta có DABC

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có AC + BC > AB.

Khi đó với C bất kì thì AC + CB ≥ AB.

Do đó AC + CB nhỏ nhất khi AC + CB = AB.

AC + CB = AB khi C nằm giữa A và B.

Vậy C nằm giữa A và B thì tổng độ dài dây dẫn điện cần sử dụng là nhỏ nhất.

b) Ta có 6 < 3 + 4, bộ ba đoạn thẳng có độ dài 3 cm, 4 cm, 6 cm thỏa mãn độ dài lớn nhất nhỏ hơn tổng hai độ dài còn lại nên có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Sử dụng thước thẳng và compa, ta có hình như sau:

c) Ta có 5 < 2 + 4, bộ ba đoạn thẳng có độ dài 2 cm, 4 cm, 5 cm thỏa mãn độ dài lớn nhất nhỏ hơn tổng hai độ dài còn lại nên có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Sử dụng thước thẳng và compa, ta có hình như sau:

a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác ABC ta có:

BC - AB < CA < BC + AB

Do đó 7 – 1 < CA < 7 + 1

Hay 6 < CA < 8.

Mà độ dài CA là một số nguyên nên CA = 7 cm.

b) Tam giác ABC có BC là cạnh lớn nhất nên độ dài cạnh BC luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại, tức là BC < AB + CA.

Do đó 6 < 2 + CA

Hay CA > 6 – 2 = 4

Mặt khác, trong tam giác ABC, BC là cạnh lớn nhất nên CA ≤ BC = 6.

Khi đó 4 < CA ≤ 6.

Mà độ dài cạnh CA là một số nguyên nên CA = 5 cm hoặc CA = 6 cm.

Trong tam giác ABD, theo bất đẳng thức tam giác ta có:

AD < AB + BD (1)

Trong tam giác ACD, theo bất đẳng thức tam giác ta có:

AD < AC + CD (2)

Từ (1) và (2) ta có:

AD + AD < AB + BD + AC + CD = AB + AC + (BD + CD)

Hay 2AD < AB + AC + BC

Suy ra AD < $\frac{1}{2}$(AB + AC + BC).

Mặt khác chu vi tam giác ABC là AB + AC + BC.

Do đó AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC.

Vậy AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC.

b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $ΔNAC$ có:

NA < CA + CN (tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ ba)

Cộng cả hai vế với NB ta được:

NA + NB < CA + CN + NB.

NA + NB < CA + (CN + NB).

hay NA + NB < CA + CB.

c) Do MA + MB < NA + NB và NA + NB < CA + CB nên

MA + MB < NA + NB < CA + CB.

Do đó MA + MB < CA + CB.