TopStudy

Đáp án và lời giải

Bài tập Bài 3. Phép cộng, phép trừ đa thức một biến có đáp án

Về trang đề

Câu 1

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Để cộng hoặc trừ hai đa thức một biến ta làm một trong hai cách sau:

Cách 1. Cộng, trừ đa thức theo hàng ngang:

- Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;

- Viết tổng (hiệu) hai đa thức theo hàng ngang;

- Nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau;

- Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được tổng cần tìm.

Cách 2. Cộng, trừ đa thức theo cột dọc:

- Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;

- Đặt phép tính cộng, trừ hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột dọc tương ứng như cộng, trừ các số.

Câu 2

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Ta có:

5x2^{2} + 7x2^{2} = (5 + 7)x2^{2} = 12x2^{2}.

axk^{k} + bxk^{k} = (a + b)xk^{k} (k ∈N∗\in {ℕ}^{*}).

b) Quy tắc cộng hai đơn thức có cùng số mũ của biến:

Để cộng hai đơn thức có cùng số mũ của biến, ta cộng hai hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

Câu 3

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a)

Ta có:

P(x) = 5x2^{2} + 4 + 2x = 5x2^{2} + 2x + 4;

Q(x) = 8x + x2^{2} + 1 = x2^{2} + 8x + 1.

Vậy các đa thức P(x), Q(x) được sắp xếp theo số mũ giảm dần của biến là:

P(x) = 5x2^{2} + 2x + 4; Q(x) = x2^{2} + 8x + 1.

b) Ta điền vào bảng như sau:

Đa thứcĐơn thức có số mũ 2 của biến (Đơn thức chứa x2^{2})Đơn thức có số mũ 1 của biến (Đơn thức chứa x)Số hạng tự do (Đơn thức không chứa x)
P(x)5x2^{2}2x4
Q(x)x2^{2}8x1
R(x)6x2^{2}10x5

c) Dựa vào bảng trên ta thấy:

Đa thức R(x) có đơn thức chứa x2^{2} là 6x2^{2}; đơn thức chứa x là 10x; đơn thức không chứa x là 5.

Do đó đa thức R(x) = 6x2^{2} + 10x + 5.

Câu 4

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Cách làm của bạn Dũng chưa đúng vì:

- Các đơn thức 3x và 6 không có cùng số mũ của biến nên chúng không được viết ở cùng cột.

- Các đơn thức – 1 và 2x không có cùng số mũ của biến nên chúng không được viết ở cùng cột.

- Các đơn thức 3x và 2x sẽ được viết cùng cột (cùng có số mũ của biến là 1); các đơn thức 6 và – 1 sẽ được viết cùng cột (cùng số mũ của biến là 0).

Cách viết đúng là:

+  P(x)=6x2+3x−1 Q(x)=8x2+2x+6 ‾ P(x)+Q(x)=14x2+5x+5\begin{matrix}+\ \underline{\begin{matrix}\begin{matrix}\ P(x)=6{\text{x}}^{2}+3\text{x}-1 \\ \ Q(x)=8{x}^{2}+2\text{x}+6\end{matrix}\end{matrix}\ } \\ \ P(x)+Q(x)=14{\text{x}}^{2}+5\text{x}+5\end{matrix}

Câu 5

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) P(x) = -2x2^{2} + 1 + 3x = -2x2^{2} + 3x + 1.

Q(x) = -5x + 3x2^{2} + 4 = 3x2^{2} + (-5x) + 4 = 3x2^{2} - 5x + 4.

Vậy các đa thức P(x) và Q(x) được sắp xếp theo số mũ giảm dần của biến là:

P(x) = -2x2^{2} + 3x + 1; Q(x) = 3x2^{2} - 5x + 4.

b) P(x) + Q(x) = (-2x2^{2} + 3x + 1) + (3x2^{2} - 5x + 4)

= -2x2^{2} + 3x + 1 + 3x2^{2} - 5x + 4.

c) P(x) + Q(x) = (-2x2^{2} + 3x2^{2}) + (3x - 5x) + (1 + 4).

d) P(x) + Q(x) = (-2x2^{2} + 3x2^{2}) + (3x - 5x) + (1 + 4)

= x2^{2} - 2x + 5.

Câu 6

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Cách 1. Tính tổng theo hàng ngang:

P(x) + Q(x) = (2x3^{3} + 32\frac{3}{2}x2^{2} + 5x - 2) + (-8x3^{3} + 4x2^{2} + 6 + 3x)

= 2x3^{3} + 32\frac{3}{2}x2^{2} + 5x - 2 - 8x3^{3} + 4x2^{2} + 6 + 3x

= (2x3^{3} - 8x3^{3}) + (32\frac{3}{2}x2^{2} + 4x2^{2}) + (5x + 3x) + (-2 + 6)

= -6x3^{3} + 112\frac{11}{2}x2^{2} + 8x + 4.

Vậy P(x) + Q(x) = -6x3^{3} + 112\frac{11}{2}x2^{2} + 8x + 4.

Cách 2. Tính tổng theo cột dọc:

 + P(x)= 2x3+32x2+5x−2Q(x)=−8x3+4x2+3x+6‾ P(x)+Q(x)=−6x3+112x2+8x+4\begin{matrix}\underline{\ +\begin{matrix}\begin{matrix}\ P(x)=\ 2{\text{x}}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}+5\text{x}-2 \\ Q(x)=-8{\text{x}}^{3}+4{\text{x}}^{2}+3\text{x}+6\end{matrix}\end{matrix}} \\ \ P(x)+Q(x)=-6{\text{x}}^{3}+\frac{11}{2}{x}^{2}+8x+4\end{matrix}

Vậy P(x) + Q(x) = -6x3^{3} + 112\frac{11}{2}x2^{2} + 8x + 4.

Câu 7

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Ta thực hiện phép trừ như sau:

2x2^{2} - 6x2^{2} = (2 - 6)x2^{2} = -4x2^{2}.

axk^{k} - bxk^{k} = (a - b)xk^{k} (k ∈N∗\in {ℕ}^{*}).

b) Quy tắc trừ hai đơn thức có cùng số mũ của biến:

Để trừ hai đơn thức có cùng số mũ của biến, ta trừ hai hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

Câu 8

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Ta có:

P(x) = 4x2^{2} + 1 + 3x = 4x2^{2} + 3x + 1.

Q(x) = 5x + 2x2^{2} + 3 = 2x2^{2} + 5x + 3.

Vậy các đa thức P(x), Q(x) được sắp xếp theo số mũ giảm dần của biến là:

P(x) = 4x2^{2} + 3x + 1; Q(x) = 2x2^{2} + 5x + 3.

b) Ta điền vào bảng như sau:

b)

Đa thứcĐơn thức có số mũ 2 của biến (Đơn thức chứa x2^{2})Đơn thức có số mũ 1 của biến (Đơn thức chứa x)Số hạng tự do (Đơn thức không chứa x)
P(x)4x2^{2}3x1
Q(x)2x2^{2}5x3
S(x)2x2^{2}-2x-2

c) Dựa vào bảng trên ta thấy:

Đa thức S(x) có đơn thức chứa x2^{2} là 2x2^{2}; đơn thức chứa x là -2x; đơn thức không chứa x là -2.

Do đó đa thức S(x) = 2x2^{2} - 2x - 2.

Câu 9

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Sắp xếp đa thức theo thứ tự giảm dần số mũ của biến và đặt phép tính ta được:

− 2x2−5x−13−6x4+5x2+3x+23‾ 6x4 −3x2−8x−1\begin{matrix}-\underline{\begin{matrix}\begin{matrix}\ 2{\text{x}}^{2}-5\text{x}-\frac{1}{3} \\ -6{\text{x}}^{4}+5{\text{x}}^{2}+3\text{x}+\frac{2}{3}\end{matrix}\end{matrix}} \\ \ 6{\text{x}}^{4}\ -3{\text{x}}^{2}-8\text{x}-1\end{matrix}

Vậy P(x) - Q(x) = 6x4^{4} - 3x2^{2} - 8x - 1.

Câu 10

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Ta có:

P(x) = -3x2^{2} + 2 + 7x = -3x2^{2} + 7x + 2.

Q(x) = -4x + 5x2^{2} + 1 = 5x2^{2} + (-4x) + 1 = 5x2^{2} - 4x + 1.

Vậy các đa thức P(x) và Q(x) được sắp xếp theo số mũ giảm dần của biến là:

P(x) = -3x2^{2} + 7x + 2; Q(x) = 5x2^{2} - 4x + 1.

b) P(x) - Q(x) = -3x2^{2} + 7x + 2 - (5x2^{2} - 4x + 1)

c) P(x) - Q(x) = -3x2^{2} + 7x + 2 - (5x2^{2} - 4x + 1)

= -3x2^{2} + 7x + 2 - 5x2^{2} + 4x - 1

= (-3x2^{2} - 5x2^{2}) + (7x + 4x) + (2 - 1)

d) P(x) - Q(x) = (-3x2^{2} - 5x2^{2}) + (7x + 4x) + (2 - 1)

= -8x2^{2} + 11x + 1.

Vậy P(x) - Q(x) = -8x2^{2} + 11x + 1.

Câu 11

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Cách 1. Tính hiệu theo hàng ngang:

P(x) - Q(x) = 6x3^{3} + 8x2^{2} + 5x - 2 - (-9x3^{3} + 6x2^{2} + 3 + 2x)

= 6x3^{3} + 8x2^{2} + 5x - 2 + 9x3^{3} - 6x2^{2} - 3 - 2x

= (6x3^{3} + 9x3^{3}) + (8x2^{2} - 6x2^{2}) + (5x - 2x) + (-2 - 3)

= 15x3^{3} + 2x2^{2} + 3x - 5.

Vậy P(x) - Q(x) = 15x3^{3} + 2x2^{2} + 3x - 5.

Cách 2. Tính hiệu theo cột dọc:

Ta có: Q(x) = -9x3^{3} + 6x2^{2} + 3 + 2x = -9x3^{3} + 6x2^{2} + 2x + 3.

−6x3−9x3++8x26x2++5x2x−+23‾ 15x3+2x2+3x−5\begin{matrix}-\underline{\begin{matrix}\begin{matrix}6{\text{x}}^{3} \\ -9{\text{x}}^{3}\end{matrix}\end{matrix}\begin{matrix}\begin{matrix}+ \\ +\end{matrix}\end{matrix}\begin{matrix}\begin{matrix}8{\text{x}}^{2} \\ 6{\text{x}}^{2}\end{matrix}\end{matrix}\begin{matrix}\begin{matrix}+ \\ +\end{matrix}\end{matrix}\begin{matrix}\begin{matrix}5\text{x} \\ 2\text{x}\end{matrix}\end{matrix}\begin{matrix}\begin{matrix}- \\ +\end{matrix}\end{matrix}\begin{matrix}\begin{matrix}2 \\ 3\end{matrix}\end{matrix}} \\ \ 15{x}^{3}+2{\text{x}}^{2}+3\text{x}-5\end{matrix}

Vậy P(x) - Q(x) = 15x3^{3} + 2x2^{2} + 3x - 5.

Câu 12

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) R(x) + S(x) = (-8x4^{4} + 6x3^{3} + 2x2^{2} - 5x + 1) + (x4^{4} - 8x3^{3} + 2x + 3)

= -8x4^{4} + 6x3^{3} + 2x2^{2} - 5x + 1 + x4^{4} - 8x3^{3} + 2x + 3.

= (-8x4^{4} + x4^{4}) + (6x3^{3} - 8x3^{3}) + 2x2^{2} + (-5x + 2x) + (1 + 3).

= -7x4^{4} - 2x3^{3} + 2x2^{2} - 3x + 4.

Vậy R(x) + S(x) = -7x4^{4} - 2x3^{3} + 2x2^{2} - 3x + 4.

b) R(x) - S(x) = (-8x4^{4} + 6x3^{3} + 2x2^{2} - 5x + 1) - (x4^{4} - 8x3^{3} + 2x + 3)

= -8x4^{4} + 6x3^{3} + 2x2^{2} - 5x + 1 - x4^{4} + 8x3^{3} - 2x - 3

= (-8x4^{4} - x4^{4}) + (6x3^{3} + 8x3^{3}) + 2x2^{2} + (-5x - 2x) + (1 - 3)

= -9x4^{4} + 14x3^{3} + 2x2^{2} - 7x - 2

Vậy R(x) - S(x) = -9x4^{4} + 14x3^{3} + 2x2^{2} - 7x - 2.

Câu 13

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Ta có:

A(x) + B(x) = -8x5^{5} + 6x4^{4} + 2x2^{2} - 5x + 1 + 8x5^{5} + 8x3^{3} + 2x - 3.

= (-8x5^{5} + 8x5^{5}) + 6x4^{4} + 8x3^{3} + 2x2^{2} + (-5x + 2x) + (1 - 3).

= 6x4^{4} + 8x3^{3} + 2x2^{2} - 3x - 2

Khi đó bậc của đa thức A(x) + B(x) bằng 4.

A(x) - B(x) = -8x5^{5} + 6x4^{4} + 2x2^{2} - 5x + 1 - (8x5^{5} + 8x3^{3} + 2x - 3)

= -8x5^{5} + 6x4^{4} + 2x2^{2} - 5x + 1 - 8x5^{5} - 8x3^{3} - 2x + 3

= (-8x5^{5} - 8x5^{5}) + 6x4^{4} - 8x3^{3} + 2x2^{2} + (-5x - 2x) + (1 + 3)

= -16x5^{5} + 6x4^{4} - 8x3^{3} + 2x2^{2} - 7x + 4

Khi đó bậc của đa thức A(x) - B(x) bằng 5.

Câu 14

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Tiền lãi bác Ngọc nhận được ở ngân hàng thứ hai là:

80 . (x + 1,5)% = 80.x+1,510080.\frac{x+1{,}5}{100} = 45\frac{4}{5}(x + 1,5) (triệu đồng).

Khi đó tổng cả gốc và lãi bác Ngọc nhận được ở ngân hàng thứ hai là:

80 + 45\frac{4}{5}(x + 1,5) (triệu đồng).

Vậy hết kì hạn 1 năm, bác Ngọc có được cả gốc và lãi ở ngân hàng thứ hai là 80+45(x+1,5)80+\frac{4}{5}(x+1{,}5) (triệu đồng).

b) Tiền lãi bác Ngọc nhận được ở ngân hàng thứ nhất là:

90 . x% = 90 . x100\frac{x}{100} = 910\frac{9}{10}x (triệu đồng).

Tiền lãi bác Ngọc nhận được ở cả hai ngân hàng là:

45\frac{4}{5}(x + 1,5) + 910\frac{9}{10}x (triệu đồng).

Tiền gốc bác Ngọc gửi ở hai ngân hàng là:

90 + 80 = 170 (triệu đồng).

Khi đó tổng cả gốc và lãi bác Ngọc nhận được ở hai ngân hàng là:

170 + 45\frac{4}{5}(x + 1,5) + 910\frac{9}{10}x (triệu đồng).

Vậy hết kì hạn 1 năm, bác Ngọc có được cả gốc và lãi ở cả hai ngân hàng là 170+45(x+1,5)+910x170+\frac{4}{5}(x+1{,}5)+\frac{9}{10}x (triệu đồng).

Câu 15

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Thể tích nước trong can ban đầu là 10 lít = 10 dm3^{3}.

Thể tích nước trong bể khi mực nước có chiều cao h (cm) là:

20 . 20 . h = 400h (cm3^{3}).

Đổi 400h cm3^{3} = 0,4h dm3^{3}.

Thể tích nước trong bể bằng thể tích nước trong can rót ra nên thể tích nước còn lại trong can là: 10 - 0,4h (dm3^{3}).

Vậy thể tích nước còn lại trong can là: 10 - 0,4h (dm3^{3}).

Câu 16

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Minh và Quân nói như vậy là không đúng do tổng hoặc hiệu của hai đa thức bậc bốn có thể không phải là đa thức bậc bốn.

Chẳng hạn:

A(x) = x4^{4} + 1; B(x) = -x4^{4} + x3^{3}; C(x) = x4^{4}.

Khi đó A(x) + B(x) = x4^{4} + 1 + (-x4^{4} + x3^{3}) = x4^{4} + 1 - x4^{4} + x3^{3} = (x4^{4} - x4^{4}) + x3^{3} + 1 = x3^{3} + 1 là đa thức bậc ba.

A(x) - C(x) = x4^{4} + 1 - x4^{4} = (x4^{4} - x4^{4}) + 1 = 1 là đa thức bậc không.