Bài tập Bài 25. Nhị thức Newton có đáp án

Hướng dẫn giải

+) Ta có: a$^{2}$ + 2ab + b$^{2}$ = a$^{2}$ . b$^{0}$ + 2 . a$^{1}$ . b$^{1}$ + b$^{2}$ . a$^{0}$

a$^{3}$ + 3a$^{2}$b + 3ab$^{2}$ + b$^{3}$ = a$^{3}$ . b$^{0}$+ 3 . a$^{2}$ . b$^{1}$ + 3 . a$^{1}$ . b$^{2}$ + a$^{0}$ . b$^{3}$

Quan sát vế phải của các đẳng thức, ta thấy số mũ của a giảm dần từ số mũ của biểu thức vế trái đến 0, còn số mũ của b tăng dần từ 0 đến số mũ của biểu thức ở vế trái.

+) Sau khi học bài Nhị thức Newton này, ta có thể tìm được cách tính các hệ số của đơn thức trong khai triển (a + b)$^{n}$ khi n ∈ {4; 5}.

Hướng dẫn giải

Quan sát sơ đồ, ta thấy tổng các tích nhận được: a.c + a.d + b.c + b.d.

Khai triển của tích (a + b) . (c + d) = a . (c + d) + b . (c + d) = a.c + a.d + b.c + b.d.

Vậy tổng của các tích nhận được bằng với khai triển của tích (a + b) . (c + d).

Hướng dẫn giải

Theo quy tắc xây dựng sơ đồ hình cây như HĐ1, ta điền được các biểu thức trong sơ đồ hình cây của tích (a + b) . (a + b) . (a + b) như sau:

Quan sát sơ đồ trên ta thấy, có 1 tích bằng a$^{3}$, có 3 tích bằng a$^{2}$b, có 3 tích bằng ab$^{2}$ và có 1 tích bằng b$^{3}$.

Ở lớp 8, ta đã biết, khai triển (a + b)$^{3}$ = a$^{3}$+ 3a$^{2}$b + 3ab$^{2}$+ b$^{3}$.

Vậy hệ số của khai triển đúng bằng hệ số các tích nhận được.

Hướng dẫn giải

+ Để có đơn thức a$^{4}$ thì phải có 4 nhân tử a, khi đó số đơn thức đồng dạng với a$^{4}$ trong tổng là: $C_4^0$ = 1, hay có 1 đơn thức a$^{4}$.

+ Để có đơn thức a$^{3}$b thì phải có 3 nhân tử a, 1 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với a$^{3}$b trong tổng là: $C_4^1$ = 4.

+ Để có đơn thức a$^{2}$b$^{2}$ thì phải có 2 nhân tử a, 2 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với a$^{2}$b$^{2}$ trong tổng là: $C_4^2$ = 6.

+ Để có đơn thức ab$^{3}$ thì phải có 1 nhân tử a, 3 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với ab$^{3}$ trong tổng là: $C_4^3$ = 4.

+ Để có đơn thức b$^{4}$ thì phải có 4 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với b$^{4}$ trong tổng là: $C_4^4$ = 1, hay có 1 đơn thức b$^{4}$.

Hướng dẫn giải

Thay a = x và b = – 2 trong công thức khai triển của (a + b)$^{4}$, ta được:

(x – 2)$^{4}$= x$^{4}$ + 4x$^{3}$. (– 2) + 6x$^{2}$. (–2)$^{2}$ + 4x . (– 2)$^{3}$ + (– 2)$^{4}$

= x$^{4}$ – 8x$^{3}$ + 24x$^{2}$ – 32x + 16.

Hướng dẫn giải

+ Để có đơn thức a$^{5}$ thì phải có 5 nhân tử a, khi đó số đơn thức đồng dạng với a$^{5}$trong tổng là: $C_5^0$ = 1, hay có 1 đơn thức a$^{5}$.

+ Để có đơn thức a$^{4}$b thì phải có 4 nhân tử a, 1 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với a$^{4}$b trong tổng là: $C_5^1$ = 5.

+ Để có đơn thức a$^{3}$b$^{2}$ thì phải có 3 nhân tử a, 2 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với a$^{3}$b$^{2}$ trong tổng là: $C_5^2$ = 10.

+ Để có đơn thức a$^{2}$b$^{3}$ thì phải có 2 nhân tử a, 3 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với a$^{2}$b$^{3}$ trong tổng là: $C_5^3$ = 10.

+ Để có đơn thức ab$^{4}$ thì phải có 1 nhân tử a, 4 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với ab$^{4}$ là: $C_5^4$ = 5.

+ Để có đơn thức b$^{5}$ thì phải có 5 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với b$^{5}$trong tổng là: $C_5^5$ = 1.

Hướng dẫn giải

Thay a = 3x và b = – 2 trong công thức khai triển của (a + b)$^{5}$, ta được:

(3x – 2)$^{5}$

= (3x)$^{5}$ + 5. (3x)$^{4}$. (–2) + 10 . (3x)$^{3}$. (– 2)$^{2}$ + 10 . (3x)$^{2}$. (– 2)$^{3}$ + 5 . (3x) . (– 2)$^{4}$ + (– 2)$^{5}$

= 243x$^{5}$ – 810x$^{4}$ + 1080x$^{3}$ – 720x$^{2}$ + 240x – 32.

Hướng dẫn giải

a) Khai triển: (1 + 0,05)$^{4}$= 1$^{4}$ + 4 . 1$^{3}$. 0,05 + 6 . 1$^{2}$. 0,05$^{2}$ + 4 . 1 . 0,05$^{3}$ + 0,05$^{4}$.

1,05$^{4}$ ≈ 1$^{4}$ + 4 . 1$^{3}$. 0,05 = 1 + 0,2 = 1,2.

Vậy giá trị gần đúng của khai triển của 1,05$^{4}$ là 1,2.

b) Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được: 1,05$^{4}$≈ 1,21550625

Ta có: ∆ ≈ |1,21550625 – 1,2| = 0,01550625

Sai số tuyệt đối là 0,01550625.

Hướng dẫn giải

Áp dụng các công thức khai triển của (a + b)$^{4}$ và (a + b)$^{5}$, ta làm như sau:

a) (x – 3)$^{4}$ = x$^{4}$ + 4 . x$^{3}$. (–3) + 6 . x$^{2}$. (–3)$^{2}$ + 4 . x . (–3)$^{3}$ + (–3)$^{4}$

= x$^{4}$ –12x$^{3}$ + 54x$^{2}$ – 108x + 81.

b) (3x – 2y)$^{4}$ = (3x)$^{4}$ + 4 . (3x)$^{3}$. (– 2y) + 6 . (3x)$^{2}$. (– 2y)$^{2}$ + 4 . (3x) . (– 2y)$^{3}$+ (– 2y)$^{4}$

= 81x$^{4}$ – 216x$^{3}$y + 216x$^{2}$y$^{2}$ – 96xy$^{3}$ + 16y$^{4}$.

c) (x + 5)$^{4}$ + (x – 5)$^{4}$

= (x$^{4}$ + 4x$^{3}$ . 5 + 6x$^{2}$ . 5$^{2}$ + 4x . 5$^{3}$ + 5$^{4}$) + [x$^{4}$ + 4x$^{3}$ . (– 5) + 6x$^{2}$ . (– 5)$^{2}$ + 4x . (– 5)$^{3}$ + (– 5)$^{4}$]

= (x$^{4}$ + x$^{4}$) + (20x$^{3}$ – 20x$^{3}$) + (150x$^{2}$ + 150x$^{2}$) + (500x – 500x) + (625 + 625)

= 2x$^{4}$ + 300x$^{2}$ + 1250.

d) (x – 2y)$^{5}$= x$^{5}$ + 5x$^{4}$. (– 2y) + 10x$^{3}$. (– 2y)$^{2}$ + 10x$^{2}$. (– 2y)$^{3}$ + 5x . (2y)$^{4}$ + (– 2y)$^{5}$

= x$^{5}$ – 10x$^{4}$y + 40x$^{3}$y$^{2}$ – 80x$^{2}$y$^{3}$ + 80xy$^{4}$ – 32y$^{5}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: (3x – 1)$^{5}$ = (3x)$^{5}$ + 5 . (3x)$^{4}$ . (– 1) + 10 . (3x)$^{3}$ . (– 1)$^{2}$ + 10 . (3x)$^{2}$ . (– 1)$^{3}$ + 5 . (3x) . (– 1)$^{4}$ + (– 1)$^{5}$.

Số hạng chứa x$^{4}$ trong khai triển của (3x – 1)$^{5}$ là: 5 . (3x)$^{4}$. (– 1) = – 405x$^{4}$.

Vậy hệ số của x$^{4}$ trong khai triển của (3x – 1)$^{5}$ là: – 405.

Hướng dẫn giải

Ta có: ${\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^5} = {3^5} + {5.3^4}.\sqrt 2 + {10.3^3}.{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + {10.3^2}.{\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + 5.3.{\left( {\sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^5}$

$= {3^5} + {5.3^4}.\sqrt 2 + {10.3^3}.2 + {10.3^2}.2.\sqrt 2 + 5.3.4 + 4\sqrt 2$

${\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^5} = {3^5} + {5.3^4}.\left( { - \sqrt 2 } \right) + {10.3^3}.{\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} + {10.3^2}.{\left( { - \sqrt 2 } \right)^3} + 5.3.{\left( { - \sqrt 2 } \right)^4} + {\left( { - \sqrt 2 } \right)^5}$

$= {3^5} - {5.3^4}.\sqrt 2 + {10.3^3}.2 - {10.3^2}.2.\sqrt 2 + 5.3.4 - 4\sqrt 2$

Suy ra: ${\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^5} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^5}$$= 2\left( {{{5.3}^4}.\sqrt 2 + {{10.3}^2}.2\sqrt 2 + 4\sqrt 2 } \right)$

$= 2.589\sqrt 2 = 1178\sqrt 2$$= 0 + 1178\sqrt 2$.

Vậy biểu diễn ${\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^5} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^5}$ dưới dạng $a + b\sqrt 2$ với a, b là các số nguyên ta được $0 + 1178\sqrt 2$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có khai triển:

(1 + 0,02)$^{5}$ = 1$^{5}$ + 5 . 1$^{4}$ . (0,02) + 10 . 1$^{3}$ . (0,02)$^{2}$ + 10 . 1$^{2}$ . (0,02)$^{3}$+ 5 . 1 . (0,02)$^{4}$ + (0,02)$^{5}$

Do đó: 1,02$^{5}$= (1 + 0,02)$^{5}$≈ 1$^{5}$ + 5 . 1$^{4}$. 0,02 = 1,1.

b) Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được: 1,02$^{5}$ ≈ 1,104080803

Ta có: ∆ ≈ |1,104080803 – 1,1| = 0,004080803

Sai số tuyệt đối là 0,004080803.

Hướng dẫn giải

a) Để tính số dân năm sau, ta lấy số dân năm trước cộng với số dân tăng hằng năm (Số dân tăng hằng năm là r% của số dân năm trước).

Số dân của tỉnh đó sau 1 năm là:

${P_1} = 800 + 800.r\% = 800\left( {1 + r\% } \right) = 800{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^1}$ (nghìn người).

Số dân của tỉnh đó sau 2 năm là:

${P_2} = {P_1} + {P_1}.r\%$$= 800{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^1} + 800{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^1}.\frac{r}{{100}}$$= 800{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^1}\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right) = 800{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^2}$ (nghìn người).

Do đó, công thức tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là: ${P_5} = 800{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^5}$ (nghìn người).

b) Với r = 1,5, suy ra $\frac{r}{{100}} = \frac{{1{,}5}}{{100}} = 0{,}015$.

Ta có khai triển:

(1 + 0,015)$^{5}$ = 1$^{5}$ + 5 . 1$^{4}$ . 0,015 + 10 . 1$^{3}$ . (0,015)$^{2}$ + 10 . 1$^{2}$ . (0,015)$^{3}$ + 5 . 1 . (0,015)$^{4}$ + (0,015)$^{5}$.

Do đó: (1 + 0,015)$^{5}$ ≈ 1$^{5}$ + 5 . 1$^{4}$ . 0,015 = 1,075.

Số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là:

P$_{5}$ = 800 . (1 + 0,015)$^{5}$ ≈ 800 . 1,075 = 860 (nghìn người)

Vậy số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa xấp xỉ khoảng 860 nghìn người.