Bài tập Bài 23. Quy tắc đếm có đáp án

Hướng dẫn giải

Sau khi học bài này, ta sẽ giải quyết được bài toán mở đầu như sau:

Ta thấy có hai trường hợp: độ dài của mật khẩu là 2 hoặc 3 kí tự.

+) Trường hợp 1: độ dài mật khẩu là 2 kí tự. Chọn từng kí tự và áp dụng quy tắc nhân.

Kí tự đầu tiên có 26 cách chọn trong các chữ cái in thường tiếng Anh.

Kí tự thứ hai có 10 cách chọn trong các chữ số từ 0 đến 9.

Vậy, theo quy tắc nhân, ta có 26 . 10 = 260 cách chọn mật khẩu trong trường hợp 1.

+) Trường hợp 2: độ dài mật khẩu là 3 kí tự.

Tương tự như trường hợp 1, ta có 26 . 10$^{2}$ = 2 600 cách chọn mật khẩu.

Vì có hai trường hợp rời nhau, mật khẩu có thể rơi vào một trong hai trường hợp, nên ta áp dụng quy tắc cộng. Tổng số mật khẩu có thể là 260 + 2 600 = 2 860.

Hướng dẫn giải

Bạn An có thể chọn đi tàu hỏa hoặc đi máy bay.

+) Vì có 7 chuyến tàu hỏa mỗi ngày, nên An có thể chọn 1 chuyến bất kì trong 7 chuyến đó để đi. Do đó An có 7 cách chọn tàu hỏa.

+) Vì có 2 chuyến máy nay mỗi ngày, nên An có thể chọn 1 chuyến bất kì trong 2 chuyến đó để đi. Do đó An có 2 cách chọn máy bay.

Vì tàu hỏa và máy bay là khác nhau nên An có 7 + 2 = 9 (cách chọn).

Vậy bạn An có 9 cách chọn chuyến đi.

Hướng dẫn giải

a) Toa ngồi có hai loại vé: ngồi cứng và ngồi mềm nên số loại vé ghế ngồi là 2.

Toa nằm có loại khoang 4 giường và khoang 6 giường.

+ Khoang 4 giường có 2 loại vé: tầng 1 và tầng 2.

+ Khoang 6 giường có 3 loại vé: tầng 1, tầng 2 và tầng 3.

Số loại vé giường nằm là: 2 + 3 = 5.

Vậy có 2 loại vé ghế ngồi và 5 loại vé giường nằm.

b) An chọn loại vé ghế ngồi: có 2 cách chọn.

An chọn loại vé giường nằm: có 5 cách chọn.

Vậy số loại vé để An lựa chọn: 2 + 5 = 7 (cách chọn).

Hướng dẫn giải

Để tìm các số từ 1 đến 30 mà không nguyên tố cùng nhau với 35, ta tìm các số từ 1 đến 30 mà có ước chung lớn nhất với 35 lớn hơn 1.

Phân tích 35 ra thừa số nguyên tố, ta được: 35 = 5 . 7.

Các số là bội của 5 mà lớn hơn 1 và nhỏ hơn hoặc bằng 30 là: 5, 10, 15, 20, 25, 30.

Các số là bội của 7 mà lớn hơn 1 và nhỏ hơn hoặc bằng 30 là: 7, 14, 21, 28.

Các số là bội của 5 hoặc 7 mà lớn hơn 1 và nhỏ hơn hoặc bằng 30 thì đều có ước chung lớn nhất với 35 là lớn hơn 1.

Vậy số các số từ 1 đến 30 mà không nguyên tố cùng nhau với 35 là: 6 + 4 = 10 (số).

Hướng dẫn giải

Để chọn phương tiện đi từ Hà Nội và Quảng Nam, qua Huế, ta phải thực hiện liên tiếp hai công đoạn:

+ Đi từ Hà Nội vào Huế có 3 cách chọn phương tiện (chọn ô tô, hoặc chọn tàu hỏa, hoặc chọn máy bay).

+ Đi từ Huế vào Quảng Nam có 2 cách chọn phương tiện (chọn ô tô hoặc chọn tàu hỏa).

Kết quả ta có các cách chọn phương tiện như sau:

– ô tô → ô tô

– ô tô → tàu hỏa

– tàu hỏa → ô tô

– tàu hỏa → tàu hỏa

– máy bay → ô tô

– máy bay → tàu hỏa

Với mỗi cách đi Hà Nội vào Huế thì có hai cách đi từ Huế vào Quảng Nam.

Vậy số cách chọn phương tiện từ Hà Nội vào Quảng Nam là: 2 + 2 + 2 = 3 . 2 = 6 (cách).

Hướng dẫn giải

Để gắn nhãn mỗi ghế, ta phải thực hiện liên tiếp hai công đoạn:

+ Chọn một chữ cái có 26 cách chọn (bảng chữ cái in hoa tiếng Anh có 26 chữ cái).

+ Chọn một số từ 1 đến 20 có 20 cách chọn.

Do đó, số cách gắn nhãn là: 26 . 20 = 520 (cách).

Vậy có thể gắn nhãn tối đa được 520 ghế.

Hướng dẫn giải

Trong một bảng có 4 đội thi đấu, mỗi đội sẽ gặp 3 đội còn lại.

Chẳng hạn ta có 4 đội A, B, C, D.

+ Đội A gặp 3 đội còn lại, ta có 3 trận đấu: AB, AC, AD.

+ Đội B đã gặp đội A ở trên rồi nên ta không tính nữa, do đó có thêm 2 trận đấu của đội B với 2 đội còn lại: BC, BD.

+ Cuối cùng, có thêm 1 trận đấu giữa đội C và D.

Do đó, mỗi bảng có 3 + 2 + 1 = 6 (trận đấu).

Có tất cả 8 bảng nên số trận đấu của vòng bảng là: 8 . 6 = 48 (trận).

Vậy tổng cộng vòng bảng có 48 trận đấu.

Hướng dẫn giải

a) Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: $\overline {abc}$, với a, b, c thuộc tập hợp số A = {0; 1; 2; 3} (a ≠ 0, a ≠ b ≠ c).

Để lập số tự nhiên có ba chữ số khác nhau trên, ta cần thực hiện liên tiếp 3 công đoạn:

+ Chọn số a: có 3 cách chọn, do a ≠ 0, chọn 1, hoặc 2 hoặc 3.

+ Chọn b có: 3 cách chọn từ tập A\{a}, do b ≠ a.

+ Chọn c có: 2 cách từ tập A\{a; b}, do c ≠ b ≠ a.

Vậy theo quy tắc nhân, số các số thỏa mãn bài toán là: 3 . 3 . 2 = 18 (số).

b) Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: $\overline {abc}$, với a, b, c thuộc tập hợp số A = {0; 1; 2; 3}, (a ≠ 0, a ≠ b ≠ c).

Để $\overline {abc}$ là số chẵn thì c ∈ {0; 2}.

+ Trường hợp 1: c = 0.

Chọn a có 3 cách (do a ≠ 0 nên chọn 1, hoặc 2, hoặc 3), chọn b có 2 cách chọn từ tập A\{a; c} (do a ≠ b ≠ c)

Do đó, số các số lập được ở trường hợp này là: 3 . 2 = 6 (số).

+ Trường hợp 2: c = 2.

Chọn a có 2 cách chọn (do a ≠ 0 và a ≠ c nên chọn 1 hoặc chọn 3).

Chọn b có 2 cách chọn từ tập A\{a; c} (do a ≠ b ≠ c).

Do đó, số các số lập được ở trường hợp này là: 2 . 2 = 4 (số).

Vì các trường hợp rời nhau nên theo quy tắc cộng, số các số chẵn có 3 chữ số khác nhau lập được là: 6 + 4 = 10 (số).

Hướng dẫn giải

Để chọn được 4 bạn lập thành đội cờ đỏ sao cho có đủ đại diện của các lớp, ta thấy có 3 trường hợp như sau:

+ Trường hợp 1: Thực hiện 3 công đoạn – chọn 2 bạn lớp 10A, 1 bạn 10B, 1 bạn 10C.

– Chọn 2 bạn của lớp 10A, vì vai trò hai bạn như nhau nên số cách chọn là: 30 . 29 : 2 = 435 cách chọn.

– Chọn 1 bạn của lớp 10B có 35 cách chọn.

– Chọn 1 bạn của lớp 10C có 32 cách chọn.

Do đó, số cách chọn là: 435 . 35 . 32 = 487 200 (cách chọn).

+ Trường hợp 2: Thực hiện 3 công đoạn – chọn 1 bạn lớp 10A, 2 bạn 10B, 1 bạn 10C.

– Chọn 1 bạn của lớp 10A có 30 cách chọn.

– Chọn 2 bạn của lớp 10B, vì vai trò hai bạn như nhau nên số cách chọn là: 35 . 34 : 2 = 595 cách chọn.

– Chọn 1 bạn của lớp 10C có 32 cách chọn.

Do đó, số cách chọn là: 30 . 595 . 32 = 571 200 (cách chọn).

+ Trường hợp 3: Thực hiện 3 công đoạn – chọn 1 bạn lớp 10A, 1 bạn 10B, 2 bạn 10C.

– Chọn 1 bạn của lớp 10A có 30 cách chọn.

– Chọn 1 bạn của lớp 10B có 35 cách chọn.

– Chọn 2 bạn của lớp 10C, vì vai trò hai bạn như nhau nên số cách chọn là: 32 . 31 : 2 = 496 cách chọn.

Do đó, số cách chọn là: 30 . 35 . 496 = 520 800 (cách chọn).

Vì các trường hợp là rời nhau nên ta áp dụng quy tắc cộng, vậy số cách chọn 4 bạn để thành lập đội cờ đỏ là: 487 200 + 571 200 + 520 800 = 1 579 200 (cách chọn).

Hướng dẫn giải

Theo bài ra, ta vẽ được sơ đồ hình cây như sau:

Số cách chọn một cuốn để đọc là: 8 + 7 + 5 = 20 (cách).

Vậy bạn Phong có 20 cách chọn một cuốn để đọc vào ngày cuối tuần.

Hướng dẫn giải

Người đó gieo một đồng xu 3 lần liên tiếp:

+ Gieo lần 1 thì có thể xuất hiện mặt sấp hoặc ngửa nên số khả năng xảy ra là: 2.

+ Gieo lần 2 tương tự lần 1, số khả năng xảy ra là: 2.

+ Gieo lần 3 tương tự như trên, số khả năng xảy ra là: 2.

Vậy nếu người đó gieo 3 lần, số khả năng xảy ra là: 2 . 2 . 2 = 8.

Hướng dẫn giải

a) Sự tổ hợp giữa hai gene trội A và gene lặn a tạo 3 kiểu gene. Đó là các kiểu gene: AA, Aa, aa.

b) Khi giao phối ngẫu nhiên thì cứ lấy 2 gene bất kì (có thể trùng nhau) trong 3 kiểu gene AA, Aa, aa sẽ kết hợp với nhau.

Suy ra có các kiểu: AA × AA; AA × Aa; AA × aa; Aa × Aa; Aa × aa; aa × aa.

Vậy có 6 kiểu giao phối khác nhau từ các kiểu gene đó.

Hướng dẫn giải

a) Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: $\overline {abc}$, với a, b, c thuộc tập hợp số A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, (a ≠ 0, a ≠ b ≠ c).

Để lập số này, ta thực hiện ba công đoạn liên tiếp:

+ Chọn số a có 9 cách, do a ≠ 0.

+ Chọn b có 9 cách từ tập A\{a}.

+ Chọn c có 8 cách từ tập A\{a; b}.

Vậy số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau là: 9 . 9 . 8 = 648 (số).

b) Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: $\overline {abc}$, với a, b, c thuộc tập hợp số A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, (a ≠ 0, a ≠ b ≠ c).

Để $\overline {abc}$ là số lẻ thì c thuộc tập hợp {1; 3; 5; 7; 9},

+ Chọn c có 5 cách từ tập {1; 3; 5; 7; 9}.

+ Chọn a có 8 cách từ tập A\{c; 0}.

+ Chọn b có 8 cách từ tập A\{c; a}.

Vậy số các số tự nhiên là số lẻ có 3 chữ số khác nhau là: 5 . 8 . 8 = 320 (số).

c) Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: $\overline {abc}$, với a, b, c thuộc tập hợp số A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, (a ≠ 0).

Để $\overline {abc}$chia hết cho 5 thì c thuộc tập hợp {0; 5}.

+ Chọn c có 2 cách từ tập {0; 5}.

+ Chọn a có 9 cách từ tập A\{0}.

+ Chọn b có 10 cách từ tập A.

Vậy số các số tự nhiên có 3 chữ số mà chia hết cho 5 là: 2 . 9 . 10 = 180 (số).

d) Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: $\overline {abc}$, với a, b, c thuộc tập hợp số A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, (a ≠ 0, a ≠ b ≠ c).

Để $\overline {abc}$ chia hết cho 5 thì c thuộc tập hợp {0; 5}.

+ Trường hợp 1: Nếu c = 0 thì: chọn a có 9 cách, chọn b có 8 cách.

Do đó, số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau mà tận cùng là 0 là: 9 . 8 = 72 (số).

+ Trường hợp 2: Nếu c = 5 thì: chọn a có 8 cách (do a ≠ 0 và a ≠ c), chọn b có 8 cách (do a ≠ b ≠ c).

Do đó, số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau mà tận cùng là 5 là: 8 . 8 = 64 (số).

Vì hai trường hợp rời nhau nên ta áp dụng quy tắc cộng, vậy số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau mà chia hết cho 5 là: 72 + 64 = 136 (số).

Hướng dẫn giải

a) Để lập một mật khẩu chương trình máy tính, ta cần thực hiện ba công đoạn liên tiếp:

+ Chọn kí tự thứ nhất: có 10 cách chọn (chọn 1 chữ số trong 10 chữ số từ 0 đến 9).

+ Chọn kí tự thứ hai: tương tự kí tự thứ nhất, có 10 cách chọn.

+ Chọn kí tự thứ ba: tương tự trên, có 10 cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân, có thể tạo được số mật khẩu là: 10 . 10 . 10 = 1 000 (mật khẩu).

b) Để lập một mật khẩu chương trình máy tính theo quy định mới, ta cần thực hiện ba công đoạn liên tiếp:

+ Chọn kí tự thứ nhất từ tập 26 chữ từ A đến Z: có 26 cách chọn.

+ Chọn kí tự thứ hai là chữ số: có 10 cách chọn.

+ Chọn kí tự thứ ba là chữ số: có 10 cách chọn.

Do đó, theo quy tắc nhân, số cách tạo mật khẩu mới là: 26 . 10 . 10 = 2 600 (mật khẩu).

Vậy có thể tạo được nhiều hơn quy định cũ số mật khẩu là: 2 600 – 1 000 = 1 600 (mật khẩu).