Bài tập Bài 2. Xác suất của biến cố có đáp án

Sau khi học xong bài 2. Xác suất của biến cố, ta sẽ giải bài này như sau:

Khi lấy ra ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi từ một hộp có chứa 5 bi xanh và 5 bi đỏ có cùng kích thước và trọng lượng, ta có = 45 cách.

⇒ n(Ω) = 45.

Gọi A là biến cố: “Lấy được hai viên bi cùng màu”.

Khi đó ta lấy được 2 viên bi xanh hoặc lấy được 2 viên bi đỏ.

Lấy được 2 viên bi xanh có: ${C}_{10}^{2}$ = 10 cách.

Lấy được 2 viên bi đỏ có: ${C}_{5}^{2}$ = 10 cách.

Theo quy tắc cộng, ta có ${C}_{5}^{2}$ + ${C}_{5}^{2}$ = 10 + 10 = 20 cách lấy hai viên bi cùng màu.

⇒ Số khả năng thuận lợi cho A là: n(A) = 20.

⇒ Xác suất của biến cố A là: P(A) = $\frac{n(A)}{n(Ω)}=\frac{20}{45}=\frac{4}{9}$.

Gọi B là biến cố “Lấy được hai viên bi khác màu”.

Khi đó ta lấy được 1 viên bi màu xanh và 1 viên bi màu đỏ.

Lấy 1 viên bi màu xanh có ${C}_{5}^{1}$ = 5 cách

Lấy 1 viên bi màu đỏ có ${C}_{5}^{1}$ = 5 cách

Theo quy tắc nhân, ta có ${C}_{5}^{1}.{C}_{5}^{1}$ = 5.5 = 25 cách lấy hai viên bi khác màu.

⇒ Số khả năng thuận lợi cho B là: n(B) = 25.

⇒ Xác suất của biến cố B là: P(B) = $\frac{n(B)}{n(Ω)}=\frac{25}{45}=\frac{4}{9}$

Ta có: $\frac{4}{9}$< $\frac{5}{9}$ ⇒ P(A) < P(B)

⇒ Biến cố lấy được hai viên bi khác màu có khả năng xảy ra cao hơn.

Vậy biến cố lấy được hai viên bi khác màu có khả năng xảy ra cao hơn.

Xúc xắc cân đối và đồng chất nên khi gieo thì ta có các kết quả có thể là: 1; 2; 3; 4; 5; 6 chấm xuất hiện.

⇒ Không gian mẫu của phép thử trên là: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là:

A = {2; 4; 6} ⇒ Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố A.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố B là:

B = {1; 3; 5} ⇒ Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố B.

Vì vậy khả năng xảy ra của hai biến cố là như nhau.

Kết quả của phép thử là cặp số (i;j), trong đó i và j lần lượt là số chấm xuất hiện trên con xúc xắc thứ nhất và thứ hai.

Không gian mẫu là:

Ω = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5); (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6)}.

Khi đó, số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 36

a) Gọi A là biến cố “Hai mặt xuất hiện cùng số chấm”.

Ta có A = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)}

⇒ Số các kết quả thuận lợi cho A là n(A) = 6. Do đó, xác suất của biến cố A là:

P(A) = .

Vậy xác suất của các biến cố “Hai mặt xuất hiện có cùng số chấm” là $\frac{1}{6}$.

b) Gọi B là biến cố “Tổng số chấm trên hai mặt xuất hiện bằng 9”.

Ta có: B = {(6; 3), (5; 4), (3; 6), (4; 5)}.

⇒ Số các kết quả thuận lợi cho B là n(B) = 4.

Do đó, xác suất của biến cố B là: P(B) = $\frac{n(B)}{n(Ω)}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$.

Vậy xác suất của biến cố “Tổng số chấm trên hai mặt xuất hiện bằng 9” là $\frac{1}{9}$.

Khi lấy ra ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi từ một hộp có chứa 5 bi xanh và 5 bi đỏ có cùng kích thước và trọng lượng, ta có 45 cách.

⇒ n(Ω) = 45.

Gọi A là biến cố: “Lấy được hai viên bi cùng màu”.

Khi đó ta lấy được 2 viên bi xanh hoặc lấy được 2 viên bi đỏ.

Lấy được 2 viên bi xanh có: ${C}_{10}^{2}$ = 10 cách.

Lấy được 2 viên bi đỏ có: ${C}_{5}^{2}$ = 10 cách.

Theo quy tắc cộng, ta có ${C}_{5}^{2}$ + ${C}_{5}^{2}$ = 10 + 10 = 20 cách lấy hai viên bi cùng màu.

⇒ Số khả năng thuận lợi cho A là: n(A) = 20.

⇒ Xác suất của biến cố A là: P(A) =$\frac{n(A)}{n(Ω)}=\frac{20}{45}=\frac{4}{9}$.

Gọi B là biến cố “Lấy được hai viên bi khác màu”.

Khi đó ta lấy được 1 viên bi màu xanh và 1 viên bi màu đỏ.

Lấy 1 viên bi màu xanh có ${C}_{5}^{1}$ = 5 cách

Lấy 1 viên bi màu đỏ có ${C}_{5}^{1}$ = 5 cách

Theo quy tắc nhân, ta có ${C}_{5}^{1}.{C}_{5}^{1}$= 5.5 = 25 cách lấy hai viên bi khác màu.

⇒ Số khả năng thuận lợi cho B là: n(B) = 25.

⇒ Xác suất của biến cố B là: P(B) = $\frac{n(B)}{n(Ω)}=\frac{25}{45}=\frac{5}{9}$

Ta có: $\frac{4}{9}$ < $\frac{5}{9}$⇒ P(A) < P(B)

⇒ Biến cố lấy được hai viên bi khác màu có khả năng xảy ra cao hơn.

Vậy biến cố lấy được hai viên bi khác màu có khả năng xảy ra cao hơn.

Gọi A là biến cố “Không bạn nào lấy đúng thẻ của mình”.

Các kết quả có thể xảy ra được thể hiện ở sơ đồ sau:

Theo sơ đồ ta có:

Có tất cả 6 kết quả có thể xảy ra nên n($Ω$) = 6.

Trong đó có 2 kết quả thuận lợi cho A nên n(A) = 2.

Khi đó xác suất xảy ra biến cố A là: Do đó P(A) =$\frac{n(A)}{n(Ω)}$ $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

Vậy xác suất của biến cố “Không bạn nào lấy đúng thẻ của mình” là $\frac{1}{3}$.

Số kết quả chọn ngẫu nhiên 3 thẻ từ 10 thẻ là: ${C}_{10}^{3}$.

Do đó n($Ω$) = ${C}_{10}^{3}$ = 120.

Gọi A là biến cố: “Tích các số ghi trên 3 thẻ đó là số chẵn”.

Tích các số ghi trên ba thẻ đó là một số chẵn, khi trong 3 thẻ có ít nhất 1 thẻ mang số chẵn.

+) TH1: Có 1 thẻ mang số chẵn, 2 thẻ còn lại là số lẻ

Chọn 1 thẻ mang số chẵn có ${C}_{5}^{1}$ kết quả.

2 thẻ còn lại mang số lẻ ta có: ${C}_{5}^{2}$ kết quả.

Suy ra có ${C}_{5}^{1}.{C}_{5}^{2}$ cách chọn 3 thẻ trong đó có 1 thẻ là số chẵn.

+) TH2: Có 2 thẻ mang số chẵn,1 thẻ mang số lẻ

Chọn 2 thẻ mang số chẵn có ${C}_{5}^{2}$ kết quả.

1 thẻ mang số lẻ: ${C}_{5}^{1}$ kết quả.

Suy ra có ${C}_{5}^{1}.{C}_{5}^{2}$ cách chọn 3 thẻ trong đó có 2 thẻ là số chẵn và 1 thẻ mang số lẻ.

+) TH3: Có 3 thẻ mang số chẵn

Chọn 3 thẻ mang số chẵn có ${C}_{5}^{3}$ kết quả.

Áp dụng quy tắc cộng có ${C}_{5}^{1}.{C}_{5}^{2}+{C}_{5}^{2}.{C}_{5}^{1}+{C}_{5}^{3}$ = 110 kết quả.

Suy ra n(A) = 110

Vậy xác suất để xảy ra biến cố A là P(A) = $\frac{n(A)}{n(Ω)}=\frac{110}{120}=\frac{11}{12}$ .

Khi gieo đồng thời 3 con xúc xắc thì mỗi con xúc xắc có thể xuất hiện một trong 6 mặt từ mặt 1 chấm đến 6 chấm.

Khi đó số kết quả có thể xảy ra của phép thử là: n(Ω) = 6$^{3}$ = 216.

a) Gọi A là biến cố “Tích các số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3”

⇒ Biến cố đối của biến cố A là $\overline{A}$: “Tích các số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc không chia hết cho 3”.

Để tích của số chấm trên ba con xúc xắc không chia hết cho 3 thì khi kết quả không xuất hiện mặt 3 chấm và 6 chấm.

Tức là số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc phải là {1; 2; 4; 5}.

⇒ Số kết quả thuận lợi cho $\overline{A}$ là: n($\overline{A}$) = 4$^{3}$ = 64.

⇒ P($\overline{A}$) =$\frac{n(\overline{A})}{n(Ω)}=\frac{64}{216}=\frac{8}{27}$

⇒ Xác suất của biến cố A là: P(A) = 1 – P($\overline{A}$) = 1 – $\frac{8}{27}=\frac{19}{27}$.

Vậy xác suất biến cố “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3” là $\frac{19}{27}$.

b) Gọi B là biến cố “Tổng các số chấm xuất hiện trên mặt ba con xúc xắc lớn 4”.

⇒ Biến cố đối của biến cố B là $\overline{B}$: “Tổng các số chấm xuất hiện trên mặt ba con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 4”.

Vì xúc xắc có số chấm nhỏ nhất là 1 nên tổng số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc phải lớn hơn hoặc bằng 3.

Ta có: 3 = 1 + 1 + 1; 4 = 1 + 1 + 2 = 1 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1

⇒ Có 4 kết quả để tung ba con xúc xắc cho tổng nhỏ hơn hoặc bằng 4 ⇒ n($\overline{B}$) = 4

⇒ P($\overline{B}$) =$\frac{n(\overline{B})}{n(Ω)}=\frac{4}{216}=\frac{1}{54}.$

⇒ Xác xuất của biến cố B là: P(B) = 1 – P($\overline{B}$) = 1 – $\frac{1}{54}$ = $\frac{53}{54}$.

Vậy xác suất của biến cố: “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc lớn hơn 4” là $\frac{53}{54}$.

a) Ta có tổng số bi gồm 3 bi xanh, 4 bi đỏ và 5 bi vàng là 3 + 4 + 5 = 12 viên bi.

Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi trong tổng số 12 viên bi có ${C}_{12}^{4}$ = 495 cách.

⇒ Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 495.

Gọi A là biến cố “Không lấy được bi xanh nào”. Khi đó, số bi lấy ra chỉ có bi đỏ và vàng.

Tức là lấy 4 viên bi từ 9 viên bi (4 bi đỏ và 5 bi vàng), ta có ${C}_{9}^{4}$ = 126 cách.

⇒ n(A) = 126.

⇒ Xác suất để xảy ra biến cố A là: P(A) = $\frac{n(A)}{n(Ω)}=\frac{126}{495}=\frac{14}{55}$.

Biến cố $\overline{A}$: “Trong 4 bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh” là biến cố đối của biến cố A.

Khi đó, xác suất để xảy ra biến cố “Trong 4 bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh là”:

P($\overline{A}$) = 1 – P(A) = 1 – $\frac{14}{55}$ =$\frac{41}{55}$

Vậy xác suất để trong 4 bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh là $\frac{41}{55}$.

b) Gọi B là biến cố “Lấy được ít nhất 2 bi đỏ”.

⇒ Biến cố đối của biến cố B là $\overline{B}$: “Lấy được 1 viên bi đỏ hoặc không lấy được viên bi đỏ nào”.

- Lấy được 1 viên bi đỏ còn 3 viên bi là xanh hoặc vàng, ta có: ${C}_{4}^{1}.{C}_{8}^{3}$ = 224 cách.

- Không lấy được viên bi màu đỏ nào, tức là lấy được 4 viên bi trong 8 viên bi xanh và vàng, ta có: ${C}_{8}^{4}$ = 70 cách.

Theo quy tắc cộng ta có số cách để lấy được 1 viên bi đỏ hoặc không lấy được viên bi đỏ nào là 224 + 70 = 294.

⇒ n($\overline{B}$) = 294

⇒ P($\overline{B}$) = $\frac{n(\overline{B})}{n(Ω)}=\frac{294}{495}$.

⇒ P(B) = 1 – P($\overline{B}$) = 1 – $\frac{294}{495}=\frac{201}{495}=\frac{67}{165}$.

Vậy xác suất để trong 4 bi lấy ra có ít nhất 2 bi đỏ là: $\frac{67}{165}$.

Vì trong một thùng 10 kg gạo tẻ chỉ có 1 hạt gạo nếp, nghĩa là trong vô số hạt gạo tẻ chỉ có 1 hạt gạo nếp.

Vì vậy, xác suất của biến cố “ Hạt gạo lấy ra là gạo nếp” rất nhỏ, gần như bằng 0.

Vậy hạt gạo lấy ra là gạo tẻ.

a) Gọi A là biến cố “Xuất hiện ba mặt sấp”.

Biến cố A không xảy ra khi không xuất hiện ba mặt sấp, nghĩa là xuất hiện ít nhất một mặt ngửa.

Do đó, biến cố đối của biến cố A là $\overline{A}$: “Xuất hiện ít nhất một mặt ngửa”.

Khi tung một đồng xu cân đối và đồng chất thì có 2 khả năng có thể là xuất hiện mặt sấp (S) hoặc xuất hiện mặt ngửa (N).

Khi đó tung ba đồng xu cân đối và đồng chất thì có 2.2.2 = 8 khả năng.

⇒ Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 8.

A là biến cố “Xuất hiện ba mặt sấp” ⇒ A = {SSS} ⇒ n(A) = 1.

⇒ P(A) = $\frac{1}{8}$.

⇒ P($\overline{A}$) = 1 – P(A) = 1 – $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$.

Vậy xác suất của biến cố: “Xuất hiện ba mặt sấp” là $\overline{A}$; xác suất của biến cố: “Xuất hiện ít nhất một mặt ngửa” là $\frac{7}{8}$.

b) Gọi B là biến cố “Xuất hiện ít nhất một mặt sấp”.

⇒ Biến cố đối của biến cố B là “Xuất hiện ba mặt ngửa”, tức là $\overline{B}$: “Xuất hiện ba mặt ngửa”.

Ta có: $\overline{B}$= {NNN} ⇒ n($\overline{B}$) = 1⇒ P($\overline{B}$) =$\frac{n(\overline{B})}{n(Ω)}$ = $\frac{1}{8}$.

⇒ P(B) = 1 – P($\overline{B}$) = 1 – $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$.

Vậy xác suất của biến cố “Xuất hiện ít nhất một mặt sấp” là $\frac{1}{8}$; xác suất của biến cố “Xuất hiện ba mặt ngửa” là $\frac{7}{8}$;

Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất thì có 6 kết quả có thể.

Khi đó, gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất thì có 6.6 = 36 kết quả có thể.

⇒ Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 6. 6 = 36.

a) Gọi A là biến cố “Tổng số chấm nhỏ hơn 10”.

⇒ Biến cố đối của biến cố A là $\overline{A}$: “Tổng số chấm lớn hơn hoặc bằng 10”.

⇒ $\overline{A}$ = {(4; 6), (5; 5), (5; 6), (6; 4), (6; 5), (6; 6)}

⇒ n($\overline{A}$) = 6 ⇒ P($\overline{A}$) = $\frac{n(\overline{A})}{n(Ω)}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.

⇒ Xác suất xảy ra biến cố A là: P(A) = 1 – P($\overline{A}$) = 1 – $\frac{1}{6}$= $\frac{5}{6}$.

Vậy xác suất xảy ra biến cố “Tổng số chấm nhỏ hơn 10” là $\frac{5}{6}$.

b) Gọi B là biến cố “Tích số chấm xuất hiện chia hết cho 3”.

⇒ Biến cố đối của biến cố B là $\overline{B}$ “Tích số chấm xuất hiện không chia hết cho ba”.

Để tích số chấm không chia hết cho ba thì kết quả sau khi gieo xúc xắc không được xuất hiện mặt 3 và 6.

Khi đó, số chấm của hai con xúc xắc phải thuộc: {1; 2; 4; 5}.

⇒ Số phần tử thuận lợi cho biến cố $\overline{B}$ là: n($\overline{B}$) = 4$^{2}$ = 16

⇒ P($\overline{B}$) = $\frac{n(\overline{B})}{n(Ω)}=\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$

⇒ Xác suất của biến cố B là: P(B) = 1 – P( $\overline{B}$) = 1 – $\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$.

Vậy xác suất của biến cố “Tích số chấm xuất hiện chia hết cho 3” là $\frac{5}{9}$.

a) Các kết quả có thể xảy ra khi lần lượt lấy ra ngẫu nhiên từ mỗi hộp một tấm thẻ được thể hiện ở sơ đồ cây sau:

Vậy có tất cả 6 kết quả có thể xảy ra là: Ω = {xanh - xanh, xanh - đỏ, đỏ - xanh, đỏ - đỏ, vàng - xanh, vàng - đỏ}.

b) Gọi A là biến cố “Trong hai thẻ lấy ra có ít nhất một thẻ màu đỏ”.

Khi đó, các kết quả thuận lợi cho A là xanh - đỏ, đỏ - xanh, đỏ - đỏ, vàng - đỏ.

⇒ A = {xanh - đỏ, đỏ - xanh, đỏ - đỏ, vàng - đỏ}

⇒ n(A) = 4

⇒ P(A) =$\frac{n(A)}{n(Ω)}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

Vậy xác suất của biến cố “Trong hai thẻ lấy ra có ít nhất một thẻ đỏ” là $\frac{2}{3}$

Vì biến cố “Lấy được hai quả bóng cùng màu” là biến cố đối của biến cố “Lấy được hai quả bóng khác màu”.

Do đó, xác xuất để hai quả bóng lấy ra cùng màu là: 1 – 0, 6 = 0,4.

Vậy xác xuất để hai quả bóng lấy ra cùng màu là 0,4.

a) Năm bạn Nhân, Lễ, Nghĩa, Trí và Tín xếp hàng một cách ngẫu nhiên thành một hàng ngang, ta có 5! = 120 cách xếp.

⇒ Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 120.

Gọi A là biến cố “Nhân và Tín đứng cạnh nhau”.

Coi Nhân và Tín là một nhóm thì có 2! cách sắp xếp hai bạn này trong nhóm. Xếp nhóm Nhân và Tín với 3 người còn lại thì có 4! cách sắp xếp.

Theo quy tắc nhân ta có 2!. 4! = 48 cách xếp sao cho Nhân và Tín đứng cạnh nhau.

⇒ Số các kết quả thuận lợi cho A là: n(A) = 2!. 4! = 48.

⇒ Xác suất của biến cố A là: P(A) = $\frac{n(A)}{n(Ω)}=\frac{48}{120}=\frac{2}{5}$.

Mặt khác, biến cố $\overline{A}$ :“Nhân và Tín không đứng cạnh nhau” và biến cố A :“Nhân và Tín đứng cạnh nhau” là hai biến cố đối nhau.

⇒ Xác suất của biến cố “Nhân và Tín không đứng cạnh nhau” là:

P($\overline{A}$) = 1 – P(A) = 1 – $\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$.

Vậy xác suất của biến cố “Nhân và Tín không đứng cạnh nhau” là $\frac{3}{5}$.

b) Gọi B là biến cố “Trí đứng ở đầu hàng”.

Khi đó biến cố đối của B là $\overline{B}$ : “Trí không đứng ở đầu hàng”.

Khi Trí đứng ở đầu hàng (có thể là đầu hàng bên trái hoặc đầu hàng bên phải), ta có 2 cách sắp xếp Trí và 4! cách sắp xếp 4 người còn lại.

Theo quy tắc nhân ta có 2. 4! = 48 cách xếp sao cho Trí đứng ở đầu hàng.

⇒ n(B) = 48.

⇒ P(B) = $\frac{n(B)}{n(Ω)}=\frac{48}{120}=\frac{2}{5}$.

⇒ P($\overline{B}$) = 1 – P(B) = 1 – $\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$.

Vậy, xác suất của biến cố “Trí không đứng ở đầu hàng” là $\frac{3}{5}$.