Bài tập Bài 18. Phương trình quy về phương trình bậc hai có đáp án

Hướng dẫn giải

a) Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {{x^2} - 3x + 2} = \sqrt { - {x^2} - 2x + 2}$ ta được:

x$^{2}$ – 3x + 2 = – x$^{2}$ – 2x + 2 (1)

Giải phương trình trên ta có:

(1) ⇔ 2x$^{2}$ – x = 0

⇔ x(2x – 1) = 0

⇔ x = 0 hoặc 2x – 1 = 0

⇔ x = 0 hoặc x = $\frac{1}{2}$

b) Thử lại ta có:

+ Với x = 0, thay vào phương trình đã cho ta được:

$\sqrt {{0^2} - 3.0 + 2} = \sqrt { - {0^2} - 2.0 + 2}$$\Leftrightarrow \sqrt 2 = \sqrt 2$ (luôn đúng).

+ Với x = $\frac{1}{2}$, thay vào phương trình đã cho ta được:

$\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} - 3.\frac{1}{2} + 2} = \sqrt { - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} - 2.\frac{1}{2} + 2}$$\Leftrightarrow \sqrt {\frac{3}{4}} = \sqrt {\frac{3}{4}}$ (luôn đúng)

Vậy các giá trị x tìm được ở câu a thỏa mãn phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt {3{x^2} - 6x + 1} = \sqrt { - 2{x^2} - 9x + 1}$

Bình phương hai vế của phương trình trên ta được,

3x$^{2}$ – 6x + 1 = –2x$^{2}$ – 9x + 1.

Thu gọn phương trình trên ta được: 5x$^{2}$ + 3x = 0 ⇔ x(5x + 3) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = $- \frac{3}{5}$.

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị x = 0 và x = $- \frac{3}{5}$ đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = $\left\{ {0;\, - \frac{3}{5}} \right\}$.

b) $\sqrt {2{x^2} - 3x - 5} = \sqrt {{x^2} - 7}$

Bình phương hai vế của phương trình trên ta được,

2x$^{2}$ – 3x – 5 = x$^{2}$ – 7.

Thu gọn ta được: x$^{2}$ – 3x + 2 = 0.

Giải phương trình bậc hai x$^{2}$ – 3x + 2 = 0 tìm được x = 1 hoặc x = 2.

Thay lần lượt giá trị của x vào phương trình đã cho, ta thấy không có giá trị nào của x thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

a) Bình phương hai vế của phương trình đã cho ta được:

26x$^{2}$ – 63x + 38 = 25x$^{2}$ – 60x + 36 (1).

Giải phương trình (1).

Ta có: (1) ⇔ x$^{2}$ – 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 2.

b) Thử lại

+ Với x = 1 thay vào phương trình đã cho ta được: $\sqrt {{{26.1}^2} - 63.1 + 38} = 5.1 - 6$

$\Leftrightarrow \sqrt 1 = --1$ (vô lí).

+ Với x = 2 thay vào phương trình đã cho ta được: $\sqrt {{{26.2}^2} - 63.2 + 38} = 5.2 - 6$

$\Leftrightarrow \sqrt {16} = 4$⇔ 4 = 4 (luôn đúng)

Vậy giá trị x = 2 thỏa mãn phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt {2{x^2} + x + 3} = 1 - x$

Bình phương hai vế của phương trình ta được

2x$^{2}$ + x + 3 = 1 – 2x + x$^{2}$.

Thu gọn ta được: x$^{2}$ + 3x + 2 = 0 ⇔ x$^{2}$ + x + 2x + 2 = 0 ⇔ x(x + 1) + 2(x + 1) = 0

⇔ (x + 1)(x + 2) = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = – 2.

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị x = – 1 và x = – 2 đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {– 1; – 2}.

b) $\sqrt {3{x^2} - 13x + 14} = x - 3$

Bình phương hai vế của phương trình ta được

3x$^{2}$ – 13x + 14 = x$^{2}$ – 6x + 9.

Thu gọn ta được: 2x$^{2}$ – 7x + 5 = 0.

Giải phương trình bậc hai này ta được x = 1 hoặc x = $\frac{5}{2}$.

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị đều không thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Hướng dẫn

Ta mô hình hóa bài toán như trong Hình 6.20: Trạm hải đăng ở vị trí A; bến Bính ở B và thôn Hoành ở C.

Giả sử bác Việt chèo thuyền cập bến ở vị trí M và ta đặt BM = x (km) (x > 0). Để hai người không phải chờ nhau thì thời gian chèo thuyền bằng thời gian kéo xe nên ta có phương trình:

$\frac{{\sqrt {{x^2} + 16} }}{4} = \frac{{9{,}25 - x}}{5}$.

Giải phương trình này sẽ tìm được vị trí hai người dự định gặp nhau.

Hướng dẫn giải

Ta mô hình hóa bài toán như trong Hình 6.20: Trạm hải đăng ở vị trí A; bến Bính ở B và thôn Hoành ở C.

Giả sử bác Việt chèo thuyền cập bến ở vị trí M và ta đặt BM = x (km) (x > 0).

Ta có: BC = BM + MC ⇔ MC = BC – BM = 9,25 – x (km) hay quãng đường của anh Nam từ thôn Hoành đến điểm gặp nhau của 2 người là 9,25 – x (km).

Vận tốc của anh Nam là 5 km/h nên thời gian di chuyển của anh Nam đến điểm hẹn gặp nhau là: $\frac{{9{,}25 - x}}{5}$ (giờ).

Tam giác ABC vuông tại B, theo định lí Pythagore ta có:

AM$^{2}$ = AB$^{2}$ + BM$^{2}$ = 4$^{2}$ + x$^{2}$ = x$^{2}$ + 16

Suy ra AM = $\sqrt {{x^2} + 16}$ (km) hay quãng đường di chuyển của bác Việt đến điểm hẹn là $\sqrt {{x^2} + 16}$ (km).

Vận tốc của bác Việt là 4 km/h nên thời gian di chuyển của bác Việt tới điểm hẹn gặp nhau là: $\frac{{\sqrt {{x^2} + 16} }}{4}$ (giờ).

Để hai người không phải chờ nhau thì thời gian chèo thuyền bằng thời gian kéo xe nên ta có phương trình:

$\frac{{\sqrt {{x^2} + 16} }}{4} = \frac{{9{,}25 - x}}{5}$ (1).

Giải phương trình trên ta có:

(1) $\Leftrightarrow 5\sqrt {{x^2} + 16} = 37 - 4x$

Bình phương hai vế phương trình trên ta được:

25(x$^{2}$ + 16) = 1369 – 296x + 16x$^{2}$

⇔ 9x$^{2}$ + 296x – 969 = 0

⇔ x = 3 hoặc x = $- \frac{{323}}{9}$

Thử lại ta thấy cả hai giá trị x = 3 và x = $- \frac{{323}}{9}$ đều thỏa mãn phương trình (1).

Mà điều kiện của x là x > 0 nên ta chọn x = 3.

Vậy vị trí hai người hẹn gặp nhau cách bến Bính 3 km hay cách thôn Hoành 6,25 km.

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt {3{x^2} - 4x - 1} = \sqrt {2{x^2} - 4x + 3}$

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

3x$^{2}$ – 4x – 1 = 2x$^{2}$ – 4x + 3

⇔ x$^{2}$ – 4 = 0

⇔ x$^{2}$ = 4

⇔ x = 2 hoặc x = – 2.

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị x = 2 và x = – 2 thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {– 2; 2}.

b) $\sqrt {{x^2} + 2x - 3} = \sqrt { - 2{x^2} + 5}$

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

x$^{2}$ + 2x – 3 = – 2x$^{2}$ + 5

⇔ 3x$^{2}$ + 2x – 8 = 0

⇔ x = – 2 hoặc x = $\frac{4}{3}$.

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có giá trị x = $\frac{4}{3}$ thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là x = $\frac{4}{3}$.

c) $\sqrt {2{x^2} + 3x - 3} = \sqrt { - {x^2} - x + 1}$

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

2x$^{2}$ + 3x – 3 = – x$^{2}$ – x + 1

⇔ 3x$^{2}$ + 4x – 4 = 0

⇔ x = – 2 hoặc x = $\frac{2}{3}$.

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị đều không thỏa mãn.

Vậy phương trình vô nghiệm.

d) $\sqrt { - {x^2} + 5x - 4} = \sqrt { - 2{x^2} + 4x + 2}$

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

– x$^{2}$+ 5x – 4 = – 2x$^{2}$ + 4x + 2

⇔ x$^{2}$ + x – 6 = 0

⇔ x = – 3 hoặc x = 2.

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy x = 2 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt {6{x^2} + 13x + 13} = 2x + 4$

Bình phương hai vế của phương trình ta được

6x$^{2}$ + 13x + 13 = 4x$^{2}$ + 16x + 16

⇔ 2x$^{2}$ – 3x – 3 = 0

⇔ x = $\frac{{3 - \sqrt {33} }}{4}$ hoặc x = $\frac{{3 + \sqrt {33} }}{4}$.

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị x = $\frac{{3 - \sqrt {33} }}{4}$ và x = $\frac{{3 + \sqrt {33} }}{4}$ đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\left\{ {\frac{{3 - \sqrt {33} }}{4};\frac{{3 + \sqrt {33} }}{4}} \right\}$.

b) $\sqrt {2{x^2} + 5x + 3} = - 3 - x$

Bình phương hai vế của phương trình ta được

2x$^{2}$ + 5x + 3 = 9 + 6x + x$^{2}$

⇔ x$^{2}$ – x – 6 = 0

⇔ x = – 2 hoặc x = 3.

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn.

Vậy phương trình vô nghiệm.

c) $\sqrt {3{x^2} - 17x + 23} = x - 3$

Bình phương hai vế của phương trình ta được

3x$^{2}$ – 17x + 23 = x$^{2}$ – 6x + 9

⇔ 2x$^{2}$ – 11x + 14 = 0

⇔ x = 2 hoặc x = $\frac{7}{2}$.

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy x = $\frac{7}{2}$ thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là x = $\frac{7}{2}$.

d) $\sqrt { - {x^2} + 2x + 4} = x - 2$

Bình phương hai vế của phương trình ta được

– x$^{2}$ + 2x + 4 = x$^{2}$ – 4x + 4

⇔ – 2x$^{2}$ + 6x = 0

⇔ – 2x(x – 3) = 0

⇔ x = 0 hoặc x = 3.

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy x = 3 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 3.

Hướng dẫn giải

Đặt AH = x, x > 0.

Xét tam giác AHD vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

AD$^{2}$ = AH$^{2}$ + HD$^{2}$ ⇔ HD$^{2}$ = AD$^{2}$ – AH$^{2}$ = 5$^{2}$ – x$^{2}$ = 25 – x$^{2}$

Suy ra HD = $\sqrt {25 - {x^2}}$.

Ta có HC = HD + DC = $\sqrt {25 - {x^2}} + 8$.

HB = AH + AB = x + 2

Xét tam giác HBC vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

BC$^{2}$ = HB$^{2}$ + HC$^{2}$

⇔ 13$^{2}$ = (x + 2)$^{2}$ + ${\left( {\sqrt {25 - {x^2}} + 8} \right)^2}$

⇔ x$^{2}$ + 4x + 4 + 25 – x$^{2}$ + 16$\sqrt {25 - {x^2}}$+ 64 – 169 = 0

⇔ 16$\sqrt {25 - {x^2}}$ = – 4x + 76

⇔ 4$\sqrt {25 - {x^2}}$ = – x + 19

Để tính x, ta cần giải phương trình: 4$\sqrt {25 - {x^2}}$ = – x + 19 (1).

Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được:

16.(25 – x$^{2}$) = x$^{2}$ – 38x + 361

⇔ 17x$^{2}$ – 38x – 39 = 0

⇔ x = 3 hoặc x = $- \frac{{13}}{{17}}$.

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình (1), ta thấy hai giá trị x = 3 và x = $- \frac{{13}}{{17}}$ đều thỏa mãn.

Vì điều kiện của x là x > 0 nên ta chọn x = 3.

Do đó ta tính được AH = 3.

Suy ra HD = $\sqrt {25 - {3^2}} = 4$.

HC = 4 + 8 = 12

HB = 3 + 2 = 5

Diện tích tam giác HAD là S$_{1}$ = $\frac{1}{2}$HA . HD = $\frac{1}{2}$. 3 . 4 = 6.

Diện tích tam giác HBC là S$_{2}$ = $\frac{1}{2}$HB . HC = $\frac{1}{2}$ . 5 . 12 = 30.

Vậy diện tích tứ giác ABCD là S = S$_{2}$ – S$_{1}$ = 30 – 6 = 24.

Đổi: 200 m = 0,2 km, 50 m = 0,05 km.

Đặt CH = x (km) (x > 0).

Xét tam giác CHA vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

CA$^{2}$ = HA$^{2}$ + HC$^{2}$ = (0,05)$^{2}$ + x$^{2}$ = 0,0025 + x$^{2}$

Suy ra CA = $\sqrt{0{,}0025+{x}^{2}}$ hay quãng đường di chuyển của Minh từ vị trí A đến điểm gặp nhau C dài $\sqrt{0{,}0025+{x}^{2}}$ km.

Vận tốc đi bộ của Minh là 5 km/h nên thời gian di chuyển của Minh từ vị trí A đến điểm gặp nhau C là: $\frac{\sqrt{0{,}0025+{x}^{2}}}{5}$ (giờ).

Xét tam giác HAB vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

AB$^{2}$ = HB$^{2}$ + HA$^{2}$ ⇔ HB$^{2}$ = AB$^{2}$ – HA$^{2}$ = (0,2)$^{2}$ – (0,05)$^{2}$ = 0,0375

Suy ra HB = $\frac{\sqrt{15}}{20}$.

Ta có: BC + CH = HB ⇔ BC = HB – CH = $\frac{\sqrt{15}}{20}-x$.

Do đó quãng đường di chuyển của Hùng từ B đến điểm gặp nhau C dài $\frac{\sqrt{15}}{20}-x$ km.

Vận tốc đạp xe của Hùng là 15 km/h nên thời gian di chuyển của Hùng từ B đến điểm gặp nhau là: $\frac{\frac{\sqrt{15}}{20}-x}{15}=\frac{\sqrt{15}-20x}{300}$ (giờ).

Để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia thì thời gian di chuyển từ vị trí A đến C của Minh phải bằng thời gian di chuyển từ vị trí B đến C của Hùng.

Khi đó ta có phương trình: $\frac{\sqrt{0{,}0025+{x}^{2}}}{5}=\frac{\sqrt{15}-20x}{300}$ (1).

Giải phương trình (1) ta có:

(1) $\Leftrightarrow 60\sqrt{0{,}0025+{x}^{2}}=\sqrt{15}-20x$

Bình phương hai vế của phương trình trên ta được:

3600.(0,0025 + x$^{2}$) = 15 – 40$\sqrt{15}$x + 400x$^{2}$

⇔ 3200x$^{2}$ + 40$\sqrt{15}$x – 6 = 0

⇔ x = $\frac{-\sqrt{15}-3\sqrt{7}}{160}$ hoặc x = $\frac{-\sqrt{15}+3\sqrt{7}}{160}$

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình (1) ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Lại có điều kiện của x là x > 0 nên ta chọn x = $\frac{-\sqrt{15}+3\sqrt{7}}{160}$≈ 0,0254.

Suy ra BC = BH – CH ≈ $\frac{\sqrt{15}}{20}-0{,}0254\approx 0{,}1682$ km = 168,2 m.

Vậy vị trí C thỏa mãn yêu cầu đề bài là điểm cách B khoảng 168,2 m.