Bài tập Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác có đáp án

Hai đầu mút của đoạn thẳng AD là hai điểm A và D.

Ta thấy: A là đỉnh của tam giác ABC, D là giao điểm của đường phân giác của góc A và cạnh BC.

Quan sát Hình 114, ta thấy ba đường phân giác AD, BE, CK của tam giác ABC cùng đi qua điểm I.

Do đó, ba đường phân giác AD, BE, CK cùng đi qua một điểm.

Ta thấy đường phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I nên I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC.

Do đó AI là đường phân giác của $\widehat{BAC}$.

Suy ra $x=\widehat{BAI}=\widehat{CAI}={30}^{o}$.

Suy ra x = 30$^{o}$.

+) Chứng minh IA là đường trung trực của NP.

Do IP = IN nên I thuộc đường trung trực của NP.

Xét $ΔAIP$ vuông tại P và $ΔAIN$ vuông tại N có:

AI chung.

IP = IN (theo giả thiết).

Do đó $ΔAIP=ΔAIN$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra AP = AN (hai cạnh tương ứng).

Do AP = AN nên A thuộc đường trung trực của NP.

Do đó IA là đường trung trực của NP.

+) Chứng minh IB là đường trung trực của PM.

Do IP = IM nên I thuộc đường trung trực của PM.

Xét $ΔBIP$ vuông tại P và $ΔBIM$ vuông tại M có:

Cạnh BI chung.

IP = IM (theo giả thiết).

Do đó $ΔBIP=ΔBIM$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra BP = BM (hai cạnh tương ứng).

Do BP = BM nên B thuộc đường trung trực của PM.

Do đó IB là đường trung trực của PM.

+) Chứng minh IC là đường trung trực của MN.

Do IM = IN nên I thuộc đường trung trực của MN.

Xét $ΔCIM$ vuông tại M và $ΔCIN$ vuông tại N có:

Cạnh CI chung.

IM = IN (theo giả thiết).

Do đó $ΔCIM=ΔCIN$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra CM = CN (hai cạnh tương ứng).

Do CM = CN nên C thuộc đường trung trực của MN.

Do đó IC là đường trung trực của MN.

Vậy IA, IB, IC lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng NP, PM, MN.

a) Tam giác ABC có I là giao điểm ba đường phân giác nên I cách đều 3 cạnh của tam giác ABC.

Do đó IM = IN = IP.

Do IM = IN nên tam giác IMN cân tại I.

Do IN = IP nên tam giác INP cân tại I.

Do IP = IM nên tam giác IPM cân tại I.

Vậy các tam giác IMN, INP, IPM là tam giác cân.

b) Xét $ΔAIP$ vuông tại P và $ΔAIN$ vuông tại N có:

AI chung.

IP = IN (theo giả thiết).

Do đó $ΔAIP=ΔAIN$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra AP = AN (hai cạnh tương ứng).

Tam giác ANP có AP = AN nên tam giác ANP cân tại A.

Xét $ΔBIP$ vuông tại P và $ΔBIM$ vuông tại M có:

BI chung.

IP = IM (theo giả thiết).

Do đó $ΔBIP=ΔBIM$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra BP = BM (hai cạnh tương ứng).

Tam giác BPM có BP = BM nên tam giác BPM cân tại B.

Xét $ΔCIM$ vuông tại M và $ΔCIN$ vuông tại N có:

CI chung.

IM = IN (theo giả thiết).

Do đó $ΔCIM=ΔCIN$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra CM = CN (hai cạnh tương ứng).

Tam giác CMN có CM = CN nên tam giác CMN cân tại C.

Vậy các tam giác ANP, BPM, CMN là tam giác cân.