Bài tập Bài 1. Không gian mẫu và biến cố có đáp án

a) Vì con xúc xắc 6 mặt cân đối nên trước khi gieo ta không thể biết kết quả của lần gieo đó.

Vậy, trước khi An gieo xúc xắc, không thể biết bạn nào chiến thắng.

b) Kết quả của hai lần gieo xúc xắc là cặp số (i;j), trong đó i và j lần lượt là số chấm xuất hiện trên con xúc xắc lần gieo thứ nhất và lần gieo thứ hai.

Tất cả các kết quả có thể xảy ra đối với số chấm xuất hiện trong hai lần gieo là:

Vậy các kết quả có thể xảy ra đối với số chấm xuất hiện trong hai lần gieo là:

(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5); (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6).

Do tất cả các kết quả có thể xảy ra đối với số chấm xuất hiện trong hai lần gieo trong hoạt động khám phá 1 là:

(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5); (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6).

Vậy không gian mẫu của phép thử An gieo một con xúc xắc hai lần là:

Ω = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5); (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6)}.

Do hai quả bóng được lấy lần lượt nên ta cần tính đến thứ tự lấy bóng.

Kí hiệu các kết quả của phép thử là cặp số (i; j) trong đó i, j lần lượt là số của bóng được lấy ra.

Ta lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp, xem số, sau đó trả lại hộp, trộn đều rồi lại lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp đó, nên ta có không gian mẫu của phép thử hai lần lấy bóng này là: Ω = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4)}.

Vậy không gian mẫu của phép thử hai lần lấy bóng là: Ω = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4)}.

a) Vì kết quả hai lần gieo ra hai mặt có số chấm khác nhau thì Bình thắng nên nếu kết quả của phép thử là (2; 3) thì Bình là người chiến thắng.

Vậy kết quả phép thử là (2; 3) thì Bình thắng.

b) Nếu kết quả hai lần gieo ra hai mặt có số chấm giống nhau thì Cường thắng.

Ta có các kết quả (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6) thỏa mãn hai mặt có số chấm giống nhau.

Vậy, các kết quả của phép thử đem lại chiến thắng cho Cường là: (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6).

Khi gieo hai con xúc xắc ta có không gian mẫu là:

Ω = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5); (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6)}.

a) B là biến cố “Xuất hiện hai mặt có cùng số chấm”.

Ta có các kết quả thuận lợi cho biến cố B là: (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6).

Khi đó tập hợp mô tả biến cố B là: B = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)}

C là biến cố “Số chấm xuất hiện ở con xúc xắc thứ nhất gấp 2 lần số chấm xuất hiện ở con xúc xắc thứ hai”

Ta có các kết quả thuận lợi cho biến cố C là: (6; 3), (4; 2), (2; 1).

Khi đó tập hợp mô tả biến cố C là: C = {(6; 3), (4; 2), (2; 1)}.

Vậy B = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)} và C = {(6; 3), (4; 2), (2; 1)}.

b) Vì B = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)} nên có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố B.

Vì C = {(6; 3), (4; 2), (2; 1)} nên có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố C.

Vậy có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố B và có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố C.

Ta có không gian mẫu của phép thử gieo hai con xúc xắc là:

Ω = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5); (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6)}.

Ta thấy tất cả các kết quả có thể trong không gian mẫu đều có tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn 13.

Do đó, tất cả các kết quả có thể trong không gian mẫu đều thuận lợi cho biến cố D : “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn 13”.

Vậy có 36 kết quả thuận lợi cho biến cố D.

Ta thấy không có kết quả có thể nào trong không gian mẫu thuận lợi cho biến cố E : “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 13”.

Vậy có 0 kết quả thuận lợi cho biến cố E.

a) Gọi A là biến cố: “Trong 3 bạn được chọn có đúng một bạn nữ”, nghĩa là trong ba bạn được chọn có 1 bạn chọn trong bốn bạn nữ và 3 bạn còn lại chọn trong 5 bạn nam.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: ${C}_{4}^{1}.{C}_{5}^{2}$ = 40.

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 40.

b) Với biến cố: “Trong 3 bạn được chọn không có bạn nam nào”.

Vì không có bạn nam nào được chọn nên có ba bạn nữ được chọn.

Ta chọn 3 bạn nữ trong 4 bạn nữ, có ${C}_{4}^{3}$ = 4 cách chọn.

Do đó, số các kết quả thuận lợi cho biến cố “Trong 3 bạn được chọn không có bạn nam nào” là ${C}_{4}^{3}$ = 4.

Vậy số các kết quả thuận lợi cho biến cố “Trong 3 bạn được chọn không có bạn nam nào” là 4.

a) Vì chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 100, tức là chọn một trong các số 1; 2; 3; 4; 5; 6;...; 98; 99, nên ta có không gian mẫu là:

Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6;...; 98; 99}.

b) Với A là biến cố “Số được chọn là số chính phương”.

Vì số được chọn là số chính phương nên số được chọn là một trong các số 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81.

⇒ Các kết quả thuận lợi cho biến cố A là 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81.

Do đó tập hợp mô tả biến cố A là: A = {1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81}.

Vậy A = {1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81}.

c) Với B là biến cố “Số được chọn chia hết cho 4”.

Các số trong không gian mẫu chia hết cho 4 là: 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52; 56; 60; 64; 68; 72; 76; 80; 88; 92; 96.

Do đó B = {4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52; 56; 60; 64; 68; 72; 76; 80; 84; 88; 92; 96} ⇒ có 24 kết quả thuận lợi cho biến cố B.

Vậy có 24 kết quả thuận lợi cho B.

a) Với phép thử: Lấy 1 thẻ từ hộp, xem số, trả thẻ vào hộp rồi lấy lại tiếp 1 thẻ từ hộp.

Do hai tấm thẻ được lấy lần lượt nên cần tính đến thứ tự lấy thẻ và lấy 1 thẻ từ hộp, xem số, trả thẻ vào hộp rồi lấy lại tiếp 1 thẻ từ hộp.

Khi đó, không gian mẫu của phép thử là:

Ω = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3)}.

Vậy không gian mẫu của phép thử lấy 1 thẻ từ hộp, xem số, trả thẻ vào hộp rồi lấy lại tiếp 1 thẻ từ hộp là Ω = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3)}.

b) Với phép thử: Lấy 1 thẻ từ hộp, xem số, bỏ ra ngoài rồi lại lấy tiếp 1 thẻ từ hộp.

Do hai tấm thẻ được lấy lần lượt nên cần tính đến thứ tự lấy thẻ và lấy 1 thẻ từ hộp, xem số, bỏ ra ngoài rồi lại lấy tiếp 1 thẻ từ hộp nên số ở trên hai thẻ không thể giống nhau.

Khi đó, không gian mẫu của phép thử là:

Ω = {(1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 3), (3; 1), (3; 2)}.

Vậy không gian mẫu của phép thử: Lấy 1 thẻ từ hộp, xem số, bỏ ra ngoài rồi lại lấy tiếp 1 thẻ từ hộp là: Ω = {(1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 3), (3; 1), (3; 2)}.

c) Với phép thử: Lấy đồng thời hai thẻ từ hộp.

Do mỗi lần lấy đồng thời 2 thẻ không tính đến thứ tự lần lượt nên không gian mẫu của phép thử là:

Ω = {(1; 2), (1; 3), (2; 3)}.

Vậy không gian mẫu của phép thử: Lấy đồng thời hai thẻ từ hộp là Ω = {(1; 2), (1; 3), (2; 3)}.

a) Gọi A là biến cố “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc hơn kém nhau 3 chấm”.

Ta có: A = {(1; 4), (2; 5), (3; 6), (4; 1), (5; 2), (6; 3)}

Vậy có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố A.

b) Gọi B là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc chia hết cho 5”.

Ta có: B = {(1; 5), (2; 5), (3; 5); (4; 5), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 5)}.

Vậy có 11 kết quả thuận lợi cho biến cố B.

c) Gọi C là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số lẻ”:
Ta có: C = {(1; 2), (1; 4), (1; 6), (2; 1), (2; 3), (2; 5), (3; 2), (3; 4), (3; 6), (4; 1), (4; 3), (4; 5), (5; 2), (5; 4), (5; 6), (6; 1), (6; 3), (6; 5)}

Vậy có 18 kết quả thuận lợi cho biến cố C.

a) Xếp 4 viên bi xanh tạo thành một hàng ngang, có 4! cách.

4 viên bi xanh sẽ tạo ra 5 khoảng trống, xếp 5 viên bi trắng vào 5 khoảng trống này. Khi đó, số cách xếp 5 viên bi trắng là 5! cách.

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố “Không có hai viên bi trắng nào xếp liền nhau” là: 4!. 5! = 2880.

b) Coi 4 viên bi xanh là một nhóm, giữa 4 viên bi này có 4! cách xếp.

Xếp nhóm 4 viên bi xanh này với 5 viên bi trắng thì có 6! cách xếp.

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố “Bốn viên bi xanh được xếp liền nhau” là: 4!. 6! = 17 280.