Bài tập Áp dụng công thức cộng, công thức nhân đôi lớp 11 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức cộng lượng giác, ta có: sinxcosy – cosxsiny = sin(x − y).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Có $\frac{\sin (a+b)}{\sin (a-b)}=\frac{\sin a\cos b+\cos a\sin b}{\sin a\cos b-\cos a\sin b}$ $=\frac{\frac{\sin a\cos b}{\cos a\cos b}+\frac{\cos a\sin b}{\cos a\cos b}}{\frac{\sin a\cos b}{\cos a\cos b}-\frac{\cos a\sin b}{\cos a\cos b}}$

$=\frac{\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\sin b}{\cos b}}{\frac{\sin a}{\cos a}-\frac{\sin b}{\cos b}}$ $=\frac{\tan a+\tan b}{\tan a-\tan b}$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Có sin$^{2}$a + cos$^{2}$a = 1 mà $\sin \alpha = \frac{5}{{13}}$ nên $co{s^2}\alpha = \frac{{144}}{{169}}$.

Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ nên cosa < 0. Do đó $cos\alpha = - \frac{{12}}{{13}}$.

Có sin$^{2}$b + cos$^{2}$b = 1 mà $cos\beta = \frac{3}{5}$ nên ${\sin ^2}\beta = \frac{{16}}{{25}}$.

Vì $0 < \beta < \frac{\pi }{2}$ nên sinb > 0. Do đó $\sin \beta = \frac{4}{5}$.

Áp dụng công thức cộng lượng giác

cos(a − b) = cosa×cosb + sina×sinb = $- \frac{{12}}{{13}} \cdot \frac{3}{5} + \frac{5}{{13}} \cdot \frac{4}{5} = - \frac{{16}}{{65}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: sin(a − 17°)cos(a + 13°) − sin(a + 13°)cos(a − 17°)

= sin[(a − 17°) − (a + 13°)] = sin (−30°) = $-\frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì $\cot x = \frac{4}{3}$; cot y = 7 nên $\tan x = \frac{3}{4}$; $\tan y = \frac{1}{7}$.

Có $\tan (x + y)\,\, = \,\,\frac{{\tan x + \tan y}}{{1 - \tan x \cdot \tan y}}$$= \,\,\frac{{\frac{3}{4} + \frac{1}{7}}}{{1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{7}}} = 1$ $\Rightarrow x + y = \frac{\pi }{4}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

${\sin }^{2}2x=\frac{1-cos4x}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì sin$^{2}$x + cos$^{2}$x = 1 mà $\cos x=\frac{4}{5}$ nên ${\sin }^{2}x=\frac{9}{25}$.

Mà $x\in (-\frac{π}{2};0)$ nên sinx < 0. Do đó $s\text{inx}=-\frac{3}{5}$.

Áp dụng công thức nhân đôi có sin2x = 2sinxcosx = $-2\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5}=-\frac{24}{25}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

$\tan 2α\ =\ \frac{2\tan α}{1-{\tan }^{2}α}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Có $\sin x+\cos x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow {(\sin x+\cos x)}^{2}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow {\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow 1+\sin 2x=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \sin 2x=-\frac{3}{4}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

A = tan $α$ + cot$α$ $=\frac{\sin α}{cosα}+\frac{\text{cos}α}{\sin α}=\frac{{\sin }^{2}α+{\text{cos}}^{2}α}{cosα\sin α}=\frac{2}{\sin 2α}=\frac{2}{\frac{3}{4}}=\frac{8}{3}$.

Đáp án đúng là: B

cos2a = cos$^{2}$a – sin$^{2}$a.

Đáp án đúng là: A

cos(a + b) = cosacosb – sinasinb.

Đáp án đúng là: D

cos(a – b) = cosacosb + sinasinb.

Đáp án đúng là: D

$\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan \alpha - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan \alpha \tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{2 - 1}}{{1 + 2 \cdot 1}} = \frac{1}{3}$.

Đáp án đúng là: D

${\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}$.

Do đó $\cos x = \frac{4}{5}$, $\cos x = \frac{{ - 4}}{5}$. Vì $\frac{\pi }{2}$ < x < π nên $\cos x = \frac{{ - 4}}{5}$

$\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{{\frac{3}{5}}}{{\frac{{ - 4}}{5}}} = \frac{{ - 3}}{4}$.

$\tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan x + \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 - \tan x\tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{\frac{{ - 3}}{4} + 1}}{{1 - \left( {\frac{{ - 3}}{4}} \right) \cdot 1}} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{7}{4}}} = \frac{1}{7}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì $\frac{\pi }{2}$ < α < π nên cosα < 0.

Ta có cos$^{2}$α = 1 – sin$^{2}$α = 1 − $\frac{1}{9}$ = $\frac{8}{9}$ nên cos$^{2}$α = $\frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}$.

b) Đúng. sin2α = 2sinαcosα = 2∙$\frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}} \right) = \frac{{ - 4\sqrt 2 }}{9}$.

c) Đúng. cos2α = 1 – 2sin$^{2}$α = 1 − $2 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{7}{9}$.

d) Sai. tan2α = $\frac{{\sin 2\alpha }}{{\cos 2\alpha }} = \frac{{ - 4\sqrt 2 }}{7}$, $\cot 2\alpha = \frac{1}{{\tan 2\alpha }} = \frac{{ - 7\sqrt 2 }}{8}$.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. cota = $\frac{1}{{\tan a}} = \frac{1}{2}$.

b) Đúng. cos2a = 2cos$^{2}$a – 1 = $2 \cdot \left( {\frac{1}{{{{\tan }^2}a + 1}}} \right) - 1 = 2 \cdot \frac{1}{{{2^2} + 1}} - 1 = \frac{{ - 3}}{5}$.

c) Đúng. sin2a = 2sinacosa = 2tanacos$^{2}$a = $\frac{{2\tan a}}{{{{\tan }^2}a + 1}} = \frac{4}{5}$.

d) Đúng. tan2a = $\frac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \frac{{ - 4}}{3}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì $\frac{\pi }{2}$ < α <$\frac{{3\pi }}{2}$ nên cosα < 0.

b) Đúng. $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{{ - 4}}{5}$.

c) Đúng. Ta có hệ phương trình:$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha = 1}\\{2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{{ - 4}}{5}}\end{array}} \right.$ ⇔ $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\frac{4}{{25{{\cos }^2}\alpha }} + {{\cos }^2}\alpha = 1}\\{\sin \alpha = \frac{{ - 2}}{{5\cos \alpha }}}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{25{{\cos }^4}\alpha - 25{{\cos }^2}\alpha + 4 = 0}\\{\sin \alpha = \frac{{ - 2}}{{5\cos \alpha }}}\end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{{\cos }^2}\alpha = \frac{4}{5}}\\{{{\sin }^2}\alpha = \frac{1}{5}}\end{array}} \right.}\\{\sin \alpha = \frac{{ - 2}}{{5\cos \alpha }}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\cos \alpha = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }}}\\{\sin \alpha = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 5 }}}\end{array}} \right.}\\{\sin \alpha = \frac{{ - 2}}{{5\cos \alpha }}}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\cos \alpha = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }},\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }}}\\{\cos \alpha = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 5 }},\sin \alpha = \frac{2}{{\sqrt 5 }}}\end{array}} \right.$.

d) Sai. cosα = $\frac{{ - 1}}{{\sqrt 5 }}$, sinα = $\frac{2}{{\sqrt 5 }}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. cos2α = $\frac{5}{9}$, 0 < α < 90°.

sin$^{2}$α = $\frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2} = \frac{{1 - {{\left( {\frac{5}{9}} \right)}^2}}}{2} = \frac{{28}}{{81}} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\sin \alpha = \frac{{\sqrt {28} }}{9}}\\{\sin \alpha = \frac{{ - \sqrt {28} }}{9}}\end{array}} \right.$ .

Vì 0 < α < 90° nên sin α = $\frac{{\sqrt {28} }}{9}$.

b) Đúng. cos$^{2}$α = 1 – sin$^{2}$α = $1 - {\left( {\frac{{\sqrt {28} }}{9}} \right)^2} = \frac{{53}}{{81}}$

nên $\cos \alpha = \frac{{\sqrt {53} }}{9}$ và $\cos \alpha = \frac{{ - \sqrt {53} }}{9}$.

Vì 0 < α < 90° nên $\cos \alpha = \frac{{\sqrt {53} }}{9}$.

c) Sai. $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{2\sqrt {371} }}{{53}}$.

d) Đúng. $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{{\sqrt {371} }}{{14}}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. tan$^{2}$a + 1 = $\frac{1}{{{{\cos }^2}a}}$ nên $\tan a = \sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}a}} - 1} = \sqrt {\frac{{16}}{9} - 1} = \frac{{\sqrt 7 }}{3}$.

b) Sai. cot$^{2}$b + 1 = $\frac{1}{{{{\sin }^2}b}}$ nên $\cot b = - \sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}b}} - 1} = - \sqrt {\frac{{25}}{9} - 1} = \frac{{ - 4}}{3}$.

c) Sai. $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\cos a = \frac{3}{4}}\\{\sin a > 0}\end{array}} \right.$ $\Rightarrow \sin a = \sqrt {1 - {{\cos }^2}a} = \frac{{\sqrt 7 }}{4}$

và $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\sin b = \frac{3}{5}}\\{\cos b < 0}\end{array}} \right.$ $\Rightarrow \cos b = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}b} = \frac{{ - 4}}{5}$.

cos(a + b) = cosacosb – sinasinb = $\frac{3}{4} \cdot \left( {\frac{{ - 4}}{5}} \right) - \frac{{\sqrt 7 }}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{{ - 3}}{5} \cdot \left( {1 + \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right) \notin \left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{{ - 1}}{3}} \right)$.

d) Sai.$\cos 2a + \cos 2b = 2{\cos ^2}a - 1 + 1 - 2{\sin ^2}b = 2 \cdot \frac{9}{{16}} - 2 \cdot \frac{9}{{25}} = \frac{{81}}{{200}} = 0{,}405 \notin \left( {\frac{1}{2};1} \right)$

Đáp án: 1,7

M = (cos$^{4}$15° − sin$^{4}$15°) + (cos$^{2}$15° − sin$^{2}$15°)

= (cos$^{2}$15° − sin$^{2}$15°)(cos$^{2}$15° + sin$^{2}$15°) + (cos$^{2}$15° − sin$^{2}$15°)

= (cos$^{2}$15° − sin$^{2}$15°) + (cos$^{2}$15° − sin$^{2}$15°) = cos30° + cos30° = $\sqrt 3$≈ 1,7.

Đáp án: 0,05

A = $\sin \frac{\pi }{{48}} \cdot \cos \frac{\pi }{{48}} \cdot \cos \frac{\pi }{{24}} \cdot \cos \frac{\pi }{{12}} \cdot \cos \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2} \cdot \sin \frac{\pi }{{24}} \cdot \cos \frac{\pi }{{24}} \cdot \cos \frac{\pi }{{12}} \cdot \cos \frac{\pi }{6}$

$= \frac{1}{4} \cdot \sin \frac{\pi }{{12}} \cdot \cos \frac{\pi }{{12}} \cdot \cos \frac{\pi }{6} = \frac{1}{8} \cdot \sin \frac{\pi }{6} \cdot \cos \frac{\pi }{6} = \frac{1}{{16}} \cdot \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{{32}} \approx 0{,}05$.

Đáp án: −0,8

Ta có cos2α = 1 – 2sin$^{2}$α = 1 − $2 \cdot {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{{ - 7}}{{25}}$.

Nên P = cos4α = 2cos$^{2}$2α – 1 = $2 \cdot \frac{{49}}{{625}} - 1 = \frac{{ - 527}}{{625}} \approx - 0{,}8$.

Đáp án: 1

sin(60° + α) – sin(60° − α) = (sin60°cosα + cos60°sinα) – (sin60°cosα – cos60°sinα)

= 2cos60°sinα = 2$\cdot \frac{1}{2}\sin \alpha = \sin \alpha$.

Đáp án: 9

$B = \sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \cos 2\alpha \cdot \cos 4\alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha \cdot \cos 2\alpha \cdot \cos 4\alpha = \frac{1}{4} \cdot \sin 4\alpha \cdot \cos 4\alpha$

= $\frac{1}{8}\sin 8\alpha$.

Vậy T = a + b = 1 + 8 = 9.