Bài 5: Phép nhân các số nguyên

Nhận thấy phép tính (– 3) . (– 2) là phép nhân hai số nguyên âm. Để làm được phép nhân này, ta phải học qua §5.

Sau khi học bày này, ta thực hiện ngay phép nhân hai số nguyên:

(– 3) . (– 2) = 3 . 2 = 6

Vì 6 và – 6 khác nhau. Do đó phát biểu trên đề bài là không chính xác.

a) Ta có:

(– 3) . 4 = (– 3) + (– 3) + (– 3) + (– 3)

= (– 6) + (– 3) + (– 3) = (– 9) + (– 3) = – 12.

b) Theo câu a) ta có: (– 3) . 4 = – 12

Lại có: – (3 . 4) = – 12

Do đó: (– 3) . 4 = – (3 . 4).

a) (– 7) . 5 = – (7 . 5) = – 35.

b) 11 . (– 13) = – (11 . 13) = – 143.

a) Số cần điền ở (?1) là 3 (do tăng 3 đơn vị nên ta lấy 0 + 3 = 3)

Tương tự, số cần điền ở (?2) là 6 (vì 3 + 3 = 6)

Vậy ta đã tìm được kết quả hai tích cuối lần lượt là 3 và 6.

b) Theo câu a ta có: (– 3) . (– 2) = 6

Lại có: 3 . 2 = 6

Do đó: (– 3) . (– 2) = 3 . 2

a) Với x = – 2 thì ta có:

– 6x – 12 = (– 6) . (– 2) – 12 = 6 . 2 – 12 = 12 – 12 = 0.

b) Với y = – 8 thì ta có:

– 4y + 20 = (– 4) . (– 8) + 20 = 4 . 8 + 20 = 32 + 20 = 52

a) (– 4) . 7 = – (4 . 7) = – 28

7 . (– 4) = – (7 . 4) = – 28

Vậy (– 4) . 7 = 7 . (– 4).

b) [(– 3) . 4] . (– 5) = [– (3 . 4)] . (– 5) = (– 12) . (– 5) = 60

(– 3) . [4 . (– 5)] = (– 3) . [– (4 . 5)] = (– 3) . (– 20) = 60

Do đó: [(– 3) . 4] . (– 5) = (– 3) . [4 . (– 5)].

c) (– 4) . 1 = – (4 . 1) = – 4

Vậy (– 4) . 1 = – 4.

d) (– 4) . (7 + 3) = (– 4) . 10 = – (4 . 10) = – 40

(– 4) . 7 + (– 4) . 3 = [– (4 . 7)] + [– (4 . 3)] = (– 28) + (– 12) = – (28 + 12) = – 40

Vậy (– 4) . (7 + 3) = (– 4) . 7 + (– 4) . 3.

a) (– 6) . (– 3) . (– 5)

= [(–6) . (– 5)] . (– 3) (tính chất giao hoán và kết hợp)

= 30 . (– 3)

= – 90.

b) 41 . 81 – 41 . (– 19)

= 41 . [81 – (– 19)] (tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ)

= 41 . (81 + 19)

= 41 . 100

= 4 100.

a) (– 4) . 7 = – (4 . 7) = – 28

7 . (– 4) = – (7 . 4) = – 28

Vậy (– 4) . 7 = 7 . (– 4).

b) [(– 3) . 4] . (– 5) = [– (3 . 4)] . (– 5) = (– 12) . (– 5) = 60

(– 3) . [4 . (– 5)] = (– 3) . [– (4 . 5)] = (– 3) . (– 20) = 60

Do đó: [(– 3) . 4] . (– 5) = (– 3) . [4 . (– 5)].

c) (– 4) . 1 = – (4 . 1) = – 4

Vậy (– 4) . 1 = – 4.

d) (– 4) . (7 + 3) = (– 4) . 10 = – (4 . 10) = – 40

(– 4) . 7 + (– 4) . 3 = [– (4 . 7)] + [– (4 . 3)] = (– 28) + (– 12) = – (28 + 12) = – 40

Vậy (– 4) . (7 + 3) = (– 4) . 7 + (– 4) . 3.

a) 21 . (– 3) = – (21 . 3) = – 63.

b) (– 16) . 5 = – (16 . 5) = – 80.

c) 12 . 20 = 240.

d) (– 21) . (– 6) = 21 . 6 = 126.

Ta có: 15 . 6 = 90

(– 3) . 14 = – (3 . 14) = – 42

11 . (– 23) = – (23 . 11) = – 253

(– 4) . (– 125) = 4 . 125 = 500

Có: 21 = 7 . 3 nên 21 . (– 1) = 7 . 3 . (– 1) hay – 21 = 7 . (– 3)

72 = 9 . 8 = (– 9) . (– 8)

Khi đó các số thích hợp được điền vào bảng như sau:

a) 10$^{10}$. (– 10$^{4}$) = – (10$^{10}$ . 10$^{4}$) = – (10$^{10 + 4}$) = – 10$^{14}$.

b) (– 2) . (– 2) . (– 2) . (– 2) . (– 2) + 2$^{5}$

= – (2 . 2 . 2 . 2 . 2) + 2$^{5}$

= [– (2)$^{5}$] + 2$^{5}$

= 2$^{5}$ – 2$^{5}$

= 0.

c) (– 3) . (– 3) . (– 3) . (– 3) – 3$^{4}$.

= 3 . 3 . 3. 3 – 3$^{4}$

= 3$^{4}$ – 3$^{4}$

= 0.

Ta có: 8 . 25 = 200

Do đó ta suy ra được:

a) (– 8) . 25 = – (8 . 25) = – 200;

b) 8 . (– 25) = – (8 . 25) = – 200;

c) (– 8) . (– 25) = 8 . 25 = 200.

a) Với x = – 8 thì ta có:

2x = 2 . (– 8) = – (2 . 8) = – 16.

b) Với y = 6 thì ta có:

– 7y = (– 7) . 6 = – (7 . 6) = – 42.

c) Với z = – 4 thì ta có:

– 8z – 15 = (– 8) . (– 4) – 15 = 8 . 4 – 15 = 32 – 15 = 17.

a) Ta có: 3 . (– 5) = – (3 . 5) = – 15 < 0

Do đó: 3 . (– 5) 0.

b) Ta có: (– 3) . (– 7) = 3 . 7 = 21 > 0

Vậy (– 3) . (– 7) 0.

c) Ta có: (– 6) . 7 = – (6 . 7) = – 42 < 0

(– 5) . (– 2) = 5 . 2 = 10 > 0

Do đó: – 42 < 10

Vậy (– 6) . 7 (– 5) . (– 2).

Nhận xét: Qua bài này ta thấy

+ Tích của hai số nguyên khác dấu là số nguyên âm nên nó nhỏ hơn 0.

+ Tích của hai số nguyên cùng dấu là số nguyên dương nên nó lớn hơn 0.

Từ đó, ta có thể dễ dàng đi so sánh các tính mà không cần thực hiện tính toán.

Ví dụ ở câu a) vì 3 . (– 5) là tích của hai số nguyên khác dấu nên tích này phải nhỏ hơn 0, ta điền ngay dấu <. Tương tự cho các câu còn lại.

a) (– 16) . (– 7) . 5

= [(– 16) . 5] . (– 7) (tính chất giao hoán và kết hợp)

= [– (16 . 5)] . (– 7)

= (– 80) . (– 7)

= 80 . 7

= 560.

b) 11 . (– 12) + 11 . (– 18)

= 11 . [(– 12) + (– 18)] (tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng)

= 11 . [– (12 + 18)]

= 11 . (– 30)

= – (11 . 30)

= – 330.

c) 87 . (– 19) – 37 . (– 19)

= (– 19) . (87 – 37) (tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ)

= (– 19) . 50

= – (19 . 50)

= – 950.

d) 41 . 81 . (– 451) . 0 = 0. (tính chất phép nhân một số với 0)

Hoặc chúng ta có thể làm lần lượt từng bước như sau:

41 . 81 . (– 451) . 0

= 41 . 81 . [(– 451) . 0] (tính chất kết hợp)

= 41 . 81 . 0 (tính chất phép nhân một số với 0)

= 41 . (81 . 0) (tính chất kết hợp)

= 41 . 0 = 0. (tính chất phép nhân một số với 0)

a) Ta có: tích của hai số nguyên âm là một số nguyên dương

Mà tích của một số nguyên dương với một số nguyên âm là một số nguyên âm

Nên tích của hai số nguyên âm với một số nguyên âm là một số nguyên âm.

Do đó tích của ba số nguyên âm (chính là tích của hai số nguyên âm với một số nguyên âm) là một số nguyên âm.

b) Tích của hai số nguyên âm là một số nguyên dương

Nên tích của hai số nguyên âm với một số nguyên dương (chính là tích của hai số nguyên dương) là một số nguyên dương.

c) Tích của hai số nguyên âm là một số nguyên dương

Vậy tích của một số chẵn các số nguyên âm là một số nguyên dương.

d) Tích của ba số nguyên âm là một số nguyên âm (câu a)

Vậy tích của một số lẻ các số nguyên âm là một số nguyên âm.

Cách 1.

Mỗi quý thì có 3 tháng.

Lợi nhuận của công ty trong Quý I là:

(– 30) . 3 = – 90 (triệu đồng)

Lợi nhuận của công ty trong Quý II là:

70 . 3 = 210 (triệu đồng)

Lợi nhuận của công ty Ánh Dương trong 6 sáu đầu năm (2 quý đầu năm) là:

(– 90) + 210 = 120 (triệu đồng)

Vậy sau 6 tháng đầu năm, lợi nhuận của công ty Ánh Dương là 120 triệu đồng.

Cách 2. (làm gộp)

Mỗi quý có 3 tháng nên lợi nhuận của công ty Ánh Dương trong 6 tháng đầu năm là:

(– 30) . 3 + 70 . 3 = 3 . [(– 30) + 70] = 120 (triệu đồng)

Vậy sau 6 tháng đầu năm, lợi nhuận của công ty Ánh Dương là 120 triệu đồng

Sử dụng máy tính bỏ túi, ta tính được:

23 . (– 49) = – 1 127;

(– 215) . 207 = – 44 505;

(– 124) . (– 1 023) = 126 852.