9 bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có lời giải)

a) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$; $\overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} + \overline {{B^\prime }{C^\prime }} = \overline {{A^\prime }{C^\prime }} {\rm{. }}$

b) Vî AA'B'B là hình bình hành, suy ra $AB//{A^\prime }{B^\prime }$ và $AB = {A^\prime }{B^\prime }$.

Ta có hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }}$ cùng hướng và có độ dài bằng nhau nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }}$. Tương tự: $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {{B^\prime }{C^\prime }} ;\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }}$.

c) Vì $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} + \overrightarrow {{B^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }}$ mà $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }}$ nên $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} + \overrightarrow {{B^\prime }{C^\prime }}$.

Ta có $ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }$ là hình lăng trụ nên $A{A^\prime }{C^\prime }C$ là hình bình hành, suy ra $\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC}$.

Do đó $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC}$.

Tương tự, ta cūng có $A{A^\prime }{B^\prime }B$ là hình bình hành, suy ra $\overrightarrow {A{A^\prime }} = \overrightarrow {B{B^\prime }}$.

Do đó $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {A{A^\prime }} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {B{B^\prime }} = \overrightarrow {B{C^\prime }}$

a) Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$.

Do đó $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$.

Tương tự. AA' ${C^\prime }{\rm{C}}$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {A{A^\prime }} = \overrightarrow {C{C^\prime }}$.

Do đó $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{A^\prime }} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C{C^\prime }} = \overrightarrow {A{C^\prime }}$.

b) Có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A{A^\prime }} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{A^\prime }} = \overrightarrow {A{C^\prime }}$

a) Theo quy tắc hình hộp, ta có $\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CG} = \overrightarrow {CE}$.

b) Vì ABCD.EFGH là hình hộp nên theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DH} = \overrightarrow {DF}$

c) Ta có $\overrightarrow {CG} = \overrightarrow {AE} ,\overrightarrow {EH} = \overrightarrow {AD}$.

Suy ra: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {EH} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AD}$.

Theo quy tắc hình hộp, ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AG}$.

Vậy $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {EH} = \overrightarrow {AG}$.

d) Vì DCGH là hình bình hành nên $\overrightarrow {GC} = \overrightarrow {HD}$.

Tương tự ${\rm{ABGH}}$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {HG}$.

Do đó $\overrightarrow {HE} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {HE} + \overrightarrow {HD} + \overrightarrow {HG} = \overrightarrow {HB}$ (theo quy tắc hình hộp).

a) $\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow {MN}$

(Do $M$ và $N$ lần lượt là trung điếm của AB và CD nên $\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} = \vec 0;\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {AM} = \vec 0$ ).

b) $\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {MN} ($ vì $\overrightarrow {ND} + \overrightarrow {NC} = \vec 0)$.

a) Theo quy tắc hình hộp, ta có $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {B{B^\prime }} = \overrightarrow {B{D^\prime }}$.

Mà $\left| {\overrightarrow {B{D^\prime }} } \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3$. Do đó $|\vec a| = \sqrt 3$.

b) $\vec b = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {{C^\prime }A} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {{C^\prime }A} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {A{C^\prime }} = \overrightarrow {{C^\prime }C}$

Mà $\left| {\overrightarrow {{C^\prime }C} } \right| = 1$. Do đó $|\vec b| = 1$.

vì $SE = \frac{1}{3}SA,SF = \frac{1}{3}SB \Rightarrow \frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SB}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)$

Tam giác SAB có: $\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SB}}$ nên ${\rm{FE}}//{\rm{AB}}$ và $EF = \frac{1}{3}AB$.

Vì hai vectơ $\overrightarrow {EF}$ và $\overrightarrow {AB}$ cùng hướng nên $\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}$ (1)

Vî ${\rm{ABCD}}$ là hình bình hành nên $AB = CD$ và ${\rm{AB}}//{\rm{CD}}$. Do đó, $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$ (2) Từ (1) và (2) ta có: $\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC}$

Do ${\rm{AB}}{{\rm{B}}^\prime }{{\rm{A}}^\prime }$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {{B^\prime }B} = - \overrightarrow {A{A^\prime }}$.

Có $\overrightarrow {{B^\prime }C} = \overrightarrow {{B^\prime }B} + \overrightarrow {BC} = - \overrightarrow {A{A^\prime }} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = \vec c - \vec a - \vec b$.

Do ${\rm{AC}}{{\rm{C}}^\prime }{{\rm{A}}^\prime }$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {C{C^\prime }} = \overrightarrow {A{A^\prime }}$.

$\overrightarrow {B{C^\prime }} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {C{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{A^\prime }} = \vec a - \vec b + \vec c$