8 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Tích của một số với một vectơ có đáp án (Phần 2) (Thông hiểu)

Đáp án đúng là: C

Lấy điểm D sao cho $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}$ suy ra AD = 2a.

Ta có $|2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{CD}|=CD$.

Tam giác ACD vuông tại A có: CD2 = AC2 + AD2 (định lí Pythagore)

Suy ra $CD=\sqrt{A{C}^{2}+A{D}^{2}}=\sqrt{{a}^{2}+{(2a)}^{2}}=a\sqrt{5}$.

Vậy $|2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{5}$.

Đáp án đúng là: A

Vì M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=-2\overrightarrow{MI}=2\overrightarrow{IM}$.

Do đó phương án A là đúng.

Đáp án đúng là: D

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2GD và AG = $\frac{2}{3}$AD.

Do đó:

• $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GD}$ nên phương án A là sai.

• $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}$. Do đó phương án C là đúng.

Ta có D là trung điểm của BC nên

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}=2.\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{AG}$. Do đó phương án D là đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

Vì M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{MC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.

Vì N là điểm thuộc cạnh AC sao cho AN = 2NC nên AC = 3NC, do đó $\overrightarrow{CN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$.

Ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}$$=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$

$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Vẽ hình bình hành ACDE. Khi đó AE // CD và AE = CD.

Mà ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD.

Do đó đường thẳng AE trùng với đường thẳng AB hay E, B, A thẳng hàng.

Lại có: AE = CD = AB nên A là trung điểm của EB.

Suy ra $\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{EB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DB})$.

Do ACDE là hình bình hành suy ra $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{ED}$.

Nên $\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DB})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD})$.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Gọi I là trung điểm của BC.

Suy ra với điểm M bất kì ta có $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}$.

Mà $4\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$ nên $4\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MI}$ hay $2\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MI}$

Do đó ba điểm M, A, I thẳng hàng sao cho 2MA = MI.

Suy ra A là trung điểm của MI hay M đối xứng với A qua I.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Gọi I là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$.

Mà $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{CA}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{MA}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{CM}$

Do đó ba điểm M, I, C thẳng hàng sao cho CM = 2MI

Suy ra CM = $\frac{2}{3}$CI

Mà CI là trung tuyến của tam giác ABC nên M là trọng tâm tam giác ABC.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

Hay $\overrightarrow{GC}=-\ \overrightarrow{GA}\ -\ \overrightarrow{GB}=-\ \overrightarrow{a}\ -\overrightarrow{b}$

Ta có: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$.

Mà $\overrightarrow{BC}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$ nên m = – 1 và n = – 2.

Vậy ta chọn phương án B.