8 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Nhị thức Newton (Thông hiểu) có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

***Cách 1:* **Ta có:

(a + 2b)$^{4}$

= a$^{4}$ + 4a$^{3}$.2b + 6a$^{2}$.(2b)$^{2}$ + 4a.(2b)$^{3}$ + (2b)$^{4}$

= a$^{4}$ + 8a$^{3}$b + 24a$^{2}$b$^{2}$ + 32ab$^{3}$ + 16b$^{4}$

Số hạng chứa ab$^{3}$ trong khai triển (a + 2b)$^{4}$ là: 32ab$^{3}$.

Vậy hệ số chứa ab$^{3}$ trong khai triển (a + 2b)$^{4}$ là 32.

Do đó ta chọn phương án B.

Cách 2:

Số hạng tổng quát trong khai triển (a + 2b)$^{4}$ là:

${C}_{4}^{k}{a}^{4-k}{(2b)}^{k}$ (với 0 ≤ k ≤ 4 và k ∈ ℤ).

$={C}_{4}^{k}{a}^{4-k}{2}^{k}{b}^{k}={2}^{k}{C}_{4}^{k}{a}^{4-k}{b}^{k}$

Để số hạng trên là số hạng chứa ab$^{3}$ thì $\{\begin{matrix}4-k=1 \\ k=3\end{matrix}\Leftrightarrow k=3(tm)$

Khi đó ta có số hạng đó là ${2}^{3}{C}_{4}^{3}{a}^{4-3}{b}^{3}=32{a}^{3}b$

Vậy hệ số của số hạng chứa ab$^{3}$ trong khai triển (a + 2b)$^{4}$ là 32.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Theo nhị thức Newton, ta có:

$P(x)={({x}^{3}-\frac{1}{{x}^{2}})}^{5}$

$={({x}^{3})}^{5}+5.{({x}^{3})}^{4}.(-\frac{1}{{x}^{2}})+10.{({x}^{3})}^{3}.{(-\frac{1}{{x}^{2}})}^{2}+10.{({x}^{3})}^{2}.{(-\frac{1}{{x}^{2}})}^{3}+5.{x}^{3}.{(-\frac{1}{{x}^{2}})}^{4}+{(-\frac{1}{{x}^{2}})}^{5}$

$={x}^{15}-5.{x}^{12}.\frac{1}{{x}^{2}}+10.{x}^{9}.\frac{1}{{x}^{4}}-10.{x}^{6}.\frac{1}{{x}^{6}}+5.{x}^{3}.\frac{1}{{x}^{8}}-\frac{1}{{x}^{10}}$

$={x}^{15}-5.{x}^{10}+10.{x}^{5}-10+5.\frac{1}{{x}^{5}}-\frac{1}{{x}^{10}}$

Ta thấy số hạng không chứa x là số hạng thứ 4 (theo chiều số mũ của x giảm dần).

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Theo công thức nhị thức Newton, ta có: ${({x}^{2}+\frac{1}{x})}^{4}$

$={({x}^{2})}^{4}+4.{({x}^{2})}^{3}.\frac{1}{x}+6.{({x}^{2})}^{2}.{(\frac{1}{x})}^{2}+4.{x}^{2}.{(\frac{1}{x})}^{3}+{(\frac{1}{x})}^{4}$

$={x}^{8}+4.{x}^{6}.\frac{1}{x}+6.{x}^{4}.\frac{1}{{x}^{2}}+4.{x}^{2}.\frac{1}{{x}^{3}}+\frac{1}{{x}^{4}}$

$={x}^{8}+4.{x}^{5}+6.{x}^{2}+4.\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{4}}$

Ta thấy số hạng có hệ số bằng 6 là 6x$^{2}$.

Suy ra m = 2.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

⦁ ${(3+\sqrt{2})}^{4}={3}^{4}+{4.3}^{3}.\sqrt{2}+{6.3}^{2}.{(\sqrt{2})}^{2}+4.3.{(\sqrt{2})}^{3}+{(\sqrt{2})}^{4}$.

⦁ ${(3-\sqrt{2})}^{4}={3}^{4}+{4.3}^{3}.(-\sqrt{2})+{6.3}^{2}.{(-\sqrt{2})}^{2}+4.3.{(-\sqrt{2})}^{3}+{(-\sqrt{2})}^{4}$.

Suy ra ${(3+\sqrt{2})}^{4}+{(3-\sqrt{2})}^{4}=2.[{3}^{4}+{6.3}^{2}.{(\sqrt{2})}^{2}+{(\sqrt{2})}^{4}]$

= 2.(81 + 6.9.2 + 4) = 386.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${(x+\frac{2}{\sqrt{x}})}^{4}$

$={x}^{4}+4{x}^{3}.(\frac{2}{\sqrt{x}})+6{x}^{2}.{(\frac{2}{\sqrt{x}})}^{2}+4x.{(\frac{2}{\sqrt{x}})}^{3}+{(\frac{2}{\sqrt{x}})}^{4}$

$={x}^{4}+4{x}^{3}.\frac{2}{\sqrt{x}}+6{x}^{2}.\frac{4}{x}+4x.\frac{8}{x\sqrt{x}}+\frac{16}{{x}^{2}}$

$={x}^{4}+8{x}^{2}\sqrt{x}+24x+\frac{32}{\sqrt{x}}+\frac{16}{{x}^{2}}$

Số hạng chứa x trong khai triển ${(x+\frac{2}{\sqrt{x}})}^{4}$ là 24x.

Do đó ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${(\frac{x}{2}+\frac{a}{x})}^{5}$

$={(\frac{x}{2})}^{5}+5.{(\frac{x}{2})}^{4}.(\frac{a}{x})+10.{(\frac{x}{2})}^{3}.{(\frac{a}{x})}^{2}+10.{(\frac{x}{2})}^{2}.{(\frac{a}{x})}^{3}+5.\frac{x}{2}.{(\frac{a}{x})}^{4}+{(\frac{a}{x})}^{5}$

$=\frac{{x}^{5}}{{2}^{5}}+5.\frac{{x}^{4}}{{2}^{4}}.\frac{a}{x}+10.\frac{{x}^{3}}{{2}^{3}}.\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}+10.\frac{{x}^{2}}{{2}^{2}}.\frac{{a}^{3}}{{x}^{3}}+5.\frac{x}{2}.\frac{{a}^{4}}{{x}^{4}}+\frac{{a}^{5}}{{x}^{5}}$

$=\frac{1}{{2}^{5}}{x}^{5}+\frac{5a}{{2}^{4}}{x}^{3}+\frac{10.{a}^{2}}{{2}^{3}}x+\frac{10{a}^{3}}{{2}^{2}}.\frac{1}{x}+\frac{5{a}^{4}}{2}.\frac{1}{{x}^{3}}+\frac{{a}^{5}}{{x}^{5}}$

Số hạng chứa $\frac{1}{{x}^{3}}$ trong khai triển ${(\frac{x}{2}+\frac{a}{x})}^{5}$ là: $\frac{5{a}^{4}}{2}.\frac{1}{{x}^{3}}$.

Theo đề, ta có hệ số của số hạng chứa $\frac{1}{{x}^{3}}$ là 640.

Tức là, $\frac{5{a}^{4}}{2}=640$.

⇔ 5a$^{4}$ = 1 280

⇔ a$^{4}$ = 256

⇔ a = 4 hoặc a = –4.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có ${A}_{n}^{2}-{C}_{n+1}^{n-1}=5$ (n ∈ ℤ, n ≥ 2)

$\Leftrightarrow \frac{n!}{(n-2)!}-\frac{(n+1)!}{(n-1)!(n+1-n+1)!}=5$

$\Leftrightarrow \frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!}-\frac{(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!2!}=5$

$\Leftrightarrow n(n-1)-\frac{(n+1)n}{2}=5$

⇔ 2n$^{2}$ – 2n – n$^{2}$ – n = 10

⇔ n$^{2}$ – 3n – 10 = 0

⇔ n = 5 hoặc n = –2.

Vì n nguyên dương nên ta nhận n = 5.

Vậy ta chọn phương án D.