8 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ (Thông dụng) có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với I(1; 1) và M(2; 2) ta có $\overrightarrow{IM}=(1;1)$.

Bán kính của đường tròn là: R = IM = $|\overrightarrow{IM}|=\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{2}$.

Phương trình đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R = $\sqrt{2}$ là:

(x – 1)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ = 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

(C) là đường tròn đường kính AB nên (C) có tâm là trung điểm của AB và bán kính bằng một nửa đường kính AB.

Gọi I là trung điểm của AB.

Với A(1; 4) và B(5; 6), suy ra I(3; 5) và $\overrightarrow{AB}=(5-1;6-4)=(4;2)$

Độ dài AB = $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

Suy ra R = $\frac{1}{2}AB=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$

Phương trình đường tròn đường kính AB là: (x – 3)$^{2}$ + (y – 5)$^{2}$ = 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(1; 1) tại điểm M(3; 3) nằm trên đường tròn là:

(1 – 3)(x – 3) + (1 – 3)(y – 3) = 0

Hay –2x – 2y + 12 = 0 $\Leftrightarrow$x + y – 6 = 0.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường tròn có phương trình x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2x – 4y + 4 = 0 có tâm I(1; 2).

Điểm M nằm trên trục tung nên M(0; y$_{0}$).

Thay x = 0 vào phương trình đường tròn ta được:

0$^{2}$ + y$_{0}$$^{2}$ – 2 . 0 – 4y$_{0}$ + 4 = 0 $\Leftrightarrow$ y$_{0}$$^{2}$ – 4y$_{0}$ + 4 = 0.

$\Leftrightarrow$ (y$_{0}$ – 2)$^{2}$ = 0 Û y$_{0}$ – 2 = 0 $\Leftrightarrow$ y$_{0}$ = 2.

Khi đó M(0; 2).

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(1; 2) tại điểm M(0; 2) là:

(1 – 0)(x – 0) + (2 – 2)(y – 2) = 0

$\Leftrightarrow$ x = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Khi đó $M(\frac{3}{2};2),\ N(\frac{5}{2};\frac{7}{2})$

Đường trung trực d của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua M và nhận $\overrightarrow{AB}=(1;2)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

$x-\frac{3}{2}+2(y-2)=0\Leftrightarrow 2x+4y-11=0$

Đường trung trực $\Delta$ của đoạn thẳng AC là đường thẳng đi qua N và nhận $\overrightarrow{AC}=(3;5)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

$3(x-\frac{5}{2})+5(y-\frac{7}{2})=0\Leftrightarrow 3x+5y-25=0$

Đường thẳng d cắt đường thẳng $\Delta$ cắt nhau tại điểm $I(\frac{45}{2};-\frac{17}{2})$ cách đều ba điểm A, B, C.

Do đó đường tròn đi qua ba điểm A, B, C có tâm $I(\frac{45}{2};-\frac{17}{2})$ và bán kính ${R}^{2}=I{A}^{2}={(1-\frac{45}{2})}^{2}+{(1+\frac{17}{2})}^{2}=\frac{1105}{2}$

Ta có ${(\frac{45}{2})}^{2}+{(-\frac{17}{2})}^{2}-\frac{1105}{2}=26$

Khi đó đường tròn (C) có phương trình là:

x$^{2}$ + y$^{2}$ – 45x + 17y + 36 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi M là tiếp điểm của đường thẳng d và đường tròn.

Khi đó IM = R và IM là khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d.

Ta có: d(I, d) = $\frac{|1+2-2|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Suy ra R = IM = $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Phương trình đường tròn (I) là: (x – 1)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ = $\frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta loại phương án D vì không có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2ax – 2by + c = 0.

Xét phương án A: x$^{2}$ + y$^{2}$ + 2x – 4y + 9 = 0 có a = –1, b = 2 và c = 9.

Do đó a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = (–1)$^{2}$ + 2$^{2}$ – 9 = –4 < 0 nên loại A.

Xét phương án B: x$^{2}$ + y$^{2}$ – 6x + 4y + 13 = 0 có a = 3; b = –2 và c = 13

Do đó a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = 3$^{2}$ + (–2)$^{2}$ – 13 = 0 nên loại B.

Xét phương án C: 2x$^{2}$ + 2y$^{2}$ – 8x – 4y + 2 = 0

$\Leftrightarrow$ x$^{2}$ + y$^{2}$ – 4x – 2y + 1 = 0.

Có a = 2; b = 1 và c = 1.

Do đó a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = 2$^{2}$ + 1$^{2}$ – 1 = 4 > 0 nên chọn C.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường tròn (x – 1)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ = 4 có tâm I(1; 2) và bán kính R = 2.

Do tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng x + 2y – 3 = 0 nên phương trình tiếp tuyến có dạng: x + 2y + c = 0 (c ≠ – 3).

Khoảng cách từ I đến phương trình tiếp tuyến d chính bằng bán kính đường tròn và bằng R = 2.

Hay d(I, d) = 2 $\Leftrightarrow \frac{|1+2.2+c|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}=2$

$\Rightarrow |c+5|=2\sqrt{5}\Leftrightarrow c=-5\pm 2\sqrt{5}$ (thỏa mãn c ≠ – 3)

Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến thỏa mãn.