8 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Định lí côsin và định lí sin có đáp án (Thông hiểu)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Nửa chu vi của tam giác ABC là:

$p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{21 + 17 + 10}}{2} = 24$.

Diện tích tam giác ABC là:

${S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}$

$= \sqrt {24\left( {24 - 21} \right)\left( {24 - 17} \right)\left( {24 - 10} \right)} = 84$ (đơn vị diện tích)

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nửa chu vi của ∆ABC là: $p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{5 + 6 + 7}}{2} = 9$.

Diện tích của ∆ABC là:

$S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}$

$= \sqrt {9\left( {9 - 5} \right)\left( {9 - 6} \right)\left( {9 - 7} \right)} = 6\sqrt 6$ (đơn vị diện tích)

Ta có S = p.r

$\Leftrightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{6\sqrt 6 }}{9} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}$.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí côsin cho DABC, ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ –2.AB.AC.cosA

= 3$^{2}$ + 6$^{2}$ – 2.3.6.cos60°

= 27.

Suy ra $BC = \sqrt {27} = 3\sqrt 3$.

Áp dụng định lí sin, ta có $\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R$.

Suy ra $R = \frac{{BC}}{{2.\sin A}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{2.\sin 60^\circ }} = 3$.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có ∆ABC đều cạnh a.

Suy ra AB = AC = BC = a.

Nửa chu vi ∆ABC là: $p = \frac{{a + a + a}}{2} = \frac{{3a}}{2}$.

Diện tích ∆ABC là:

$S = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)}$

$= \sqrt {\frac{{3a}}{2}\left( {\frac{{3a}}{2} - a} \right)\left( {\frac{{3a}}{2} - a} \right)\left( {\frac{{3a}}{2} - a} \right)}$

$= \sqrt {\frac{{3a}}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2}} = \frac{{{a^2}.\sqrt 3 }}{4}$ (đơn vị diện tích)

Ta có $S = \frac{{AB.AC.BC}}{{4R}}$.

Suy ra $R = \frac{{AB.AC.BC}}{{4S}} = \frac{{a.a.a}}{{4.\frac{{{a^2}.\sqrt 3 }}{4}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí côsin cho DABC, ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2AB.AC.cosA

= 5$^{2}$ + 10$^{2}$ – 2.5.10.cos60°

= 75.

Suy ra BC = $\sqrt {75} = 5\sqrt 3$.

Diện tích ∆ABC là:

$S = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.5.10.\sin 60^\circ = \frac{{25\sqrt 3 }}{2}$ (đơn vị diện tích)

Ta có $S = \frac{1}{2}BC.{h_a}$

Suy ra ${h_a} = \frac{{2S}}{{BC}} = \frac{{2.25\sqrt 3 }}{{2.5\sqrt 3 }} = 5$.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì ABCD là hình thoi có cạnh bằng 1 cm nên ta có AB = BC = 1 cm và AC = $\sqrt 3$ cm.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho DABC, ta có:

$\cos \widehat {BAC} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \frac{{{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - {1^2}}}{{2.1.\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Suy ra $\widehat {BAC} = 30^\circ$.

Vì ABCD là hình thoi nên đường chéo AC là tia phân giác của $\widehat {BAD}$.

Suy ra $\widehat {BAD} = 2\widehat {BAC} = 2.30^\circ = 60^\circ$.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí côsin cho DABC, ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2.AB.AC.cosA

= 5$^{2}$ + 8$^{2}$ – 2.5.8.cos60°

= 49.

Suy ra BC = $\sqrt {49} = 7$.

Diện tích ∆ABC là:

$S = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.5.8.\sin 60^\circ = 10\sqrt 3$ (đơn vị diện tích)

Nửa chu vi của ∆ABC là:

$p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{5 + 8 + 7}}{2} = 10$.

Ta có S = pr

$\Leftrightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{10\sqrt 3 }}{{10}} = \sqrt 3$.

Vậy bán kính r của đường tròn nội tiếp của ∆ABC bằng $\sqrt 3$.

Do đó ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Do ∆ABC đều nên $\widehat {BAC} = 60^\circ$.

Áp dụng định lí sin cho ∆ABC, ta có $\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = 2R$

⇔ BC = 2R.sinA = 2.4.sin60° = $4\sqrt 3$.

Vì ∆ABC đều nên ta có AB = AC = BC = $4\sqrt 3$.

Diện tích ∆ABC là:

$S = \frac{{AB.AC.BC}}{{4R}} = \frac{{4\sqrt 3 .4\sqrt 3 .4\sqrt 3 }}{{4.4}} = 12\sqrt 3$ (cm$^{2}$)

Do đó ta chọn phương án C.