8 bài tập Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế (có lời giải)

a) Ta có:

$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - y = 3\\3x - 4y = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = x - 3\\3 - 4y = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = x - 3\\3x - 4(x - 3) = 2\end{array} \right.\end{array}$$

$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = x - 3\\ - x + 12 = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = x - 3\\x = 10\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 7\end{array} \right.\end{array}$$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (10;7)

b)$\left\{ \begin{array}{l}7x - 3y = 5\\4x + y = 2\end{array} \right.$

$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}7x - 3y = 5\\y = 2 - 4x\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}7x - 3(2 - 4x) = 5\\y = 2 - 4x\end{array} \right.\end{array}$$

$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}7x - 6 + 12x = 5\\y = 2 - 4x\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}19x = 11\\y = 2 - 4x\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{11}}{{19}}\\y = \frac{{ - 6}}{{19}}\end{array} \right.\end{array}$$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất: $\left( {\frac{{11}}{{19}};\frac{{ - 6}}{{19}}} \right)$

c)

$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = - 2\\5x - 4y = 11\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 - 3y\\5( - 2 - 3y) - 4y = 11\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 - 3y\\ - 10 - 19y - 4y = 11\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{25}}{{19}}\\y = \frac{{ - 21}}{{19}}\end{array} \right.\end{array}$$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\left( {\frac{{25}}{{19}};\frac{{ - 21}}{{19}}} \right)$

a) Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có y = $\frac{{3x - 11}}{2}$ thay y vào phương trình thứ 2

$4x - 5 \cdot \frac{{3x - 11}}{2}$= 3

$- 7x = - 49$ hay $x = 7$

Từ đó: y = $\frac{{3.7 - 11}}{2} = 5$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (7;5)

b)Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:

$$\begin{array}{l}\frac{y}{3} = \frac{x}{2} - 1\\y = \frac{{3.x}}{2} - 3\end{array}$$

Thế y vào phương trình thứ 2: $5x - 8.(\frac{{3x}}{2} - 3) = 3\,\,hay - 7x = - 21$

Suy ra: $x = 3.$Từ đó y = $\frac{{3.3}}{2} - 3 = \frac{3}{2}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (3; $\frac{3}{2}$)

a) Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: $x = - y\sqrt 5$. Thay vào phường trình thứ 2 ta được: $\begin{array}{l}( - y\sqrt 5 ).\sqrt 5 + 3y = 1 - \sqrt 5 \\ - 2y = 1 - \sqrt 5 \\y = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}\end{array}$

Từ đó: $x = - \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}.\sqrt 5 = \frac{{\sqrt 5 - 5}}{2}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\left( {\frac{{\sqrt 5 - 5}}{2};\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}} \right)$

b) Từ phương trình thứ 2 của hệ ta có: $y = 4 - 2\sqrt 3 - 4x$ thay y vào phương trình thứ 2 ta được: $(2 - \sqrt 3 ).x - 3.(4 - 2\sqrt 3 - 4x) = 2 + 5\sqrt 3$

$(14 - \sqrt 3 ).x = 14 - \sqrt 3 \,hay\,x = 1$. Từ đó $y = - 2\sqrt 3$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(1; - 2\sqrt 3 )$

a) Với a = -1 ta có hệ : $\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 1\\2x + 6y = - 2\end{array} \right.$

$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3y\\2(1 - 3y) + 6y = - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3y\\2 = - 2\end{array} \right.\end{array}$$

Hệ phương trình vô nghiệm

b) Với $a = 0$ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 1\\x + 6y = 0\end{array} \right.$

$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3y\\1 - 3y + 6y\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3y\\y = \frac{{ - 1}}{3}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \frac{{ - 1}}{3}\end{array} \right.\end{array}$$

Hệ có nghiệm (2;$\frac{{ - 1}}{3}$)

c) Với a= 1 ta có hệ

$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 1\\2x + 6y = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 1\\2x + 6y = 2\end{array} \right.\end{array}$$

Hệ có vô số nghiệm theo công thức $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3y\\y \in R\end{array} \right.$

a) Ta có:

$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 5\\5x + 2y = 23\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 5\\5x + 2(3x - 5) = 23\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 5\\11x = 33\end{array} \right.\end{array}$$

$$\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.$$

Vậy hệ có nghiệm (3;4)

b)

$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x + 5y = 1\\2x - y = - 8\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 2x + 8\\3x + 5(2x + 8) = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 2x + 8\\13x = - 39\end{array} \right.\end{array}$$

$$\left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 2\end{array} \right.$$

Vậy hệ có nghiệm (-3;2)

c)

$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{y} = \frac{2}{3}\\x + y - 10 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3x = 2y\\y = 10 - x\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 10 - x\\3x = 2(10 - x)\end{array} \right.\end{array}$$

$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 10 - x\\5x = 20\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 6\end{array} \right.\end{array}$$

Vậy hệ có nghiệm (4;6)

a)

$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1\\x + y\sqrt 3 = \sqrt 2 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 - y\sqrt 3 \\\sqrt 2 (\sqrt 2 - y\sqrt 3 ) - y\sqrt 3 = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 - y\sqrt 3 \\y = \frac{1}{{\sqrt 3 (\sqrt 2 + 1)}}\end{array} \right.\end{array}$$

$$\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = \frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.$$

Vậy hệ có nghiệm $(1;\frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 3 }})$

$$\begin{array}{l}b)\left\{ \begin{array}{l}x - 2\sqrt 2 y = \sqrt 5 \\x\sqrt 2 + y = 1 - \sqrt {10} \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\sqrt 2 + \sqrt 5 \\\sqrt 2 (2\sqrt 2 y + 5) + y = 1 - \sqrt {10} \end{array} \right.\end{array}$$

$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\sqrt 2 y + \sqrt 5 \\5y = 1 - 2\sqrt {10} \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2\sqrt 2 - 3\sqrt 5 }}{5}\\y = \frac{{1 - 2\sqrt {10} }}{5}\end{array} \right.\end{array}$$

Vậy hệ có nghiệm $\left( {\frac{{2\sqrt 2 - 3\sqrt 5 }}{5};\frac{{1 - 2\sqrt {10} }}{5}} \right)$

c)

$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}(\sqrt 2 - 1)x - y = \sqrt 2 \\x + (\sqrt 2 + 1)y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = (\sqrt 2 - 1)x - \sqrt 2 \\x + (\sqrt 2 + 1)\left[ {(\sqrt 2 - 1)x - \sqrt 2 } \right] = 1\end{array} \right.\end{array}$$

$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = (\sqrt 2 - 1)x - \sqrt 2 \\3x = 3 + \sqrt 2 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{3 + \sqrt 2 }}{2}\\y = (\sqrt 2 - 1).\frac{{3 + \sqrt 2 }}{2} - \sqrt 2 = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\end{array}$$

Vậy hệ có nghiệm :$\left[ {\frac{{3 + \sqrt 2 }}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right]$

a) Vì: (1;-2) là nghiệm của hệ nên thay x=1, y=-2 vào hệ ta có:

$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2 - 2b = - 4\\b + 2a = - 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = 3\\a = \frac{{ - 5 - b}}{2} = - 4\end{array} \right.\end{array}$$

Vậy với $a = - 4,{\rm{ }}b = 3$thì hệ đã cho có nghiệm (1; -2)

b) Tương tự thay x = $\sqrt 2 - 1,y = \sqrt 2$ vào hệ ta được.

Vậy với a= $\frac{{ - 2 + 5\sqrt 2 }}{2}$ và $b = - 2 - \sqrt 2$

Thì hệ đã cho có nghiệm ($\sqrt 2 - 1;\sqrt 2$)

${\rm{P(x)}}$ chia hết cho

$\begin{array}{l}x + 1\\P( - 1) = - m + (m - 2) + (3n - 5) - 4n = 0\end{array}$

$- 7 - n = 0$ (1)

${\rm{P}}(x)$ chia hết cho

$\begin{array}{l}x - 3\\{\rm{P}}( - 3) = 27m + 9(m - 2) - 3(3n - 5) - 4n = 0\end{array}$

$36m - 13n = 3$ (2)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình ẩn $m$ và $n$

$$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - 7 - n = 0\\36m - 13n = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}n = - 7\\m = \frac{{ - 22}}{9}\end{array} \right.\end{array}$$

Vậy với $m = - \frac{{22}}{9}$ và $n = - 7$ thì đa thức P(x) đồng thời chia hết cho $x + 1$ và $x - 3$