75 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án - Đề 3

Chọn A

Đặt không gian $Oxyz$ với $A \equiv O(0;0;0),{\rm{ }}AB \equiv Ox,{\rm{ }}AD \equiv Oy,{\rm{ }}AS \equiv Oz$.

Ta có: $S(0;0;a),{\rm{ }}B(a;0;0),{\rm{ }}D(0;2a;0),{\rm{ }}C(a;a;0)$.

$M(\frac{a}{2};0;\frac{a}{2}),{\rm{ }}N(\frac{a}{2};\frac{{3a}}{2};0)$

$\overrightarrow {MN} = (0;\frac{{3a}}{2};\frac{{ - a}}{2})$

$$\overrightarrow {AS} = (0;0;a),\overrightarrow {{\rm{ }}AC} = (a;a;0)$$

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {AC} } \right] = ( - {a^2};{a^2};0)$ là vtpt của mặt phẳng $(SAC)$.

$\sin (MN;(SAC)) = \frac{{\overrightarrow {MN} .{{\overrightarrow n }_{(SAC)}}}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|\left| {{{\overrightarrow n }_{(SAC)}}} \right|}} = \frac{{\frac{{3{a^3}}}{2}}}{{\sqrt {\frac{{9{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4}} .\sqrt {{a^4} + {a^4}} }} = \frac{{3\sqrt 5 }}{{10}}$.

Chọn C

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$như hình vẽ. Đặt $SO = m\,,\,\,\left( {m > 0} \right)$.

$A\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right);\,S\left( {0;0;m} \right);\,N\left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{4};\,\frac{{a\sqrt 2 }}{4};0} \right)$$\Rightarrow M\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{4};\,0;\,\frac{m}{2}} \right)$.$\Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{4}; - \frac{m}{2}} \right)$. Mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

$\Rightarrow \sin \left( {MN,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{{\frac{m}{2}}}{{\sqrt {\frac{{5{a^2}}}{8} + \frac{{{m^2}}}{4}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow {m^2} = \frac{{15{a^2}}}{8} + \frac{{3{m^2}}}{4}$.

$$\Rightarrow 2{m^2} = 15{a^2} \Rightarrow m = \frac{{a\sqrt {30} }}{2}$$

$\Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{4}; - \frac{{a\sqrt {30} }}{4}} \right)$, mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$.

$\Rightarrow \sin \left( {MN,\,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{8} + \frac{{30{a^2}}}{{16}}} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow c{\rm{os}}\left( {MN,\,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$.

Chọn B

Trong $\left( {SAB} \right)$, kẻ $SH \bot AB$ tại $H$. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right),SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)$.

Kẻ tia $Az$//$SH$ và chọn hệ trục tọa độ $Axyz$ như hình vẽ sau đây.

Trong tam giác $SAB$ vuông tại $S$, $SB=AB.\cos \widehat{SBA}=a.\cos {30}^{0}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Trong tam giác $SBH$ vuông tại $H$, $BH=SB.\cos \widehat{SBH}=\frac{3a}{4}vàSH=BH.\sin \widehat{SBA}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

$AH = AB - BH = a - \frac{{3a}}{4} = \frac{a}{4}$ $\Rightarrow H\left( {0;\frac{a}{4};0} \right) \Rightarrow S\left( {0;\frac{a}{4};\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)$.

$M\left( {0;\frac{a}{2};0} \right)$, $D\left( {a;0;0} \right)$, $N\left( {\frac{a}{2};a;0} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {SM} = \left( {0;\frac{a}{4}; - \frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)$, $\overrightarrow {DN} = \left( { - \frac{a}{2};a;0} \right)$ $\Rightarrow$$\cos \left( {SM,DN} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {DN} } \right|}}{{SN.DN}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{4}}}{{\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 5 }}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}$.

Chọn D

Ta có $BC \bot \left( {SAB} \right)$$\Rightarrow BC \bot AM$$\Rightarrow AM \bot \left( {SBC} \right)$$\Rightarrow AM \bot SC$. Tương tự ta cũng có $AN \bot SC$$\Rightarrow \left( {AMN} \right) \bot SC$. Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $SB$ và $\left( {AMN} \right)$.

Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho $A\left( {0;0;0} \right)$, $B\left( {0;1;0} \right)$, $D\left( {1;0;0} \right)$, $S\left( {0;0;\sqrt 2 } \right)$,

$C\left( {1;1;0} \right)$, $\overrightarrow {SC} = \left( {1;1; - \sqrt 2 } \right)$, $\overrightarrow {SB} = \left( {0;1; - \sqrt 2 } \right)$. Do $\left( {AMN} \right) \bot SC$ nên $\left( {AMN} \right)$ có vtpt $\overrightarrow {SC}$

$\sin φ=\frac{|3|}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow φ={60}^{\text{o}}$

Chọn C

Đặt hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ. Khi đó, ta có $A\left( {0;0;0} \right)$, $B\left( {a;0;0} \right)$, $D\left( {0;a\sqrt 3 ;0} \right)$, $S\left( {0;0;a} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {BD} = \left( { - a;a\sqrt 3 ;0} \right) = a\left( { - 1;\sqrt 3 ;0} \right)$, nên đường thẳng $BD$ có véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - 1;\sqrt 3 ;0} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {SB} = \left( {a;0; - a} \right)$, $\overrightarrow {BC} = \left( {0;a\sqrt 3 ;0} \right)$ $\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {{a^2}\sqrt 3 ;0;{a^2}\sqrt 3 } \right)$$= {a^2}\sqrt 3 \left( {1;0;1} \right)$.

Như vậy, mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$có véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;0;1} \right)$.

Do đó, $\alpha$ là góc tạo bởi giữa đường thẳng $BD$ và mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ thì

$\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}$$= \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + \sqrt 3 .0 + 0.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\sqrt 3 }^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }}$$= \frac{{\sqrt 2 }}{4}$.

Chọn D

Gắn hệ trục tọa độ ${\rm{Ox}}yz$ như hình vẽ $\Rightarrow P\left( {0;0;0} \right),\,A\left( {3;0;0} \right),\,B\left( {0;\sqrt 3 ;0} \right),\,C\left( {0; - \sqrt 3 ;0} \right),\,A'\left( {3;0;2} \right),\,B'\left( {0;\sqrt 3 ;2} \right),\,C'\left( {0; - \sqrt 3 ;2} \right)$

nên $M\left( {\frac{3}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};2} \right),\,N\left( {\frac{3}{2}; - \frac{{\sqrt 3 }}{2};2} \right)$

Ta có vtpt của mp$\left( {AB'C'} \right)$ là $\overrightarrow {{n_1}} = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AC'} } \right] = \left( {2;0;3} \right)$ và vtpt của mp$\left( {MNP} \right)$ là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {4;0; - 3} \right)$

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {AB'C'} \right)$ và mp$\left( {MNP} \right)$$\Rightarrow c{\rm{os}}\varphi = \left| {c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {8 - 9} \right|}}{{\sqrt {13} \sqrt {25} }} = \frac{{\sqrt {13} }}{{65}}$

Chọn D

Gọi $H$ là trung điểm $BC$, $BC = a\sqrt 3$, $AH = \frac{a}{2}$.

Chọn hệ trục tọa độ $H\left( {0;0;0} \right)$, $A\left( {\frac{a}{2};0;0} \right)$, $B\left( {0;\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right)$, $C\left( {0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right)$,

$M\left( {0;0;a} \right)$, $N\left( {0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{a}{2}} \right)$. Gọi $\varphi$ là góc giữa mặt phẳng$\left( {AMN} \right)$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

$\left( {AMN} \right)$ có một vtpt $\vec n = \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AN} } \right]$$= \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 1}}{4};\frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)$

$\left( {ABC} \right)$ có một vtpt $\overrightarrow {HM}$$= \left( {0;0;1} \right)$, từ đó $\cos \varphi = \frac{{\left| {\vec n.\overrightarrow {HM} } \right|}}{{\left| {\vec n} \right|HM}}$$= \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{4}}}{{1.1}}$$= \frac{{\sqrt 3 }}{4}$.

Chọn C

Chọn hệ trục tọa độ và chuẩn hóa cho $a = 1$ sao cho $A\left( {0;0;0} \right)$, $B\left( {0;1;0} \right)$, $D\left( {1;0;0} \right)$, $S\left( {0;0;2} \right)$

Ta có $M$ là trung điểm $SD$$\Rightarrow M\left( {\frac{1}{2};0;1} \right)$, $C\left( {1;1;0} \right)$.

$\overrightarrow {AM} = \left( {\frac{1}{2};0;1} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( {1;1;0} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1;1;\frac{1}{2}} \right)$$\Rightarrow \left( {AMC} \right)$ có một vtpt $\vec n = \left( { - 2;2;1} \right)$

$\overrightarrow {SB} = \left( {0;1; - 2} \right)$, $\overrightarrow {SC} = \left( {1;1; - 2} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {0;2;1} \right)$$\Rightarrow \left( {SBC} \right)$ có một vtpt $\vec k = \left( {0;2;1} \right)$

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {AMC} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ thì $\cos \alpha = \frac{{\left| {\vec n.\vec k} \right|}}{{\left| {\vec n} \right|.\left| {\vec n} \right|}}$$= \frac{{\sqrt 5 }}{3}$

Do $\tan \alpha > 0$ nên $\tan \alpha = \sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1}$$= \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$.

Chọn D

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ. Khi đó

$S\left( {0;\,0;\,\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$; $A\left( {\frac{{ - a}}{2};0;\,0} \right)$; $B\left( {\frac{a}{2};0;\,0} \right)$;$C\left( {\frac{a}{2};a;\,0} \right)$; $D\left( {\frac{{ - a}}{2};a;\,0} \right)$

suy ra $G\left( {0;\,0;\,\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)$; $M\left( {\frac{a}{4};\frac{a}{2};\,\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)$; $N\left( { - \frac{a}{4};\frac{a}{2};\,\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)$

Ta có mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$có vectơ pháp tuyến là $\vec k = \left( {0;\,0;\,1} \right)$, mặt phẳng $\left( {GMN} \right)$có vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left[ {\overrightarrow {GM} ;\,\overrightarrow {GN} } \right] = \left( {0;\, - \frac{{a\sqrt 3 }}{{24}};\,\frac{a}{4}} \right)$

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {GMN} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$, ta có

${\rm{cos}}\alpha = \frac{{\left| {\vec n.\vec k} \right|}}{{\left| {\vec n} \right|.\left| {\vec k} \right|}}$$= \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{{\sqrt {39} }}{{24}}}}$$= \frac{{2\sqrt {39} }}{{13}}$.

Chọn B

Gọi $O$là trung điểm của $BC$. Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Ta có: $OB=AB\sin 60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2};OA=AB\cos 60^{\circ}=\frac{a}{2}$

Giả sử $a = 1$ suy ra $A\left( {\frac{1}{2};0;0} \right)$, $B\left( {0; - \frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)$,$C\left( {0;\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)$, $I\left( {0;\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2}} \right)$, $B'\left( {0; - \frac{{\sqrt 3 }}{2};1} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;0; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ và $\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AI} } \right] = \left( { - \frac{{3\sqrt 3 }}{4}; - \frac{1}{4}; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$

Gọi $\alpha$ là góc giữa $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {AB'I} \right)$. Suy ra: $\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \sqrt {\frac{3}{{10}}} = \frac{{\sqrt {30} }}{{10}}$.