7 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Phương trình quy về phương trình bậc hai (Vận dụng) có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\frac{\sqrt{{x}^{2}-3x-4}}{x+1}=-2$.

$\Rightarrow \sqrt{{x}^{2}-3x-4}=-2(x+1)$.

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được:

x$^{2}$ – 3x – 4 = 4(x + 1)$^{2}$

⇒ x$^{2}$ – 3x – 4 = 4(x$^{2}$ + 2x + 1)

⇒ 3x$^{2}$ + 11x + 8 = 0

⇒ x = –1 hoặc $x=-\frac{8}{3}$.

Với x = –1, ta có $\frac{\sqrt{{(-1)}^{2}-3.(-1)-4}}{-1+1}=-2$ (vô lý)

Với $x=-\frac{8}{3}$, ta có $\frac{\sqrt{{(-\frac{8}{3})}^{2}-3.(-\frac{8}{3})-4}}{-\frac{8}{3}+1}=-2$ (đúng)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị x = –1 và $x=-\frac{8}{3}$ vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có $x=-\frac{8}{3}$ thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=-\frac{8}{3}$.

Khi đó a = –8 và b = 3 (do b > 0).

Suy ra a$^{2}$ – b$^{2}$ = (–8)$^{2}$ – 3$^{2}$ = 55.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

$4\sqrt{2{x}^{2}-3x+1}=\sqrt{9{x}^{2}+54x+81}$

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được 16(2x$^{2}$ – 3x + 1) = 9x$^{2}$ + 54x + 81

⇒ 23x$^{2}$ – 102x – 65 = 0

⇒ x = 5 hoặc $x=-\frac{13}{23}$.

Khi thay x = 5 và $x=-\frac{13}{23}$ vào phương trình đã cho, ta thấy cả x = 5 và $x=-\frac{13}{23}$ đều thỏa mãn.

Với x = 5, ta có $y=4\sqrt{{2.5}^{2}-3.5+1}=24$.

Suy ra tọa độ giao điểm A(5; 24).

Với $x=-\frac{13}{23}$, ta có $y=4\sqrt{2.{(-\frac{13}{23})}^{2}-3.(-\frac{13}{23})+1}=\frac{168}{23}$.

Suy ra tọa độ giao điểm $B(-\frac{13}{23};\frac{168}{23})$.

Vậy hai đồ thị có hai giao điểm là A(5; 24) và $B(-\frac{13}{23};\frac{168}{23})$.

Ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $\sqrt{{x}^{2}+x+10-2\sqrt{{x}^{2}+x+7}}=\sqrt{{x}^{2}+x+15-6\sqrt{{x}^{2}+x+7}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{x}^{2}+x+7-2\sqrt{{x}^{2}+x+7}+3}=\sqrt{{x}^{2}+x+7-6\sqrt{{x}^{2}+x+7}+8}$ (1)

Đặt $t=\sqrt{{x}^{2}+x+7}$, t ≥ 0.

Phương trình (1) tương đương với: $\sqrt{{t}^{2}-2t+3}=\sqrt{{t}^{2}-6t+8}$

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được:

t$^{2}$ – 2t + 3 = t$^{2}$ – 6t + 8

⇒ 4t = 5

⇒ $t=\frac{5}{4}$ (nhận)

Với $t=\frac{5}{4}$, ta có $\sqrt{{(\frac{5}{4})}^{2}-2.\frac{5}{4}+3}=\sqrt{{(\frac{5}{4})}^{2}-6.\frac{5}{4}+8}$ (đúng)

Vì vậy khi thay $t=\frac{5}{4}$ vào phương trình $\sqrt{{t}^{2}-2t+3}=\sqrt{{t}^{2}-6t+8}$, ta thấy $t=\frac{5}{4}$ thỏa mãn.

Với $t=\frac{5}{4}$, ta có $\sqrt{{x}^{2}+x+7}=\frac{5}{4}$.

Bình phương hai vế phương trình trên, ta được ${x}^{2}+x+7=\frac{25}{16}$.

⇒ ${x}^{2}+x+\frac{87}{16}=0$ (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Khi đó tập nghiệm của phương trình ban đầu là: ∅.

Ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: $\sqrt{3x-4}=x-3$.

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được 3x – 4 = (x – 3)$^{2}$

⇒ 3x – 4 = x$^{2}$ – 6x + 9

⇒ x$^{2}$ – 9x + 13 = 0

⇒ $x=\frac{9+\sqrt{29}}{2}$ hoặc $x=\frac{9-\sqrt{29}}{2}$.

Với $x=\frac{9+\sqrt{29}}{2}$, ta có $\sqrt{3.\frac{9+\sqrt{29}}{2}-4}=\frac{9+\sqrt{29}}{2}-3$ (đúng)

Với $x=\frac{9-\sqrt{29}}{2}$, ta có $\sqrt{3.\frac{9-\sqrt{29}}{2}-4}=\frac{9-\sqrt{29}}{2}-3$ (sai)

Vì vậy khi thay lần lượt $x=\frac{9+\sqrt{29}}{2}$ và $x=\frac{9-\sqrt{29}}{2}$ vào phương trình $\sqrt{3x-4}=x-3$, ta thấy chỉ có $x=\frac{9+\sqrt{29}}{2}$ thỏa mãn.

Vậy hai đồ thị cắt nhau tại một giao điểm.

Do đó ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $(x-2)\sqrt{2x+7}={x}^{2}-4$

$\Leftrightarrow (x-2)\sqrt{2x+7}=(x-2)(x+2)$

$\Leftrightarrow (x-2)(\sqrt{2x+7}-x-2)=0$

⇔ x – 2 = 0 hoặc $\sqrt{2x+7}-x-2=0$

⇔ x = 2 hoặc $\sqrt{2x+7}=x+2$ (2)

Giải (2):

Bình phương hai vế của phương trình (2), ta được:

2x + 7 = (x + 2)$^{2}$

⇒ 2x + 7 = x$^{2}$ + 4x + 4

⇒ x$^{2}$ + 2x – 3 = 0

⇒ x = 1 hoặc x = –3.

Với x = 1, ta có $\sqrt{2.1+7}=1+2$ (đúng)

Với x = –3, ta có $\sqrt{2.(-3)+7}=-3+2$ (sai)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị x = 1 và x = –3 vào phương trình (2), ta thấy chỉ có x = 1 thỏa mãn.

Do đó phương trình (2) có nghiệm là x = 1.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2 hoặc x = 1.

Khi đó tổng bình phương các nghiệm của phương trình đã cho là: 2$^{2}$ + 1$^{2}$ = 5.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Theo đề, ta có MN dài hơn MP 10 cm nên MN = MP + 10.

Xét ∆MNP vuông tại M có MN$^{2}$ + MP$^{2}$ = NP$^{2}$ (Định lí Pythagore)

Suy ra (MP + 10)$^{2}$ + MP$^{2}$ = NP$^{2}$

Hay MP$^{2}$ + 20MP + 100 + MP$^{2}$ = NP$^{2}$

Do đó NP$^{2}$ = 2MP$^{2}$ + 20MP + 100

Nên $NP=\sqrt{2M{P}^{2}+20MP+100}$

• Ta có chu vi của ∆MNP là 50 cm.

Suy ra: MN + NP + MP = 50.

Khi đó $MP+10+\sqrt{2M{P}^{2}+20MP+100}+MP=50$

$\Leftrightarrow \sqrt{2M{P}^{2}+20MP+100}=40-2MP$ (1)

Bình phương hai vế của phương trình trên ta được:

2MP$^{2}$+ 20MP + 100 = 1600 – 160MP + 4MP$^{2}$

Þ 2MP$^{2}$ – 180MP + 1500 = 0

Þ MP ≈ 80,71 hoặc MP ≈ 9,29.

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình (1), ta thấy chỉ có MP ≈ 9,29 thỏa mãn.

Do đó NP ≈ 21,41 cm.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí côsin cho ∆ABM, ta có:

BM$^{2}$ = AM$^{2}$ + AB$^{2}$ – 2AM.AB.cosA

= x$^{2}$ + 200$^{2}$ – 2x.200.cos120°

= x$^{2}$ + 40 000 + 200x

Do đó $BM=\sqrt{{x}^{2}+200x+40\ 000}$

Áp dụng định lí côsin cho ∆ABS, ta được:

BS$^{2}$ = AS$^{2}$ + AB$^{2}$ – AS.AB.cosA

= (x + 300)$^{2}$ + 200$^{2}$ – 2.(x + 300).200.cos120°

= x$^{2}$ + 600x + 90 000 + 40 000 + 200x + 60 000

= x$^{2}$ + 800x + 190 000

Do đó $BS=\sqrt{{x}^{2}+800x+190\ 000}$

Theo bài, quãng đường từ nhà Bình đến siêu thị gấp đôi quãng đường từ nhà Bình đến nhà bác Mai nên ta có:

BS = 2BM.

$\Leftrightarrow \sqrt{{x}^{2}+800x+190\ 000}=2\sqrt{{x}^{2}+200x+40\ 000}$ (1)

Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:

x$^{2}$ + 800x + 190 000 = 4(x$^{2}$ + 200x + 40 000)

⇒ –3x$^{2}$ + 30 000 = 0

⇒ x = 100 (thỏa mãn x > 0) hoặc x = –100 (không thỏa mãn).

Vậy ta chọn phương án C.