7 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 9 (Vận dụng) có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng x + 3y – 10 = 0 có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}=(1;3)$.

Do đường thẳng d song song với đường thẳng x + 3y – 10 = 0 nên $\overrightarrow{n}=(1;3)$ cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d.

Khi đó đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(3;-1)$.

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(3;-1)$ và đi qua M(2; 6) có phương trình tham số là: $\{\begin{matrix}x=2+3t \\ y=6-t\end{matrix}$.

Với t = 1 ta có $\{\begin{matrix}x=2+3.1=5 \\ y=6-1=5\end{matrix}$, khi đó điểm A(5; 5) thuộc đường thẳng d.

Do đó ta có phương trình tham số của đường thẳng d là $\{\begin{matrix}x=5+3t \\ y=5-t\end{matrix}$.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng D: x + 2y – 6 = 0 có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{Δ}=(1;2)$.

Gọi ${\overrightarrow{n}}_{d}=(a;b)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d.

Khi đó hệ số góc của đường thẳng d là $k=-\frac{a}{b}$.

Góc giữa hai đường thẳng d và $\Delta$ là 45° nên ta có:

$\text{cos}(d,Δ)=|\text{cos}({\overrightarrow{n}}_{d},{\overrightarrow{n}}_{Δ})|=c\text{os45}^{\circ}$

Hay $\frac{|1.a+2.b|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}.\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{5}.\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{2}.|a+2b|$

$\Leftrightarrow$5(a$^{2}$ + b$^{2}$) = 2(a + 2b)$^{2}$

$\Leftrightarrow$ 5a$^{2}$ + 5b$^{2}$ = 2a$^{2}$ + 8ab + 8b$^{2}$

$\Leftrightarrow$ 3a$^{2}$ – 8ab – 3b$^{2}$ = 0

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}a=3b \\ a=-\frac{1}{3}b\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}\frac{a}{b}=3 \\ \frac{a}{b}=-\frac{1}{3}\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}k=-\frac{a}{b}=-3 \\ k=-\frac{a}{b}=\frac{1}{3}\end{matrix}$.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2(m + 1)x + 4y – 1 = 0 có a = m + 1; b = –2 và c = –1.

Để (1) là phương trình đường tròn thì a$^{2}$ + b$^{2}$ – c > 0

$\Leftrightarrow$ (m + 1)$^{2}$ + (–2)$^{2}$ – (–1) > 0

$\Leftrightarrow$ (m + 1)$^{2}$ + 5 > 0 (luôn đúng với mọi m).

Khi đó bán kính của đường tròn này là $R=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-c}$

Hay R$^{2}$ = (m + 1)$^{2}$ + 5 ≥ 5, với mọi m.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m + 1 = 0 $\Leftrightarrow$ m = –1.

Vậy đường tròn có bán kính nhỏ nhất bằng $R=\sqrt{5}$ khi m = –1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Khoảng cách mà mỗi tàu đi được so với cảng chính là $100|{\overrightarrow{s}}_{1}|$ và $100|{\overrightarrow{s}}_{2}|$.

Do đó, quãng đường tàu thứ nhất đi được dài hơn tàu thứ hai là hiệu $100|{\overrightarrow{s}}_{1}|-100|{\overrightarrow{s}}_{2}|$ và khoảng cách giữa hai tàu là $100|{\overrightarrow{s}}_{1}-{\overrightarrow{s}}_{2}|$.

Ta có ${\overrightarrow{s}}_{1}=(14;-8),\ {\overrightarrow{s}}_{2}=(12;4)$ và ${\overrightarrow{s}}_{1}-{\overrightarrow{s}}_{2}=(2;-12)$

Suy ra $|{\overrightarrow{s}}_{1}|=\sqrt{{14}^{2}+{(-8)}^{2}}=2\sqrt{65}$ (m);

$|{\overrightarrow{s}}_{2}|=\sqrt{{12}^{2}+{4}^{2}}=4\sqrt{10}$ (m);

$|{\overrightarrow{s}}_{1}-{\overrightarrow{s}}_{2}|=\sqrt{{2}^{2}+{(-12)}^{2}}=2\sqrt{37}$ (m).

Vậy quãng đường tàu thứ nhất đi được dài hơn tàu thứ hai là:

$100.2\sqrt{65}-100.4\sqrt{10}\approx 347{,}54$ (m).

Khoảng cách giữa hai tàu là: $100.2\sqrt{37}\approx 1\ 216{,}55$ (m).

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi r là bán kính đáy của tháp (r > 0).

Do khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng O của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng O đến đáy tháp và do tính đối xứng của hypebol nên ta có hai bán kính của nóc và đáy tháp đều bằng nhau.

Chọn điểm M(r; –25) nằm trên hypebol.

Ta suy ra $\frac{{r}^{2}}{36}-\frac{{(-25)}^{2}}{49}=1$.

$\Leftrightarrow \frac{{r}^{2}}{36}=1+\frac{{(-25)}^{2}}{49}=\frac{674}{49}$.

$\Leftrightarrow {r}^{2}=\frac{674}{49}.36=\frac{24264}{49}$.

Suy ra $r=\frac{6\sqrt{674}}{7}\approx 22{,}25$ (m).

Vậy bán kính đáy của tháp bằng khoảng 22,25 m.

Ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

Gọi O là đỉnh cổng, A là chân cổng và C, D lần lượt là hai bên trái, phải chân cổng.

Theo bài ra ta có: OA = 20 m, CD = 20 m.

Gọi phương trình Parabol của cổng là y$^{2}$ =2px.

Ta có: AC = AD = CD : 2 = 10 (m)

Do đó điểm D có tung độ là 10.

OA = 20 nên điểm D có hoành độ là 20.

Thay D(20; 10) vào phương trình (P) ta có: ${10}^{2}=2p.20\Rightarrow p=\frac{5}{2}$

Suy ra y$^{2}$ = 5x.

Thay tọa độ điểm E cách đỉnh 4 m (x = 4) vào (P) ta có:

y$^{2}$ = 5x = 5 . 4 = 20 $\Rightarrow y=\sqrt{20}=2\sqrt{5}(m)$

Vậy bề rộng của cổng tại chỗ cách đỉnh 4 m là $2\sqrt{5}$m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta thấy chiều cao của cổng hầm là: b = 10 – 4 = 6 (m).

Chiều rộng của cổng hầm là: 2a = 20 – 2.2 = 16 (m).

Suy ra a = 8 (m).

Khi đó ta có phương trình chính tắc của (E) là: $\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$.