60 bài tập Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án

a) Thế $y = 2 - 4x$ ở phương trình dưới vào phương trình trên ta được

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{7x - 3(2 - 4x) = 5}\\{y = 2 - 4x}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{19x - 6 = 5}\\{y = 2 - 4x}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \frac{{11}}{{19}}}\\{y = \frac{{ - 6}}{{19}}}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Kết luận: Nghiệm của hệ là $\left( {\frac{{11}}{{19}};\frac{{ - 6}}{{19}}} \right)$.

b) Thế $y = \sqrt 5 (x + 1 - \sqrt 3 )$ ở phương trình trên vào phương trình dưới ta được

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{y = \sqrt 5 (x + 1 - \sqrt 3 )}\\{2\sqrt 3 x + 15(x + 1 - \sqrt 3 ) = 21}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{y = \sqrt 5 (x + 1 - \sqrt 3 )}\\{(15 + 2\sqrt 3 )x = 3(2 + 5\sqrt 3 )}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \frac{{3(2 + 5\sqrt 3 )}}{{15 + 2\sqrt 3 }} = \frac{{3(2 + 3\sqrt 3 )(15 - 2\sqrt 3 )}}{{225 - 12}} = \frac{{3 \cdot 71\sqrt 3 }}{{213}} = \sqrt 3 }\\{y = \sqrt 5 (\sqrt 3 + 1 - \sqrt 3 ) = \sqrt 5 }\end{array}} \right.$

Kết luận: Nghiệm của hệ là $(\sqrt 3 ;\sqrt 5 )$.

c) Thế $y = \frac{{1{,}7x - 3{,}8}}{2}$ ở phương trình trên vào phương trình dưới ta được

Kết luận: Nghiệm của hệ là $\left( {\frac{{198}}{{127}};\frac{{ - 73}}{{127}}} \right)$.

a) Cộng hai phương trình của hệ cho nhau ta được phương trình

$5x = 10 \Leftrightarrow x = 2{\rm{ }}{\rm{. }}$

Do đó: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{2x - y = 7}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{y = - 3}\end{array}} \right.} \right.$

Kết luận: Nghiệm của hệ là $(2; - 3)$.

b) Nhân phương trình đầu của hệ cho 3, nhân phương trình sau của hệ cho 2 và trừ theo vế hai phương trình của hệ, ta được

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{24x - 21y = 15}\\{24x + 26y = - 16}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{8x - 7y = 5}\\{47y = - 31}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{y = \frac{{ - 31}}{{47}}}\\{x = \frac{9}{{188}}.}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Kết luận: Nghiệm của hệ là $\left( {\frac{9}{{188}};\frac{{ - 31}}{{47}}} \right)$.

c) $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{5(x + 2y) = 3x - 1}\\{2x + 4 = 3(x - 5y) - 12}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{5x + 10y = 3x - 1}\\{2x + 4 = 3x - 15y - 12}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x + 10y = - 1}\\{ - x + 15y = - 16}\end{array}} \right.$

Nhân hai vế của phương trình sau cho 2 và cộng với phương trình đầu ta được

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x + 10y = - 1}\\{ - 2x + 30y = - 32}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - x + 15y = - 16}\\{40y = - 33}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{y = \frac{{ - 33}}{{40}}}\\{x = \frac{{29}}{8}}\end{array}} \right.$

Kết luận: Nghiệm của hệ là $\left( {\,\frac{{29}}{8};\frac{{ - 33}}{{40}}\,} \right)$.

a) Đặt $u = \frac{1}{x},v = \frac{1}{y}(x \ne 0,y \ne 0)$. Ta được

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{15u - 7v = 9}\\{4u + 9v = 35}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{60u - 28v = 36}\\{60u + 135v = 525}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{163v = 489}\\{60u - 28v = 36}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{v = 3}\\{u = 2}\end{array}} \right.$

Do đó $x = \frac{1}{2},y = \frac{1}{3}$.

b) Đặt $u = \frac{1}{{x - y + 2}},v = \frac{1}{{x + y - 1}},(x - y + 2 \ne 0,x + y - 1 \ne 0)$. Ta được

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{7u - 5v = 4{,}5}\\{3u + 2v = 4}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{14u - 10v = 9}\\{15u + 10v = 20}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{29u = 29}\\{7u - 5v = 4{,}5}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{u = 1}\\{v = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.$

Do đó $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x - y + 2 = 1}\\{x + y - 1 = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \frac{1}{4}}\\{y = \frac{5}{4}}\end{array}} \right.$

a) Xét hai trường hợp $y \ge 0$hệ có nghiệm $\,(2;3)$.

Khi $\,y < 0$ thì $\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 13\\3x - y = 3\end{array} \right.$ thì hệ có nghiệm là $\left( { - \frac{4}{7}; - \frac{{33}}{7}} \right)$

b) Đặt $u = \frac{1}{{x + y - 1}};\,v = \frac{1}{{2x - y + 3}}$.

Giải hệ $\left\{ \begin{array}{l}4u - 5x = \frac{5}{2}\\3u + v = \frac{7}{5}\end{array} \right.$ ta được $\left\{ \begin{array}{l}u = \frac{1}{2}\\v = - \frac{1}{{10}}\end{array} \right.$

Từ đó ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 2\\2x - y + 3 = - 10\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{10}}{3}\\y = \frac{{19}}{3}\end{array} \right.$.

a) Đặt $u = \frac{1}{{x + y}};\,v = \frac{1}{{x - y}};\,\left( {\frac{{77}}{{20}};\,\frac{{ - 63}}{{20}}} \right)$.

b) Đặt $u = \sqrt x ;\,v = \sqrt y ;\,\left( {u,v \ge 0} \right)\,;\,\,(0;1)$.

a) Đặt $u = \sqrt {x - 1} ;\,v = \sqrt {y - 1} ;\,\left( {u,v \ge 0} \right)\,;\,\,(2;2)$

b) $\left( {1 \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3};\,\frac{{ - 5}}{9}} \right)$.

a) $\left( {1;\,\frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)\,$

b) $\left( {\frac{{2\sqrt 2 - 3\sqrt 5 }}{5};\,\frac{{1 - 2\sqrt {10} }}{5}} \right)\,$.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ là nghiệm của hệ

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x - y = - 1}\\{x + y = - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1}\\{y = - 1}\end{array}} \right.} \right.$

Ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi $\left( {{d_3}} \right)$ đi qua $(\, - 1; - 1\,)$. Tức là

$- 1 = - 2 \cdot (\, - 1\,) - m$ hay $m = 3.$

Vậy $m = 3$.

a) $\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 3\\x + 2y = 4\end{array} \right.$

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có $y = 2x - 3$.

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được $x + 2\left( {2x - 3} \right) = 4$ hay $5x - 6 = 4$ suy ra $x = 2$

Từ đó $y = 2.2 - 3 = 1$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( {2;1} \right)$

b) $\left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 2\\ - 2x + 5y = 1\end{array} \right.$

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có$x = 2 + 3y$.

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được $- 2\left( {2 + 3y} \right) + 5y = 1$ hay $- 4 - y = 1$ suy ra $y = - 5$

Từ đó$x = 2 + 3.\left( { - 5} \right) = - 13$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( { - 13; - 5} \right)$

c) $\left\{ \begin{array}{l}4x + y = - 1\\7x + 2y = - 3\end{array} \right.$

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có$y = - 1 - 4x$.

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được $7x + 2\left( { - 1 - 4x} \right) = - 3$ hay $- x = - 1$ suy ra $x = 1$

Từ đó $y = - 1 - 4.\left( 1 \right) = - 5$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( {1; - 5} \right)$

d) $\left\{ \begin{array}{l}x - y = - 2\\2x - 2y = 8\end{array} \right.$

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có $y = x + 2$.

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được $2x - 2\left( {x + 2} \right) = 8$ hay $0x - 4 = 8\left( 1 \right)$

Do không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn hệ thức $\left( 1 \right)$ nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

e) $\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y = 3\\4x - 2y = - 4\end{array} \right.$

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có$y = 2x + 3$.

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được $4x - 2\left( {2x + 3} \right) = - 4$ hay $0x = 6 = - 4$ (1)

Do không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn hệ thức $\left( 1 \right)$ nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

f)$\left\{ \begin{array}{l} - x + y = - 2\\3x - 3y = 6\end{array} \right.$

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có $y = x - 2$ (1)

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được $3x - 3\left( {x - 2} \right) = 6$ hay $0x + 6 = 6$ suy ra $0x = 0$ (2)

Ta thấy với mọi giá của của $x$ đều thỏa mãn (2)

Với mỗi giá trị tùy ý của $x$, giá trị tương ứng của $y$ được tính bởi (1)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( {x;x - 2} \right)$ với $x \in \mathbb{R}$ tùy ý.

g) $\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = - 1\,\,\,\,\,\,\,\\3x + 9y = - 3\,\,\,\,\,\end{array} \right.$

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có$x = - 1 - 3y\,\,(1)$

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được $3\left( { - 1 - 3y} \right) + 9y = - 3$ hay $0y - 3 = - 3$

Suy ra $0y = 0\,\,(2)$

Ta thấy với mọi giá của của $y$ đều thỏa mãn (2)

Với mỗi giá trị tùy ý của $y$, giá trị tương ứng của $x$ được tính bởi (1)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( { - 1 - 3y;y} \right)$ với $y \in \mathbb{R}$ tùy ý.

h) $\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ - 2x - 3y = 5\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ phương trình $\left( 1 \right)$ ta có $y = 3 - 3x\left( 3 \right)$.

Thay $y = 3 - 3x$ vào phương trình $\left( 2 \right)$ ta được $- 2x - 3\left( {3 - 3x} \right) = 5$

Giải phương trình này ta được $x = 2$

Thay $x = 2$ vào phương trình $\left( 3 \right)$ ta được $y = - 3$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( {2; - 3} \right)$

a) $\left\{ \begin{array}{l}(\sqrt 2 - 1)x - y = \sqrt 2 \\x + (\sqrt 2 + 1)y = 1\end{array} \right.$

$$\left\{ \begin{array}{l}y = (\sqrt 2 - 1)x - \sqrt 2 \\x + (\sqrt 2 + 1)y = 1\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}y = (\sqrt 2 - 1)x - \sqrt 2 \\x + \left( {\sqrt 2 + 1} \right).\left[ {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)x - \sqrt 2 } \right] = 1\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}y = (\sqrt 2 - 1)x - \sqrt 2 \\x + \left( {\sqrt 2 + 1} \right).\left[ {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)x - \sqrt 2 } \right] = 1\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt 2 + 3}}{2}\\y = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.$$

$$\left( * \right):\,x + x - \sqrt 2 \left( {\sqrt 2 + 1} \right) = 1$$

$$2x = 2 + \sqrt 2 + 1$$

$$2x = 3 + \sqrt 2$$

$$x = \frac{{3 + \sqrt 2 }}{2}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{\sqrt 2 + 3}}{2}; - \frac{1}{2}} \right)$

b) $\left\{ \begin{array}{l} - x - \sqrt 2 y = \sqrt 3 \\\sqrt 2 x + 2y = - \sqrt 6 \end{array} \right.$

$$\left\{ \begin{array}{l}x = - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \\\sqrt 2 \left( { - \sqrt 2 y - \sqrt 3 } \right) + 2y = - \sqrt 6 \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}x = - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \\ - 2y - \sqrt 6 + 2y = - \sqrt 6 \end{array} \right.$$

$\left\{ \begin{array}{l}x = - \sqrt 2 y - 3\\ - \sqrt 6 = - \sqrt 6 \end{array} \right.$ (luôn đúng)

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

a) Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có $y = 2\sqrt 2 - 5x\sqrt 3$.

Thay vào phương trình thứ hai ta được

$x\sqrt 6 - \left( {2\sqrt 2 - 5\sqrt 3 x} \right).\sqrt 2 = 2 \Rightarrow x = \frac{{\sqrt 6 }}{6}$

Từ đó $y = 2\sqrt 2 - 5.\frac{{\sqrt 6 }}{6}.\sqrt 3 = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{6};\frac{{ - \sqrt 2 }}{2}} \right)$.

b) Từ phương trình thứ hai của hệ ta có $x = \sqrt 2 - \sqrt 3 .y$.

Thay vào phương trình thứ nhất ta được

$\sqrt 2 .\left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 .y} \right) - \sqrt 3 y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{{\sqrt 6 + \sqrt 3 }}$

Từ $x = \sqrt 2 - \sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 6 + \sqrt 3 }} = 1$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là $\left( {1;\frac{1}{{\sqrt 6 + \sqrt 3 }}} \right)$

a) Thay $m = - 2$ ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 3\\ - 8x + 9y = 3\end{array} \right.$

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có $y = 2x + 3$. Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được

$- 8x + 9\left( {2x + 3} \right) = 3$ hay $10x + 27 = 3$ suy ra $x = - \frac{{12}}{5}$

Từ đó $y = 2.\left( { - \frac{{12}}{5}} \right) + 3 = - \frac{9}{5}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $\left( { - \frac{{12}}{5}; - \frac{9}{5}} \right)$

b) Thay $m = - 3$ ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 3\\ - 18x + 9y = 0\end{array} \right.$

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có $y = 2x + 3$. Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được $- 18x + 9\left( {2x + 3} \right) = 0$ hay $0x + 27 = 0$(1)

Do không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm,

c) Thay $m = 3$ ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 3\\ - 18x + 9y = - 18\end{array} \right.$

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có $y = 2x + 3$. Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được

$- 18x + 9\left( {2x + 3} \right) = 18$ hay $0x = 0$

Ta thấy mọi giá trị của $x$ đều thỏa mãn (1)

Với giá trị tùy ý của $x$ thì giá trị tương ứng của $y$ được tính bởi phương trình $y = 2x + 3$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $\left( {x;2x + 3} \right)$ với $x \in \mathbb{R}$ tùy ý.

a) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}5\left( {x + 2y} \right) - 3\left( {x - y} \right) = 99\\x - 3y = 7x - 4y - 17\end{array} \right.$

$$\left\{ \begin{array}{l}5x + 10y - 3x + 3y = 99\\x - 3y - 7x + 4y = - 17\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}2x + 13y = 99\\ - 6x + y = - 17\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 7\end{array} \right.$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {4;7} \right)$

b) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}(x + 1)(y - 1) = xy - 1\\\left( {x - 3} \right)\left( {y - 3} \right) = xy - 3\end{array} \right.$

$$\left\{ \begin{array}{l}xy - x + y - 1 = xy - 1\\xy - 3x - 3y + 9 = xy - 3\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 0\\ - 3x - 3y = - 12\end{array} \right.$$

$$x = y = 2$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {2;2} \right)$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{2x - 3y}}{4} - \frac{{x + y - 1}}{5} = 2x - y - 1\\\frac{{4x + y - 2}}{4} = \frac{{2x - y - 3}}{6} - \frac{{x - y - 1}}{3}\end{array} \right.$

$$\left\{ \begin{array}{l}5(2x - 3y) - 4(x + y - 1) = 20(2x - y - 1)\\3(4x + y - 2) = 2(2x - y - 3) - 4(x - y - 1)\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{14}}{{23}}\\y = \frac{{ - 76}}{{23}}\end{array} \right.$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{14}}{{23}};\frac{{ - 76}}{{23}}} \right)$

a. Điều kiện $x,y \ne 0$.

Đặt $\frac{1}{x} = a;\frac{1}{y} = b$, ta có:

$$\left\{ \begin{array}{l}a + b = \frac{1}{{12}}\\8a + 15b = 1\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}8a + 8b = \frac{2}{3}\\8a + 15b = 1\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{28}}\\b = \frac{1}{{21}}\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}x = 28\\y = 21\end{array} \right.$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {28;21} \right)$.

b. $\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{x + 2y}} + \frac{1}{{y + 2x}} = 3\\\frac{4}{{x + 2y}} - \frac{3}{{y + 2x}} = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {x \ne - 2y;y \ne - 2x} \right)$

Đặt $\frac{1}{{x + 2y}} = 1;\,\,\,\frac{1}{{y + 2x}} = b$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 3\\4a - 3b = 1\end{array} \right.$

$$\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{10}}{7}\\b = \frac{{11}}{7}\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\y = \frac{1}{3}\end{array} \right.$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $x = y = \frac{1}{3}$

a. $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1} - 3\sqrt {y + 2} = 2\\2\sqrt {x - 1} + 5\sqrt {y + 2} = 15\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {x \ge 1;y \ge - 2} \right)$. Đặt $\sqrt {x - 1} = u \ge 0;\,\,\sqrt {y + 2} = v \ge 0\,\,$

Ta có HPT: $\left\{ \begin{array}{l}u - 3v = 2\\2u + 5v = 15\end{array} \right.$

$$\left\{ \begin{array}{l}u = 5\\v = 1\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1} = 5\\\sqrt {y + 2} = 1\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}x = 26\\y = - 1\end{array} \right.$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {26; - 1} \right)$

b. $\left\{ \begin{array}{l}4\sqrt {x + 3} - 9\sqrt {y + 1} = 2\\5\sqrt {x + 3} + 3\sqrt {y + 1} = 31\end{array} \right.$

Điều kiện: $x \ge - 3;y \ge - 1$

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}x = 22\\y = 3\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {22;3} \right)$

a) Vì $\left( {1;\,\, - 1} \right)$ là một nghiệm của phương trình (I), nên thay giá trị này vào hệ phương trình (I) ta được: $\left\{ \begin{array}{l}4.1 + a.\left( { - 1} \right) = 6\\b.1 - 2a.\left( { - 1} \right) = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - a = 6\\b + 2a = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 8 - 2a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 12\end{array} \right.$

Vậy $a = - 2;\,\,b = 12$

b) Tương tự ta có: $\left\{ \begin{array}{l}4.\left( { - \sqrt 2 } \right) + a.3 = 6\\b.\left( { - \sqrt 2 } \right) - 2a.3 = 8\end{array} \right.$

$$\left\{ \begin{array}{l}a = 2 + \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\\b.\left( { - \sqrt 2 } \right) = 2a.3 + 8\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}a = 2 + \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\\b.\left( { - \sqrt 2 } \right) = 6.\left( {2 + \frac{{4\sqrt 2 }}{3}} \right) + 8\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}a = 2 + \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\\b = - 10\sqrt 2 - 8\end{array} \right.$$

Vậy $a = 2 + \frac{{4\sqrt 2 }}{3};\,\,\,b = - 10\sqrt 2 - 8$.

Thay $x = 1;y = - 3$ vào hệ phương trình ta được:

$$\left\{ \begin{array}{l}\left( {3a + b} \right).1 + \left( {4a - b + 1} \right).\left( { - 3} \right) = 35\\b.1 + 4a.\left( { - 3} \right) = 29\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}3a + b - 12a + 3b - 3 = 35\\b - 12a = 29\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l} - 9a + 4b = 38\\b - 12a = 29\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 5\end{array} \right.$$

Vậy $a = - 2;b = 5$

Theo giả thiết $P\left( x \right)$ đồng thời chia hết cho đa thức $x + 2$ và $x - 1$, do đó ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}P\left( { - 2} \right) = 0\\P\left( 1 \right) = 0\end{array} \right.$$\left\{ \begin{array}{l}m.{\left( { - 2} \right)^3} + \left( {m - 5} \right).{\left( { - 2} \right)^2} - \left( {2n + 1} \right).\left( { - 2} \right) + 3n = 0\\m{.1^3} + \left( {m - 5} \right){.1^2} - \left( {2n + 1} \right).1 + 3n = 0\end{array} \right.$

$$\left\{ \begin{array}{l} - 4m + 7n = 18\\2m + n = 6\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l} - 4m + 7\left( {6 - 2m} \right) = 18\\n = 6 - 2m\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l} - 18m = - 24\\n = 6 - 2m\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}m = \frac{4}{3}\\n = \frac{{10}}{3}\end{array} \right.$$

Vậy $m = \frac{4}{3}$ và $n = \frac{{10}}{3}$.

Vì ${d_1},\,\,{d_2}$ cắt nhau tại điểm $I\left( {2; - 5} \right)$ nên $\left\{ \begin{array}{l}I \in {d_1}\\I \in {d_2}\end{array} \right.$

$$\left\{ \begin{array}{l}2m - 2\left( {3n + 2} \right).\left( { - 5} \right) = 6\\\left( {3m - 1} \right).2 + 2n.\left( { - 5} \right) = 56\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}m = 8\\n = - 1\end{array} \right.$$

Vậy $m = 8;n = - 1$ là các giá trị cần tìm.

Hệ phương trình tương đương $\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5m - 1\\x - 2y = 2\end{array} \right.$

$$\left\{ \begin{array}{l}x = 2m\\y = m - 1\end{array} \right.$$

a. Với $m = 1$ ta được: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.$

b. Hệ có nghiệm $\left( {x,y} \right)$ thỏa mãn ${x^2} - 2{y^2} = 1$ khi và chỉ khi:

$$4{m^2} - 2{(m - 1)^2} = 1$$

$$2{m^2} + 4m - 3 = 0$$

$$m = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {10} }}{2}$$

Vậy $m = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {10} }}{2}$ là các giá trị cần tìm.

a. Từ (1) ta có: $y = m - \left( {m - 1} \right)x$, thay vào phương trình (2) ta được:

$$x + \left( {m - 1} \right)\left[ {m - \left( {m - 1} \right)x} \right] = 2$$

$$\left( {{m^{\rm{2}}} - 2m} \right)x = {m^2} - m - 2$$

$$m\left( {m - 2} \right)x = \left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right)$$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{m + 1}}{m}\\y = \frac{1}{m}\end{array} \right.$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{m + 1}}{m}\\y = \frac{1}{m}\end{array} \right. \Rightarrow x - y = 1$ là hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

b. Ta có: $x - y = 1 \Rightarrow x = y + 1;$ $2{(y + 1)^2} - 7y = 1$

$$2{y^2} - 3y + 1 = 0$$

$y = 1$ hoặc $y = \frac{1}{2}$

+) Với $y = 1$ thì $\frac{1}{m} = 1$ hay $m = 1$

+) Với $y = \frac{1}{2}$ thì $\frac{1}{m} = \frac{1}{2}$ hay $m = 2$ (loại)

Vậy $m = 1$ là giá trị cần tìm.

c. Ta có $\frac{{2x - 3y}}{{x + y}} = \frac{{2(y + 1) - 3y}}{{2y + 1}}$$= \frac{{2 - y}}{{2y + 1}} = \frac{{2m - 1}}{{m + 2}}$$= 2 - \frac{5}{{m + 2}} \in \mathbb{Z}$

Khi đó $\frac{5}{{m + 2}} \in \mathbb{Z}$ nên $m + 2 \in \left\{ { \pm 1; \pm 5} \right\}$, suy ra $m \in \left\{ { - 1; - 3;3; - 7} \right\}$.

Vậy $m \in \left\{ { - 1; - 3;3; - 7} \right\}$.

Từ (1) $\Rightarrow y = \frac{{(2m + 1)x - 3m + 2}}{3}$ thay vào phương trình (2) ta được:

$$(m + 3)x - \frac{{(m + 1)\left[ {\left( {2m + 1} \right)x - 3m + 2} \right]}}{3} = 2m$$

$$3(m + 3)x - (m + 1)(2m + 1)x + (m + 1)(3m - 2) = 6m$$

$$2({m^2} - 4)x = 3{m^2} - 5m - 2\,\,\,\,\,(*)$$

a. Hệ có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 = 0\\3{m^2} - 5m - 2 = 0\end{array} \right.\\{m^2} - 4 \ne 0\end{array} \right.$

$$\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m \ne \pm 2\end{array} \right.$$

Vậy điều kiện: $m \ne 2$.

b. Hệ có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow {m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 2$

Khi đó: $(*) \Leftrightarrow x = \frac{{(3m + 1)(m - 2)}}{{2(m - 2)(m + 2)}} = \frac{{3m + 1}}{{2(m + 2)}}$

$$\Rightarrow y = \frac{{\frac{{(2m + 1)(3m + 1)}}{{2(m + 2)}} - 3m + 2}}{3} = \frac{{3 - m}}{{2(m + 2)}}$$

Do đó: $x \ge 2y \Leftrightarrow \frac{{3m + 1}}{{2(m + 2)}} \ge \frac{{2(3 - m)}}{{2(m + 2)}}$

$$\frac{{5m - 5}}{{2(m + 2)}} \ge 0$$

$$\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ge 0\\m + 2 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \le 0\\m + 2 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$

$$\left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m < - 2\end{array} \right.$$

Vậy $m > 2$ hoặc $1 \le m < 2$ hoặc $m < - 2$ là các giá trị cần tìm.

c. Hệ có nghiệm duy nhất khi $m \ne \pm 2$, khi đó nghiệm của hệ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{3m + 1}}{{2(m + 2)}}\\y = \frac{{3 - m}}{{2(m + 2)}}\end{array} \right.$

$$P = \frac{{{{(3m + 1)}^2}}}{{4{{(m + 2)}^2}}} + \frac{{3{{(3 - m)}^2}}}{{4{{(m + 2)}^2}}} = \frac{{3{m^2} - 3m + 7}}{{{m^2} + 4m + 4}}$$

$P - \frac{3}{4} = \frac{{{{(3m - 4)}^2}}}{{{{(m + 2)}^2}}} \ge 0$.

Do đó $P \ge \frac{3}{4}$ nên $m = \frac{4}{3}$

a) Cộng từng vế của hai phương trình ta được $8y = 16$ suy ra $y = 2$

Thế $y = 2$ vào phương trình thứ hai ta được $2x + 3.2 = 4$ hay $2x = - 2$ suy ra $x = - 1$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( { - 1;2} \right)$

b) Trừ từng vế của hai phương trình ta được $\left( {5x - 5x} \right) + \left( { - 7y + 3y} \right) = 9 - 1$ hay $- 4y = 8$ suy ra $y = - 2$

Thế $y = - 2$ vào phương trình thứ nhất, ta được $5x - 7.\left( { - 2} \right) = 9$ hay $5x + 14 = 9$ suy ra $x = - 1$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( { - 1; - 2} \right)$

c) Cộng từng vế của hai phương trình ta được $- 2y = - 8$ suy ra $y = 4$

thế $y = 4$ vào phương trình thứ nhất ta được $- 4x + 3.4 = 0$ hay $- 4x = - 12$ suy ra $x = 3$