6 bài tập Tính diện tích hình phẳng được cho bởi đồ thị (có lời giải)

Diện tích hình phẳng cần tìm là: $S = \int\limits_{ - 2}^0 {\left[ {\left( {{x^3} - 3x + 2} \right) - \left( {2x + 2} \right)} \right]dx + \int\limits_0^1 {\left[ {\left( {2x + 2} \right) - \left( {{x^3} - 3x + 2} \right)} \right]} } dx$

$= \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^3} - 5x} \right)} dx + \int\limits_0^1 {\left( { - {x^3} + 5x} \right)} dx = \left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{5{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}0\\ - 2\end{array} \right. + \left( { - \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{5{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = 6 + \frac{9}{4} = \frac{{33}}{4}$.

${S_H} = \int\limits_{ - 2}^0 {\left[ {f\left( x \right) - \left( {{x^2} + 4x} \right)} \right]} {\rm{d}}x$ $= \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x - \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^2} + 4x} \right)} {\rm{d}}x$$= \frac{4}{3} - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)\left| \begin{array}{l}0\\ - 2\end{array} \right.$$= \frac{4}{3} + \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^3}}}{3} + 2{\left( { - 2} \right)^2} = \frac{{20}}{3}$.

Vậy diện tích hình $\left( H \right)$ là $S = \frac{{20}}{3}$.

Giả sử $f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\;(a \ne 0).$Vì đồ thị đi qua 4 điểm $O(0;\;0),\;A(1;\;0),\;B(3;\;0),\;C(2;\;2)$nên ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}d = 0\\a + b + c + d = 0\\27a + 9b + 3c + d = 0\\8a + 4b + 2c + d = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 4\\c = - 3\\d = 0\end{array} \right.$

Vậy hàm số đã cho là $y = f(x) = - {x^3} + 4{x^2} - 3x$, diện tích phần được tô đậm là:$S = \int\limits_0^1 { - f(x)dx} + \int\limits_1^3 {f(x)dx} = \frac{{37}}{{12}}$.