6 bài tập Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn (có lời giải)

Ta có: f '(x) = 4*x*$^{3}$ − 16*x*;

f '(x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2 hoặc x = −2 (loại vì không thuộc [−1; 3]);

f (−1) = 2; f (0) = 9; f (2) = −7; f (3) = 18.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]}$ f (x) = f (3) = 18 và $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]}$ f (x) = f (2) = −7.

Xét $f(x) = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x + 1$ trên đoạn [0 ; 3]; ${f^\prime }(x) = 6{x^2} - 18x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{x = 1}\end{array}} \right.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy ${\min _{[0{,}3]}}f(x) = f(0) = 1$ và ${\max _{[0{,}3]}}f(x) = f(3) = 10$

Xét $h(x) = x\sqrt {2 - {x^2}}$

Tập xác định: $D = [ - \sqrt 2 ;\sqrt 2 ]$; ${h^\prime }(x) = \sqrt {2 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {2 - {x^2}} }}$

Tập xác định mới: ${D_1} = ( - \sqrt 2 ;\sqrt 2 )$; ${h^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1}\\{x = - 1}\end{array}} \right.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy ${\min _D}f(x) = f( - 1) = - 1$ và ${\max _D}f(x) = f(1) = 1$

Ta có: ${y^\prime } = 6{x^2} - 6x + 5 = 6\left( {{x^2} - x + \frac{5}{6}} \right) = 6{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{2} > 0\forall x \in [0;2]$

Do đó, hàm số $y = 2{x^3} - 3{x^2} + 5x + 2$ đồng biến trên [0 ; 2].

Ta có: $y(0) = 2;y(2) = {2.2^3} - {3.2^2} + 5.2 + 2 = 16$

Do đó, ${\max _{[0;2]}}y = y(2) = 16,{\min _{[0{,}2]}}y = y(0) = 2$

Ta có: ${y^\prime } = {e^{ - x}} - (x + 1){e^{ - x}} = {e^{ - x}}(1 - x - 1) = - x \cdot {e^{ - x}}$

${y^\prime } = 0 \Leftrightarrow - x.{e^{ - x}} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (thỏa mãn $x \in [ - 1;1]$ )

$y( - 1) = 0;y(0) = 1;y(1) = \frac{2}{2}$ Do đó, ${\max _{[ - 1;1]}}y = y(0) = 1,{\min _{[ - 1;1]}}y = y( - 1) = 0$

Ta có: ${y^\prime } = \cos x - \sin x;{y^\prime } = 0 \Leftrightarrow \cos x = \sin x \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4}$ hoặc $x = \frac{{5\pi }}{4}$ (vì $x \in [0;2\pi ]$ )

$y(0) = 1;y(2\pi ) = 1;y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 ;y\left( {\frac{{5\pi }}{4}} \right) = - \sqrt 2 {\rm{. }}$

Do đó: ${\max _{[0{,}2\pi ]}}y = y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 ;{\min _{[0;2\pi ]}}y = y\left( {\frac{{5\pi }}{4}} \right) = - \sqrt 2$.