6 bài tập Tích của một số với một vectơ (có lời giải)

a) Theo quy tắc hình hộp ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A{A^\prime }} = \overrightarrow {A{C^\prime }}$.

${\rm{b}})$ Vì $A{A^\prime }//C{C^\prime }$ và $A{A^\prime } = C{C^\prime }$ (vì cùng song song và bằng $B{B^\prime }$ )

Nên $A{A^\prime }{C^\prime }C$ là hình bình hành.

Mà $A{C^\prime }$ và ${{\rm{A}}^\prime }C$ cắt nhau tại ${\rm{O}}$ nên ${\rm{O}}$ là trung điếm của ${\rm{AC}}$ '.

Suy ra $AO = \frac{1}{2}A{C^\prime }$ mà $\overrightarrow {AO}$ và $\overrightarrow {A{C^\prime }}$ cùng hướng nên $\overrightarrow {AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow {A{C^\prime }}$ hay $\overrightarrow {A{C^\prime }} = 2\overrightarrow {AO}$.

a) Ta có: $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} ,\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN}$.

Do đó $2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN}$.

Vì $M$ là trung điểm của đoạn thẳng AD nên $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} = \vec 0$.

Vì $N$ là trung diểm của đoạn thẳng BC nên $\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} = \vec 0$.

Do đó $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} )$.

b) Ta có: $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GD}$.

Suy ra $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD}$.

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác BCD nên $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0$.

Do đó $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG}$.

Vì ${\rm{M}}$ là trung diếm của ${\rm{BB}}$ nên $\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {B{B^\prime }}$.

Do $ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }$ là lăng trụ nên $\overrightarrow {B{B^\prime }} = \overrightarrow {C{C^\prime }}$.

Có $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {B{B^\prime }} = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {B{B^\prime }} = \vec b - \vec a + \frac{1}{2}\vec c$.

a) Do HK là đường trung bình của tam giác ABC nên

BC || HK và BC = 2HK. Suy ra $\overrightarrow {BC}$ cùng hướng với

$\overrightarrow {HK}$ và $\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {HK} } \right|$. Vậy $\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {HK}$.

b) Ta có:

$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} ,{\rm{ }}\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GD}$.

Suy ra $\overrightarrow {AB} + {\rm{ }}\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC}$.

Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$.

Do đó, ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG}$.

Vì ${\rm{I}}$ là trọng tâm của ${\rm{DABC}}$ nên $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \vec 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SI} + \overrightarrow {SB} - \overrightarrow {SI} + \overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SI} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {SI} (1).$Tương tự, $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SD} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {SJ}$ (2).

Cộng từng vế (1) và (2), ta có: $2\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + 2\overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 3(SI + \overrightarrow {SJ} )$.

c) Để chứng minh E, M, C thẳng hàng, ta sẽ chứng minh $\overrightarrow {EC} = k\overrightarrow {EM}$ với k là một số thực nào đó.

Do M là trọng tâm của tam giác AFH nên ta có: $\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {EH} = 3\overrightarrow {EM}$

Mặt khác, theo quy tắc hình hộp thì: $\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {EH} = \overrightarrow {EC}$

Suy ra $\overrightarrow {EC} = 3\overrightarrow {EM}$. Vậy ba điểm E, M, C thẳng hàng.

d) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có: AC2 = 52 + 62 − 2.5.6.cos 120° = 91.

Khi ABCD.EFGH là hình hộp đứng thì EAC là tam giác vuông tại A, do đó:

EC2 = EA2 + AC2 = 100 + 91 = 191. Suy ra EM = $EM = \frac{1}{3}\sqrt {191}$.