6 bài tập Sử dụng tính chất của góc nội tiếp (có lời giải)

Hai đường tròn (O) và (O’) bằng nhau nên hai cung nhỏ AB bằng nhau (vì cùng căng dây AB) .

Suy ra $\widehat M = \widehat N$(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Vậy $\Delta$MBN là tam giác cân.

a) $\widehat {MAN} = 30^\circ$$\Rightarrow \widehat {MBN} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {PCQ} = 120^\circ$

b) $\widehat {PCQ} = 136^\circ$ $\Rightarrow \widehat {MBN} = 68^\circ \Rightarrow \widehat {MAN} = 34^\circ$.

***Giải (h.26)* **

Vẽ dây chung BA và các dây BC, BD.

Ta có :$\widehat {ABC} = 90^\circ ;\,\,\widehat {ABD} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra BC $\bot$ BA và BD $\bot$BA.

Qua B chỉ vẽ được một đường thẳng vuông góc với AB mà thôi, suy ra ba điểm C, B, D thẳng hàng.

Ta có: $\widehat {AMB} = \widehat {ANB} = 90^\circ$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB) .

Suy ra: AN $\bot$SB; BM $\bot$SA.

Xét ∆SAB có hai đường cao AN và BM cắt nhau tại H. Theo tính chất ba đường cao của tam giác gặp nhau tại một điểm, suy ra: SH $\bot$ AB.

Hướng dẫn: Xét cả hai trường hợp điểm M nằm bên trong và bên ngoài đường tròn. Trong mỗi trường hợp, xét hai tam giác đồng dạng.

Trường hợp điểm M nằm bên trong đường tròn (h.29)

∆MAC và ∆MDB có:

$\widehat A = \widehat D$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

$\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}$(đối đỉnh)

Do đó: $ΔMAC∽\ ΔMDB$ (g.g) . Suy ra:

$\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MB}}$, do đó: MA.MB = MC.MD

Trường hợp điểm M nằm bên ngoài đường tròn: cũng chứng minh tương tự.

Ta có: MN//BC $\Rightarrow \widehat M = \widehat {{C_1}}$

(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Suy ra: $\widehat M = \widehat {{C_2}} \Rightarrow \Delta SMC$cân.

$\Rightarrow SM = SC$

Ta có: $\widehat {{A_1}} = \widehat M$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung CN)

$\widehat {{C_2}} = \widehat N$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM)

Vì $\widehat M = \widehat {{C_2}}$(chứng minh trên) nên $\widehat {{A_1}} = \widehat N$

Suy ra: ∆SAN cân $\Rightarrow$ SN = SA