6 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến Nguyên hàm (có lời giải)

a) Gọi h(t) là độ cao của quả bóng tại thời điểm t (h(t) tính theo mét, t tính theo giây).

Khi đó, ta có: h(t) = $\int {\left( { - 9{,}8t + 19{,}6} \right)dt}$ = -4,9t$^{2}$ +19,6t+C.

Mà quả bóng được ném lên từ độ cao 24,5 m tức là tại thời điểm t = 0 thì h = 24,5 hay h(0) = 24,5.

Suy ra C = 24,5.

Vậy công thức tính độ cao h (t) của quả bóng theo thời gian là: h(t)=-4,9t$^{2}$ +19,6t +24,5.

b) Khi quả bóng chạm đất thì h(t) = 0. Ta có: – 4,9t$^{2}$ + 19,6t + 24,5 = 0. Giải phương trình ta được:

t = - l; t =5. Mà t > 0 nên t = 5. Vậy sau 5 giây kể từ khi được ném lên thì quả bóng chạm đất.

Giả sử con lắc chuyển động theo phương trình: s = s(1). Suy ra s' (t) = v(t), do đó s(t) là một nguyên hàm của v(t). Ta có: $\int {v\left( t \right)dt} = \int {4cost{\rm{dt}}} = 4sint + C.$

Suy ra s(t)=4sint+C.

Tại thời điểm t = 0, ta có s(0) = 0, tức là 4sin0 + C = 0, hay C = 0. Vậy phương trình chuyển động của con lắc là: s(t) = 4sint.

Kí hiệu v(t) là tốc độ của vật, s(t) là quãng đường vật đi được cho đến thời điểm t giây kể từ khi vật bắt đầu rơi.

Vì a(t) = v’(t) nên: $v(t) = \int {a(t)dt} = \int {10dt = 10t + C}$.

Ta có: v(0) = 0 nên 10.0 + C = 0 hay C = 0. Vậy v(t) = 10t (m/s)

Vì v(t) = s’(t) nên: $s(t) = \int {v(t)dt} = \int {10tdt = 5{t^2} + C}$.

Ta có: s(0) = 0 nên 5.0$^{2}$ + C = 0 hay C = 0. Vậy s(t) = 5t$^{2}$ (m)

Vật rơi từ độ cao 20m nên $s(t) \le 20$, suy ra $0 \le t \le 2$.

Vậy sau khi vật rơi được t giây ($0 \le t \le 2$) thì vật có tốc độ v(t) = 10t (m/s) và đi được quãng đường

s(t) = 5t$^{2}$ (m)

Gọi ${\rm{S}} = {\rm{S}}({\rm{t}})$ là quãng đường rơi được của hòn đá tại thời điểm ${\rm{t}}({\rm{S}}({\rm{t}})$ tính theo m , t tính theo giây).

Suy ra ${S^\prime }({\rm{t}}) = {\rm{v}}({\rm{t}})$, do đó ${\rm{S}}({\rm{t}})$ là một nguyên hàm của $v({\rm{t}})$.

Ta có $\int v (t)dt = \int 9 ,8tdt = 4{,}9{t^2} + C$. Suy ra ${\rm{S}}({\rm{t}}) = 4{,}9{{\rm{t}}^2} + {\rm{C}}$.

Mà hòn đá rơi từ mỏm đá có độ cao 150 m so với mặt đất theo phương thẳng đứng tức là tại thời điểm ${\rm{t}} = 0$ thì ${\rm{S}} = 0$ hay ${\rm{S}}(0) = 0$, suy ra ${\rm{C}} = 0$.

Vậy công thức tính quãng đường rơi được ${\rm{S}}({\rm{t}})$ của hòn đá tại thời điểm t là: $S(t) = 4{,}9{t^2}.$

Khi hòn đá chạm đất thì ${\rm{S}}({\rm{t}}) = 150$. Ta có $4{,}9{{\rm{t}}^2} = 150$. Suy ra $t = \pm \frac{{10\sqrt {15} }}{7}$.

Mà ${\rm{t}} > 0$ nên $t = \frac{{10\sqrt {15} }}{7}$. Vậy sau $t = \frac{{10\sqrt {15} }}{7} \approx 5{,}53$ giây thì hòn đá chạm đến mặt đất.

Gọi $S(t)(0 \le t \le 30)$ là quãng đường máy bay di chuyển được sau $t$ giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà.

Ta có $v(t) = {S^\prime }(t)$. Do đó, $S(t)$ là một nguyên hàm của hàm số vận tốc $v(t)$. Sử dụng tính chất của nguyên hàm ta được: $S(t) = \int v (t){\rm{d}}t = \int {(5 + 3t)} {\rm{d}}t = 5\int {\rm{d}} t + 3\int t \;{\rm{d}}t = 5t + \frac{3}{2}{t^2} + C.$

Theo giả thiết, $S(0) = 0$ nên $C = 0$ và ta được $S(t) = \frac{3}{2}{t^2} + 5t(\;{\rm{m}})$.

Máy bay rời đường băng khi $t = 30$ (giây) nên $S = S(30) = \frac{3}{2} \cdot {30^2} + 5 \cdot 30 = 1500(\;{\rm{m}})$.

Vậy quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi nó rời đường băng là $S = 1500\;{\rm{m}}$.

a) Công thức chiều cao $h(t)$ của cây sau $t$ năm là một nguyên hàm của hàm số ${h^\prime }({\rm{t}})$.

Ta có $\int {{h^\prime }} (t)dt = \int {(1{,}5t + 5)} dt = \int 1 ,5tdt + \int 5 dt = 0{,}75{t^2} + 5t + C$.

Suy ra $h(t) = 0{,}75{t^2} + 5t + C$.

Vì cây con khi được trồng cao 12 cm nên ${\rm{h}}(0) = 12$.

Do đó $0{,}75 \cdot {0^2} + 5 \cdot 0 + C = 12$, suy ra $C = 12$.

Vậy công thức tính chiều cao của cây sau t năm là $h(t) = 0{,}75{t^2} + 5t + 12$.

b) Khi cây được bán, tức là ${\rm{t}} = 6$, ta có ${\rm{h}}(6) = 0{,}75 \cdot {6^2} + 5 \cdot 6 + 12 = 69$.

Vậy khi được bán, cây cao 69 cm.