6 bài tập Đọc đồ thị cho trước để tìm khoảng đơn điệu, cực trị (có lời giải)

a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty )$; Hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty ;0)$

b) ${{\rm{f}}^\prime }({\rm{x}}) = {\left( {{x^2}} \right)^\prime } = 2{\rm{x}}$. Ta có: ${{\rm{f}}^\prime }({\rm{x}}) > 0 \Leftrightarrow 2x > 0 \Leftrightarrow x > 0$; ${{\rm{f}}^\prime }({\rm{x}}) < 0 \Leftrightarrow 2x < 0 \Leftrightarrow x < 0$

c) Nhận xét:

${{\rm{f}}^\prime }({\rm{x}}) > 0$ trên $K$ thì $y = f(x)$ đồng biến trên $K$

${{\rm{f}}^\prime }({\rm{x}}) < 0$ trên ${\rm{K}}$ thì ${\rm{y}} = {\rm{f}}({\rm{x}})$ nghịch biến trên ${\rm{K}}$

Hàm số y = f (x) có:

x = 1 là điểm cực đại vì f (x) < f (1) với mọi x ∈ (0; 2) \ {1}, y$_{cđ}$ = f (1) = 5;

x = 6 là điểm cực đại vì f (x) < f (6) với mọi x ∈ (5; 7) \ {6}, y$_{cđ}$ = f (6) = 6;

x = 4 là điểm cực tiểu vì f (x) > f (4) với mọi x ∈ (3; 5) \ {4}, y$_{ct}$ = f (4) = 1.

Hàm số ${\bf{y}} = {\bf{f}}({\bf{x}})$ có:

${\rm{x}} = 5$ là điểm cực đại vì ${\rm{f}}({\rm{x}}) < {\rm{f}}(5)$ với mọi $x \in (3;7)\backslash \{ 5\} ,{y_{cd}} = f(5) = 5$

${\rm{x}} = 3$ là điểm cực tiểu vì ${\rm{f}}({\rm{x}}) > {\rm{f}}(3)$ với mọi $x \in (1;5)\backslash \{ 3\} ,{y_{ct}} = f(3) = 2$

${\rm{x}} = 7$ là diểm cực tiểu vì ${\rm{f}}({\rm{x}}) > {\rm{f}}(7)$ với mọi $x \in (5;9)\backslash \{ 7\} ,{y_{ct}} = f(7) = 1$

${f^\prime }(x) > 0$ trên các khoảng $( - 1;2)$ và $(4;5)$ nên ${f^\prime }(x)$ đồng biến trên các khoảng $( - 1;2)$ và $(4;5)$ ${{\rm{f}}^\prime }({\rm{x}}) < 0$ trên các khoảng $( - 2; - 1)$ và $(2;4)$ nên ${{\rm{f}}^\prime }({\rm{x}})$ nghịch biến trên các khoảng $( - 2; - 1)$ và $(2;4)$

Ta có: ${f^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1}\\{x = 2}\\{x = 4}\end{array}} \right.$

Vậy $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x = - 1$ và $x = 4$ do ${f^\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua $x = - 1$ và $x = 4$, đạt cực đại tại $x = 2$ do ${f^\prime }(x)$ dổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x = 2$