6 bài tập Áp dụng bất đẳng thức để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức (có lời giải)

Ta có: $A = {x^2} - 6x + 10$$= {x^2} - 6x + 9 + 1$$= {(x - 3)^2} + 1 \ge 1$(dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x = 3$.

Do đó $\min {\rm{A}} = 1$ khi và chỉ khi ${\rm{x}} = 3$.

$B = 5{x^2} - 10x + 3$$= 5{x^2} - 10x + 5 - 2.$$= 5\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 2$$= 5{(x - 1)^2} - 2 \ge - 2$(dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x = 1$) .

Vậy $\min B = - 2$ khi và chỉ khi $x = 1$.

$C = - {x^2} + 5x - 4$$= - \left( {{x^2} - 5x + 4} \right)$

$= - \left( {{x^2} - 2 \cdot \frac{5}{2}x + \frac{{25}}{4} - \frac{{25}}{4} + 4} \right)$$= - \left[ {{{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)}^2} - \frac{9}{4}} \right]$

$= - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{9}{4} \le \frac{9}{4}$ (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x = \frac{5}{2})$

Vậy $\max C = \frac{9}{4}$ khi $x = \frac{5}{2}$.

Ta có: $D = 5 - x - \frac{1}{x}$$= 5 - \left( {x + \frac{1}{x}} \right)$.

Vì $x + \frac{1}{x} \ge 2$ nên $D \le 3$ (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x = \frac{1}{x}$ hay $x = 1$ ).

Vậy $\max {\rm{D}} = 3$ khi và chỉ khi ${\rm{x}} = 1$.

Ta có: $E = 2{x^2} + 8x + {y^2} - 10y + 43$

$= 2{x^2} + 8x + 8 + {y^2} - 10y + 25 + 10$

$= 2\left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + {(y - 5)^2} + 10$

$= 2{(x + 2)^2} + {(y - 5)^2} + 10 \ge 10$ (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x = - 2$ và $y = 5$ ).

Vây ${\rm{min}}\,\,{\rm{E}} = 10$ khi và chỉ khi ${\rm{x}} = - 2$ và ${\rm{y}} = 5$.

Ta có $F = \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + 2}}$$= \frac{{{x^2} + 2x + 1 - {x^2} - 2}}{{{x^2} + 2}} = \frac{{{{(x + 1)}^2}}}{{{x^2} + 2}} - \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2}}$$= \frac{{{{(x + 1)}^2}}}{{{x^2} + 2}} - 1 \ge - 1.$(dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi$x = - 1$)

Vậy min ${\rm{F}} = - 1$ khi và chỉ khi ${\rm{x}} = - 1$.