56 bài tập Tính xác suất có điều kiện bằng công thức (có lời giải) - Đề 3

a) Xét hai biến cố:

A: "Bạn Nam chọn được máy tính đã cài đặt phần mềm lập trình Python";

B: "Bạn Nam chọn được máy tính được đánh số lẻ".

Khi đó, xác suất bạn Nam chọn được máy tính đã cài đặt phần mềm lập trình Python, biết rằng máy tính đó được đánh số lẻ, chính là xác suất có điều kiện $P(A\mid B)$.

Vi có 40 máy tính được đánh số từ 1 đến 40 , mỗi máy đánh 1 số khác nhau nên có 20 máy được đánh số lẻ và 20 máy được đánh số chẳn. Ta có ${\rm{P}}({\rm{B}}) =$ $\frac{{20}}{{40}} = 0{,}5$.

Theo bài ra ta có, xác suất chọn được một máy tính đã cài đặt phần mềm lập trình Python được đánh số lẻ là 0,45 , tức là ${\rm{P}}({\rm{A}} \cap {\rm{B}}) = 0{,}45$.

Khi đó, ${\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}} = \frac{{0{,}45}}{{0{,}5}} = \frac{9}{{10}}$

Xét hai biến cố sau:

A: "Học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi";

$B$ : "Học sinh được chọn ra là học sinh nữ".

Khi đó, xác suất để học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi, biết rằng học sinh đó là nữ, chính là xác suất của $A$ với điều kiện $B$.

Do có 26 học sinh nữ đạt điểm giỏi nên

${\rm{P}}(A \cap B) = \frac{{26}}{{200}} = 0{,}13.{\rm{ }}$

Do có 105 học sinh nữ nên ${\rm{P}}(B) = \frac{{105}}{{200}} = 0{,}525$. Vì thế, ta có:

${\rm{P}}(A\mid B) = \frac{{{\rm{P}}(A \cap B)}}{{{\rm{P}}(B)}} = \frac{{0{,}13}}{{0{,}525}} \approx 0{,}25.$

Vậy xác suất để học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi, biết rằng học sinh đó là nữ, là 0,25 .

Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:

Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính bằng công thức: $\frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}}$.

Do có 1 học sinh nữ tên Thanh nên $P(A \cap B) = \frac{1}{{30}}$.

Do có 17 học sinh nữ trong lớp nên $P(B) = \frac{{17}}{{17 + 13}} = \frac{{17}}{{30}}$.

Vì thế, ta có: $\frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}} = \frac{{\frac{1}{{30}}}}{{\frac{{17}}{{30}}}} = \frac{1}{{17}}$

Xét hai biến cố sau:

A: "Áo được chọn ra có cơ 40 ";

$B$ : "Áo được chọn ra là áo sơ mi trắng".

Khi đó, xác suất để chiếc áo sơ mi được chọn ra có cỡ 40 , biết rằng chiếc áo sơ mi đó là áo sơ mi trắng, chính là xác suất có điều kiện ${\rm{P}}(A\mid B)$.

Áp dụng công thức $(*)$, ta có: ${\rm{P}}(A\mid B) = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(B)}} = \frac{{200}}{{1000}} = 0{,}2.$

Vậy xác suất để chiếc áo sơ mi được chọn ra có cỡ 40 , biết rằng chiếc áo sơ mi đó là áo sơ mi trắng, là 0,2

Xét hai biến cố sau:

A: "Lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ”;

B: "Lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh".

Khi đó, xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ, biết rằng lần thứ nhất đã lấy được quả bóng màu xanh, chính là xác suất của A với điều kiện B .

Cách 1:

Nếu $B$ xảy ra, tức là lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh. Khi đó, trong hộp còn lại 9 quả bóng với 5 quả bóng màu xanh và 4 quả bóng màu đỏ.

Vậy xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ, biết rằng lần thứ nhất đã lấy được quả bóng màu xanh là: ${\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{4}{9}$.

Cách 2 :

Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả bóng trong hộp, lấy không hoàn lại, lần thứ nhất lấy một quả bóng có 10 cách chọn, lần thứ hai lấy một quả bóng có 9 cách chọn một quả bóng trong hộp. Do đó, $n(\Omega ) = 10 \cdot 9 = 90$.

Lần thứ nhất lấy bóng có 6 cách chọn một quả bóng màu xanh, lần thứ hai có 9 cách chọn một quả bóng từ 9 quả bóng còn lại trong hộp. Do đó, $n(B) = 6 \cdot 9$ $= 54$.

Khi đó, $P(B) = \frac{{54}}{{90}} = \frac{3}{5}$.

Lần thứ nhất lấy bóng có 6 cách chọn một quả bóng màu xanh, lần thứ hai lấy bóng có 4 cách chọn một quả bóng màu đỏ. Do đó, $n(A \cap B) = 6 \cdot 4 = 24$.

Khi đó, $P(A \cap B) = \frac{{24}}{{90}} = \frac{4}{{15}}$.

Vậy xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ, biết rằng lần thứ nhất đã lấy được quả bóng màu xanh là: ${\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}} = \frac{{\frac{4}{{15}}}}{{\frac{3}{5}}} = \frac{4}{9}$

Xét hai biến cố sau:

A: "Chiếc thẻ được chọn ra ghi số 5 ";

B: "Chiếc thẻ được chọn ra có màu vàng".

Khi đó, xác suất để chiếc thẻ được chọn ra ghi số 5 , biết rằng chiếc thẻ đó có màu vàng, chính là xác suất có điều kiện ${\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}})$.

Ta có ${\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(B)}} = \frac{{40}}{{200}} = \frac{1}{5} = 0{,}2$.

Vậy xác suất để chiếc thẻ được chọn ra ghi số 5 , biết rằng chiếc thẻ đó có màu vàng, là 0,2 .

$\cdot$ Trong 1500 người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, số người cho kết quả dương tính (khi kiểm tra) là: $76\%$. $1500 = 1140$ (người).

Trong 1500 người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, số người cho kết quả âm tính (khi kiểm tra) là: $1500 - 1140 = 360$ (người).

- Trong 7500 người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, số người cho kết quả dương tính (khi kiểm tra) là: $7\%$. $7500 = 525$ (người). Do đó, số người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết cho kết quả âm tính (khi kiểm tra) là: $7500 - 525 = 6975$ (người).

Từ đó, Bảng trên được hoàn thiện bởi Bảng dưới đây (đơn vị: người).

Từ Bảng vừa tìm được ta thấy số người có kết quả dương tính khi thử nghiệm là:

$525 + 1140 = 1665 > 1500.$

Xét các biến cố sau:

$A$ : "Người được chọn ra trong số những người thử nghiệm là bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết";

$B$ : "Người được chọn ra trong số những người thử nghiệm cho kết quả dương tính (khi kiểm tra)".

Từ các dữ liệu thống kê ở Bảng 2, ta có:

${\rm{P}}(B) = \frac{{1665}}{{9000}} = \frac{{37}}{{200}};{\rm{P}}(A \cap B) = \frac{{1140}}{{9000}} = \frac{{19}}{{150}}.{\rm{ N\^e n P}}(A\mid B) = \frac{{19}}{{150}}:\frac{{37}}{{200}} = \frac{{76}}{{111}} \approx 68{,}5\% .$

Xét các biến cố sau:

C: “Người được chọn ra trong số những người thử nghiệm là bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết";

D: “Người được chọn ra trong số những người thử nghiệm cho kết quả âm tính (khi kiểm tra)".

Từ các dữ liệu thống kê ở Bảng 2, ta có: ${\rm{P}}({\rm{D}}) = \frac{{360 + 6975}}{{9000}} = \frac{{163}}{{200}};P(C \cap D) = \frac{{360}}{{9000}} = \frac{1}{{25}}.$

Vậy $P(C\mid D) = \frac{1}{{25}}:\frac{{163}}{{200}} = \frac{8}{{163}}$

Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7”;

B là biến cố: "Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm".

Cần tính $P(A\mid B)$.

Ta có $n(\Omega ) = 36;AB = \{ (2;5);(5;2)\} \Rightarrow n(AB) = 2 \Rightarrow P(AB) = \frac{2}{{36}}$

$\bar B = \{ ({\rm{a}};{\rm{b}})\mid {\rm{a}},{\rm{b}} \in \{ 1;2;3;4;6\} \} \Rightarrow {\rm{n}}(\bar B) = 5 \cdot 5 = 25.$

$\Rightarrow P(\bar B) = \frac{{25}}{{36}} \Rightarrow P(B) = 1 - P(\bar B) = 1 - \frac{{25}}{{36}} = \frac{{11}}{{36}}$

Từ đó suy ra $P(A\mid B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{2}{{11}}$.

Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7”;

B là biến cố: "Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm".

Ta cần tính ${\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}})$.

Ta có $P(B\mid A) = \frac{{P(AB)}}{{P(A)}}$. Ở câu a) ta đã có $P(AB) = \frac{2}{{36}}$. Cần tính ${\rm{P}}({\rm{A}})$.

Ta có ${\rm{A}} = \{ (1;6);(2;5);(3;4);(4;3);(5;2);(6;1)\} ;n(A) = 6 \Rightarrow P(A) = \frac{6}{{36}}$.

Từ đó suy ra $P(B\mid A) = \frac{{P(AB)}}{{P(A)}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Gọi A là biến cố: "tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đó không nhỏ hơn 10 ";

B là biến cố: "ít nhất một con xúc xắc xuắt hiện mặt 5 chấm".

Cần tính $P(A\mid B)$.

Ta có ${\rm{AB}} = \{ (5;5);(5;6);(6;5)\} ;{\rm{n}}({\rm{AB}}) = 3 \Rightarrow P(AB) = \frac{3}{{36}}$

$\bar B = \{ ({\rm{a}};{\rm{b}})\mid {\rm{a}},{\rm{b}} \in \{ 1;2;3;4;6\} \} \Rightarrow {\rm{n}}(\bar B) = 5 \cdot 5 = 25.$

$\Rightarrow P(\bar B) = \frac{{25}}{{36}} \Rightarrow P(B) = 1 - P(\bar B) = 1 - \frac{{25}}{{36}} = \frac{{11}}{{36}}.$

Vậy $P(A\mid B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{3}{{11}}$

Gọi A là biến cố: "Thí nghiệm thứ nhất thành công" và B là biến cố: "Thí nghiệm thứ hai thành công". Khi đó biến cố "Cả hai thí nghiệm đều thành công" là AB .

Theo công thức nhân xác suắt ta có ${\rm{P}}({\rm{AB}}) = {\rm{P}}({\rm{A}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}})$.

Theo bài ra ta có $P(A) = 0{,}7;P(B\mid A) = 0{,}9$.

Thay vào ta được ${\rm{P}}({\rm{AB}}) = 0{,}7 \cdot 0{,}9 = 0{,}63$.

Biến cố: "Cả hai thí nghiệm đều không thành công" là $\bar A\bar B$.

Theo công thức nhân xác suất ta có $P(\bar A\bar B) = P(\bar A) \cdot P(\bar B\mid \bar A)$.

Ta có $P(\bar B\mid \bar A)$ là xác suắt đế thí nghiệm thứ hai không thành công nếu thí nghiệm thứ nhắt không thành công. Do đó, từ dữ kiện của bài toán ta có:

$P(\bar B\mid \bar A) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6;P(\bar A) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3.{\rm{ }}$

Vậy $P(\bar A\bar B) = 0{,}3 \cdot 0{,}6 = 0{,}18.{\rm{ }}$

Biến cố "Thí nghiệm thứ nhất thành công và thí nghiệm thứ hai không thành công" là $P(A\bar B) = P(A) \cdot P(\bar B\mid A)$

Theo công thức nhân xác suất ta có $P(A\bar B) = P(A) \cdot P(\bar B\mid A)$.

Ta có $P(\bar B\mid A)$ là xác suất đế thí nghiệm thứ hai không thành công nếu thí nghiệm thứ nhất thành công. Do đó từ dữ kiện của bài toán ta có

$P(\bar B\mid A) = 1 - 0{,}9 = 0{,}1;\quad P(A) = 0{,}7.{\rm{ }}$

Vậy $P(\bar B\mid A) = 0{,}7 \cdot 0{,}1 = 0{,}07$

Gọi A là biến cố: "Lằn 1 Hà lấy được kẹo màu cam";

B là biến cố: "Lần 2 Hà lấy được kẹo màu cam".

Khi đó AB là biến cố: "Cả hai lần Hà lấy được kẹo màu cam". Ta có ${\rm{P}}({\rm{AB}}) = \frac{1}{3}$.

Gọi $n$ là số kẹo ban đầu trong túi $(n > 0)$.

Ta có $P(A) = \frac{6}{n},P(B\mid A) = \frac{5}{{n - 1}}$.

Theo công thức nhân xác suất, ta có:

$P(AB) = P(A) \cdot P(B\mid A) = \frac{6}{n} \cdot \frac{5}{{n - 1}} = \frac{{30}}{{{n^2} - n}} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow {n^2} - n - 90 = 0 \Leftrightarrow n = - 9{\rm{ (loai) ; }}n = 10(t/m).$

Vậy ban đầu trong túi có 10 cái kẹo.

Gọi A là biến cố "Cả 3 người được chọn đều là kĩ sư" và B là biến cố " 3 người được chọn có ít nhất 2 kĩ sư".

Cần tính ${\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}}$.

Số cách chọn 3 người từ phòng 10 người là $C_{10}^3 = 120$ cách.

Số cách chọn 3 người trong có có ít nhất hai kĩ sư là $C_4^2 \cdot C_6^1 + C_4^3 = 40$ cách. Suy ra $P(B) = \frac{{40}}{{120}} = \frac{1}{3}$.

Số cách chọn 3 người đều là kĩ sư là $C_4^3 = 4$ cách.

Do đó $P(AB) = \frac{4}{{120}} = \frac{1}{{30}}$.

Vậy $P(A\mid B) = \frac{1}{{30}}:\frac{1}{3} = \frac{1}{{10}}$.