50 bài tập Hình học không gian có lời giải

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}$ có $AA' \bot AB,AA' \bot AC$ và tất cả các cạnh đều bằng $a$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AA'$ và $AC$.

a) $\left( {A'B,C'C} \right) = \widehat {AA'B}$.

b) $\left( {A'B,C'C} \right) = 45^\circ$.

c) $\left( {A'C,MB} \right) = \widehat {BAN}$.

d) $\widehat {BMN} \approx 42{,}6^\circ$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a\sqrt 2$, $AC = a\sqrt 3$. Cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với mặt đáy $\left( {ABCD} \right)$. Khi đó:

a) $AD\,{\rm{//}}\,\left( {SBC} \right)$.

b) Khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD,AB$ bằng $\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.

d) Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $\frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}$.

Người ta cần xây dựng công trình đê để ngăn nước lũ của sông. Mặt cắt của đê được thiết kế với số đo như trong hình vẽ dưới đây.

Tổng thể tích vật liệu cần dùng để xây dựng đoạn đê đó bằng bao nhiêu mét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Biết rằng đoạn đê thẳng và dài 100m.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy$ABCD$ là hình vuông, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $BC$. Hãy chọn khẳng định đúng.

Cho tứ diện $SABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Gọi $M$,$N$lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên cạnh $SB$ và $SC$. Khẳng định nào sau đây sai?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật tâm $O$, cạnh $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SB$ và $SD$. Hỏi đường thẳng $SC$ vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$, $SA = 2\sqrt 6$. Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $2$. Số đo góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và $SA = a$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ bằng góc nào trong các góc dưới đây?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $SA \bot \left( {ABC} \right)$. Tính số đo theo đơn vị độ của góc nhị diện $\left[ {B,SA,C} \right]$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có cạnh $AB = a;BC = 2a$. Hai mặt bên $SAB$ và $SAD$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy $ABCD$, cạnh $SA = a\sqrt {15}$. Tính góc tạo bởi đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABD} \right)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, hai đường thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$, $SO \bot \left( {ABCD} \right)$, tam giác $SAC$ là tam giác đều. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$. Tính số đo của góc nhị diện $\left[ {M,SO,D} \right]$.

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Cho hình chóp tam giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $AB$ và $B'C'$ là

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD = 1$ và $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = 60^\circ ,\widehat {CAD} = 90^\circ$. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$.

a) $CD = \sqrt 2$.

b) Tam giác $BCD$ vuông cân tại $C$.

c) $IJ \bot AB$.

d) $IJ \bot CD$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right),AB \bot BC$, $SA = AB = a,AC = a\sqrt 3$.

a) $BC \bot \left( {SAB} \right)$.

b) Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ bằng $\widehat {CSA}$.

c) ${\rm{tan}}\widehat {CSB} = 1$.

d) Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ bằng $60^\circ$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và $SA \bot \left( {ABC} \right)$.

a) $\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)$.

b) Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. Khi đó $\left( {SAH} \right) \bot \left( {SBC} \right)$.

c) $\left( {AB,SC} \right) = 60^\circ$.

d) Gọi $K$ là hình chiếu của $A$ trên $SC$. Khi đó $\left( {\left( {ABK} \right),\left( {SBC} \right)} \right) = 60^\circ$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có mặt bên $\left( {SAB} \right)$ vuông góc với mặt đáy và tam giác $SAB$ đều cạnh $2a$. Biết tam giác $ABC$ vuông tại $C$ và cạnh $AC = a\sqrt 3$.

a) $SH \bot \left( {ABC} \right)$ với $H$ là trung điểm của $AB$.

b) $d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = a\sqrt 3$.

c) $d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

d) Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng $\frac{{{a^3}}}{6}$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = 2a$, $AD = a$. Hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là trung điểm $H$ của $AB$ và $\widehat {SCH} = 45^\circ$.

a) $BC \bot \left( {SAB} \right)$.

b) $d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.

c) Gọi $K$ là trung điểm $CD$. Khi đó $CD \bot \left( {SHK} \right)$.

d) $d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = a,AD = b,AA' = c$.

a) $AB \bot \left( {ADD'A'} \right)$.

b) Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $BD'$ bằng: $\frac{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$.

c) Gọi $I,J$ theo thứ tự là tâm của các hình chữ nhật $ADD'A',BCC'B'$. Khi đó $IJ$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng $AD'$ và $B'C$.

d) Khoảng cách hai đường thẳng $AD'$ và $B'C$ bằng $2a$.

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $AC = a,BC = 2a,\widehat {ACB} = 120^\circ$. Gọi $M$ là trung điểm của $BB'$.

a) $d\left( {CC',\left( {ABB'A'} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}$.

b) $d\left( {CC',AM} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{{12}}$.

c) $AA' \bot \left( {ABC} \right),AA' \bot \left( {A'B'C'} \right)$.

d) Biết khoảng cách giữa hai mặt đáy lăng trụ bằng $2a$. Khi đó thể tích khối lăng trụ là ${a^3}\sqrt 3$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có $AB = 1,\widehat {ACB} = 30^\circ$. Biết $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA = 2$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$.

a) $d\left( {A,SB} \right) = AH = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$.