5 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (Vận dụng) có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Việc bầu chọn một ban quản trị gồm 4 người có 3 phương án thực hiện:

Phương án 1: Chọn 1 nam và 3 nữ.

Chọn 1 nam trong số 5 nam, có ${C}_{5}^{1}$ cách chọn.

Chọn 3 nữ trong số 4 nữ, có ${C}_{4}^{3}$ cách chọn.

Do đó theo quy tắc nhân, số cách chọn 1 nam và 3 nữ là ${C}_{5}^{1}.{C}_{4}^{3}$ cách chọn.

Phương án 2: Chọn 2 nam và 2 nữ.

Chọn 2 nam trong số 5 nam, có ${C}_{5}^{2}$ cách chọn.

Chọn 2 nữ trong số 4 nữ, có ${C}_{4}^{2}$ cách chọn.

Do đó theo quy tắc nhân, số cách chọn 2 nam và 2 nữ là ${C}_{5}^{2}.{C}_{4}^{2}$ cách chọn.

Phương án 3: Chọn 3 nam và 1 nữ.

Chọn 3 nam trong số 5 nam, có ${C}_{5}^{3}$ cách chọn.

Chọn 1 nữ trong số 4 nữ, có ${C}_{4}^{1}$ cách chọn.

Do đó theo quy tắc nhân, số cách chọn 3 nam và 1 nữ là ${C}_{5}^{3}.{C}_{4}^{1}$ cách chọn.

Vậy theo quy tắc cộng, ta có tất cả ${C}_{5}^{1}.{C}_{4}^{3}+{C}_{5}^{2}.{C}_{4}^{2}+{C}_{5}^{3}.{C}_{4}^{1}=120$ cách chọn.

Ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi $\overline{abc}\$ là số cần tìm, với a, b, c ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5}.

Vì $\overline{abc}\ ⋮\ 9$ nên tổng các chữ số a + b + c ⋮ 9.

Khi đó a; b; c là bộ số (0; 4; 5), (2; 3; 4) hoặc (1; 3; 5).

Trường hợp 1: a; b; c là bộ số (0; 4; 5).

Vị trí a có 2 cách chọn (số 4 hoặc số 5).

Vị trí b, c có 2! = 2 cách chọn từ 2 chữ số còn lại.

Do đó theo quy tắc nhân, ta có tất cả 2.2 = 4 số.

Trường hợp 2: a; b; c là bộ số (2; 3; 4) thì có 3! = 6 số.

Trường hợp 3: a; b; c là bộ số (1; 3; 5) thì có 3! = 6 số.

Vậy theo quy tắc cộng, ta có tất cả 4 + 6 + 6 = 16 số.

Ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: n ≥ 3 và n ∈ ℕ*.

Ta có $14.{P}_{3}.{C}_{n-1}^{n-3}<{A}_{n+1}^{4}$

$\Leftrightarrow 14.3!.\frac{(n-1)!}{(n-3)!(n-1-n+3)!}<\frac{(n+1)!}{(n+1-4)!}$

$\Leftrightarrow 14.3.2.1.\frac{(n-1)!}{(n-3)!.2!}<\frac{(n+1)!}{(n-3)!}$

$\Leftrightarrow 84.\frac{(n-1).(n-2).(n-3)!}{(n-3)!.2}<\frac{(n+1).n.(n-1).(n-2).(n-3)!}{(n-3)!}$

⇔ 42.(n – 1)(n – 2) < (n + 1).n.(n – 1)(n – 2)

⇔ 42 < (n + 1).n (do (n – 1)(n – 2) ≠ 0, với n ≥ 3 và n ∈ ℕ*)

⇔ n$^{2}$ + n – 42 > 0

⇔ n < –7 hoặc n > 6.

So với điều kiện n ≥ 3 và n ∈ ℕ*, ta nhận n > 6.

Vậy có vô số số tự nhiên n thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

⦁ Ta có: ${C}_{2022}^{23}+{C}_{2022}^{22}=\frac{2022!}{23!.(2022-23)!}+\frac{2022!}{22!.(2022-22)!}$

$=\frac{2022!}{23!.1999!}+\frac{2022!}{22!.2000!}$

$=2022!.(\frac{1}{23!.1999!}+\frac{1}{22!.2000!})$

$=2022!.(\frac{2000}{23!.2000.1999!}+\frac{23}{23.22!.2000!})$

$=2022!.(\frac{2000}{23!.2000!}+\frac{23}{23!.2000!})$

$=2022!.\frac{2023}{23!.2000!}=\frac{2023!}{23!.2000!}=\frac{2023!}{23!.(2023-23)!}$

Do đó phương án A đúng.

⦁ Áp dụng công thức ${C}_{n}^{k}={C}_{n}^{n-k}$, ta được: ${C}_{2022}^{23}={C}_{2022}^{1999}$.

Suy ra ${C}_{2023}^{23}={C}_{2022}^{23}+{C}_{2022}^{22}={C}_{2022}^{1999}+{C}_{2022}^{22}\ne {C}_{2022}^{2000}+{C}_{2022}^{22}$.

Do đó phương án B sai.

⦁ Tương tự ta cũng có: ${C}_{2022}^{22}={C}_{2022}^{2000}$

Nên ${C}_{2023}^{23}={C}_{2022}^{1999}+{C}_{2022}^{22}={C}_{2022}^{1999}+{C}_{2022}^{2000}$

Và ${C}_{2023}^{23}={C}_{2022}^{23}+{C}_{2022}^{22}={C}_{2022}^{23}+{C}_{2022}^{2000}$

Do đó phương án C, D đúng.

Vậy ta chọn phương án B.