5 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° có đáp án (Vận dụng)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là:

∆ABC có: A + B + C = 180° (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

⦁ Ta có $\sin \frac{{A + B}}{2} = \sin \frac{{180^\circ - C}}{2}$

$= \sin \left( {\frac{{180^\circ }}{2} - \frac{C}{2}} \right)$

$= \sin \left( {90^\circ - \frac{C}{2}} \right)$

$= \cos \frac{C}{2}.$

Do đó phương án A đúng.

⦁ Ta có $\tan \frac{{A + B - C}}{2} = \tan \frac{{180^\circ - C - C}}{2}$

$= \tan \frac{{180^\circ - 2C}}{2}$

$= \tan \left( {\frac{{180^\circ }}{2} - \frac{{2C}}{2}} \right)$

= tan(90° – C)

= cotC.

Do đó phương án B đúng.

⦁ Ta có cos(A + B) = cos(180° – C)

= –cosC.

Do đó phương án C đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có M = sin$^{2}$45° – 2sin$^{2}$50° + 3cos$^{2}$45° – 2sin$^{2}$130° + 4tan55°.tan35°

$= {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} - 2{\sin ^2}50^\circ + 3.{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} - 2{\sin ^2}\left( {180^\circ - 50^\circ } \right) + 4\tan 55^\circ .\tan \left( {90^\circ - 55^\circ } \right)$

= 2 – 2(sin$^{2}$50° + cos$^{2}$50°) + 4tan55°.cot55°

= 2 – 2.1 + 4.1 (Áp dụng kết quả Bài tập 5a và 5b, trang 65, Sách giáo khoa Toán 10, Tập một)

= 4.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì tanα = –3 nên $\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - 3$ do đó cosα ≠ 0.

Ta có $H = \frac{{6\sin \alpha - 7\cos \alpha }}{{6\cos \alpha + 7\sin \alpha }}$

$= \frac{{6.\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 7.\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{6.\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} + 7.\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}$ (vì cosα ≠ 0)

$= \frac{{6.\tan \alpha - 7}}{{6 + 7.\tan \alpha }}$

$= \frac{{6.\left( { - 3} \right) - 7}}{{6 + 7.\left( { - 3} \right)}} = \frac{5}{3}$.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có sinα – cosα = $\frac{1}{{\sqrt 5 }}$.

$\Rightarrow {\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)^2} = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^2}$

$\Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{5}$

$\Rightarrow 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{5}$ (Vì sin$^{2}$α + cos$^{2}$α = 1, áp dụng Bài tập 5a, trang 65, Sách giáo khoa Toán 10, Tập một)

$\Rightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{4}{5}$

$\Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2}{5}$

$\Rightarrow {\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha = \frac{4}{{25}}$

Ta có $E = \sqrt {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha }$

$= \sqrt {{{\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)}^2} + {{\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)}^2}}$

$= \sqrt {{{\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)}^2} + 2{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha + {{\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)}^2} - 2{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }$

$= \sqrt {{{\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)}^2} - 2{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }$

$= \sqrt {{1^2} - 2.\frac{4}{{25}}} = \frac{{\sqrt {17} }}{5}$

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $2\cos \alpha + \sqrt 2 \sin \alpha = 2$

$$\Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \alpha = 2 - 2\cos \alpha$$

⇒ 2sin$^{2}$α = (2 – 2cosα)$^{2}$

⇔ 2(1 – cos$^{2}$α) = 4 – 8cosα + 4cos$^{2}$α

⇔ 6cos$^{2}$α – 8cosα + 2 = 0 (1)

Đặt t = cosα.

Vì 0° < α < 90° nên 0 < t < 1.

Phương trình (1) tương đương với: 6t$^{2}$ – 8t + 2 = 0

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \frac{1}{3}\end{array} \right.$

Vì 0 < t < 1 nên ta nhận $t = \frac{1}{3}$.

Với $t = \frac{1}{3}$, ta có $\cos \alpha = \frac{1}{3}$.

Suy ra ${\cos ^2}\alpha = \frac{1}{9}$

Áp dụng Bài tập 5a, trang 65, Sách giáo khoa Toán 10, Tập một, ta có:

sin$^{2}$α + cos$^{2}$α = 1

$\Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\\\sin \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\end{array} \right.$

Vì 0° < α < 90° nên α là góc nhọn.

Do đó sinα > 0.

Vì vậy ta nhận $\sin \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Ta có $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{3}:\frac{{2\sqrt 2 }}{3} = \frac{1}{3}.\frac{3}{{2\sqrt 2 }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$.

Vậy ta chọn phương án D.