5 câu Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Ba đường conic (Phần 2) có đáp án (Vận dụng)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có tiêu điểm ${F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)$. Suy ra $c = \sqrt 3$.

Khi đó c$^{2}$ = 3.

Vì vậy a$^{2}$ – b$^{2}$ = 3.

Do đó a$^{2}$ = b$^{2}$ + 3.

Phương trình chính tắc của (E) có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ (a > b > 0).

Ta có $M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \in \left( E \right)$.

Suy ra $\frac{{{1^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{3}{{4{b^2}}} = 1$

⇔ 4b$^{2}$ + 3a$^{2}$ = 4a$^{2}$b$^{2}$

⇔ 4b$^{2}$ + 3(b$^{2}$ + 3) = 4b$^{2}$(b$^{2}$ + 3)

⇔ 4b$^{4}$ + 5b$^{2}$ – 9 = 0

⇔ b$^{2}$ = 1 hoặc ${b^2} = - \frac{9}{4}$ (vô lí)

⇔ b = 1.

Với b = 1, ta có a$^{2}$ = 1$^{2}$ + 3 = 4.

Vậy phương trình chính tắc của (E): $\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1$.

Do đó ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình chính tắc của (H) có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với $\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 16\\{b^2} = 9\end{array} \right.$

Ta có c$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ = 16 + 9 = 25.

Suy ra c = 5.

Khi đó hai tiêu điểm của (H) là F$_{1}$(–5; 0), F$_{2}$(5; 0).

Ta có ∆: x + y = 3 ⇔ x + y – 3 = 0.

Ta có $d\left( {{F_1},\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 5 + 0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 4\sqrt 2$ và $d\left( {{F_2},\Delta } \right) = \frac{{\left| {5 + 0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2$.

Khi đó tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của (H) đến ∆ là: $4\sqrt 2 .\sqrt 2 = 8$.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có 2a gấp đôi 2b. Suy ra 2a = 4b.

Khi đó a = 2b.

Phương trình chính tắc của (H) có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với a > 0, b > 0.

Ta có M(2; –2) ∈ (E).

Suy ra $\frac{{{2^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1$

⇔ 4b$^{2}$ – 4a$^{2}$ = a$^{2}$b$^{2}$

⇔ 4b$^{2}$ – 4.(2b)$^{2}$ = (2b)$^{2}$.b$^{2}$

⇔ 4b$^{4}$ – 12b$^{2}$ = 0

⇔ b$^{2}$ = 0 hoặc b$^{2}$ = 3

⇔ b = 0 hoặc $b = \sqrt 3$

Vì b > 0 nên ta loại b = 0.

Với $b = \sqrt 3$, ta có $a = 2\sqrt 3$.

Vậy phương trình chính tắc của (H): $\frac{{{x^2}}}{{12}} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1$.

Do đó ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và elip (E) thỏa mãn hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\\frac{{{{\left( { - 4} \right)}^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\{y^2} = \frac{{81}}{{25}}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = \pm \frac{9}{5}\end{array} \right.$

Suy ra tọa độ $M\left( { - 4; - \frac{9}{5}} \right),\,\,N\left( { - 4;\frac{9}{5}} \right)$.

Khi đó $MN = \sqrt {{{\left( { - 4 + 4} \right)}^2} + {{\left( {\frac{9}{5} + \frac{9}{5}} \right)}^2}} = \frac{{18}}{5}$.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tọa độ giao điểm của (P) và ∆ thỏa hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 32x\\2x - 3y + 4 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 32x\\2x = 3y - 4\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 32x\\x = \frac{3}{2}y - 2\end{array} \right.$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 32.\left( {\frac{3}{2}y - 2} \right) = 48y - 64\\x = \frac{3}{2}y - 2\end{array} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} - 48y + 64 = 0\\x = \frac{3}{2}y - 2\end{array} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 24 \pm 16\sqrt 2 \\x = \frac{3}{2}y - 2\end{array} \right.$$

Với $y = 24 + 16\sqrt 2$, ta có $x = \frac{3}{2}.\left( {24 + 16\sqrt 2 } \right) - 2 = 34 + 24\sqrt 2$

Suy ra $A\left( {34 + 24\sqrt 2 ;24 + 16\sqrt 2 } \right)$.

Với $y = 24 - 16\sqrt 2$, ta có $x = \frac{3}{2}.\left( {24 - 16\sqrt 2 } \right) - 2 = 34 - 24\sqrt 2$

Suy ra $A\left( {34 - 24\sqrt 2 ;24 - 16\sqrt 2 } \right)$.

Vậy $A\left( {34 + 24\sqrt 2 ;24 + 16\sqrt 2 } \right)$ hoặc $A\left( {34 - 24\sqrt 2 ;24 - 16\sqrt 2 } \right)$ là tọa độ A cần tìm.

Do đó ta chọn phương án A.