5 bài tập Giải phương trình bậc hai (có lời giải)

a) $a = 2,\,b = - 7,\,c = 3$

$\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.2.3 = 25$ do đó $\sqrt \Delta = 5$

Phương trình có hai nghiệm ${x_1} = \frac{{ - \left( { - 7} \right) + 5}}{{2.2}} = \frac{{12}}{4} = 3,{x_2} = \frac{{ - \left( { - 7} \right) - 5}}{{2.2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Vậy $S = \left\{ {\frac{1}{2};3} \right\}$

b) $a = 6,\,b = 1,\,c = 5$

$\Delta = {1^2} - 4.6.5 = - 119 < 0$. Phương trình vô nghiệm.

c) $a = 6,\,b = 1,\,c = - 5$

$\Delta = {1^2} - 4.6.\left( { - 5} \right) = 121$ do đó $\sqrt \Delta = 11$

Phương trình có hai nghiệm ${x_1} = \frac{{ - 1 + 11}}{{2.6}} = \frac{5}{6},{x_2} = \frac{{ - 1 - 11}}{{2.6}} = - 1$.

Vậy $S = \left\{ { - 1;\frac{5}{6}} \right\}$

d) $a = 3,\,b = 5,\,c = 2$

$\Delta = {5^2} - 4.3.2 = 1$ do đó $\sqrt \Delta = 1$

Phương trình có hai nghiệm ${x_1} = \frac{{ - 5 + 1}}{{2.3}} = \frac{{ - 2}}{3}$ ; ${x_2} = \frac{{ - 5 - 1}}{{2.3}} = - 1$

Vậy $S = \left\{ { - 1;\frac{{ - 2}}{3}} \right\}$

e) $a = 1,\,b = - 8,\,c = 16$

$\Delta = {\left( { - 8} \right)^2} - 4.1.16 = 0$

Phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{8}{2} = 4$

f) $a = 16,\,b = 24,\,c = 9$.

$\Delta = {24^2} - 4.16.9 = 0$

Phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = - \frac{{24}}{{2.16}} = \frac{{ - 3}}{4}$

a) $a = 4,\,b = 2,\,c = 1$

$\Delta = {2^2} - 4.1 = 0$

Phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = - \frac{2}{4} = \frac{{ - 1}}{2}$

b) $a = 13852,\,b' = 7,\,c = 1.$

$\Delta ' = {\left( { - 7} \right)^2} - 13852.1 = 49 - 13852 < 0$

Phương trình vô nghiệm.

c) $a = 5,\,b' = - 3,\,c = 1$

$\Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 5.1 = 4$ do đó $\sqrt \Delta = 2$

Phương trình có hai nghiệm ${x_1} = \frac{{3 + 2}}{5} = 1$ ; ${x_2} = \frac{{3 - 2}}{5} = \frac{1}{5}$

Vậy $S = \left\{ {1;\frac{1}{5}} \right\}$

d) $a = - 3,\,b' = 2\sqrt 6 ,\,c = 4$

$\Delta ' = {\left( {2\sqrt 6 } \right)^2} - \left( { - 3} \right).4 = 36$ do đó $\sqrt \Delta = 6$

Phương trình có hai nghiệm ${x_1} = \frac{{ - 2\sqrt 6 + 6}}{{ - 3}} = \frac{{2\sqrt 6 - 6}}{3}$ ; ${x_2} = \frac{{ - 2\sqrt 6 - 6}}{{ - 3}} = \frac{{2\sqrt 6 + 6}}{3}$

Vậy $S = \left\{ {\frac{{2\sqrt 6 - 6}}{3};\frac{{2\sqrt 6 + 6}}{3}} \right\}$

a) Ta có $3{x^2} - 2x = {x^2} + 3 \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x - 3 = 0$

$a = 2,b' = - 1,c = - 3.\,\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 2\left( { - 3} \right) = 7$.

Phương trình có hai nghiệm ${x_1} = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{2} \approx 1{,}82$; ${x_2} = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{2} \approx - 0{,}82$

b) Ta có ${\left( {2x - \sqrt 2 } \right)^2} - 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)$

$4{x^2} - 4\sqrt 2 x - 1 = {x^2} - 1$

$3{x^2} - 4\sqrt 2 x + 2 = 0;$

$a = 3,b' = - 2\sqrt 2 ,c = 2$ $\Delta ' = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} - 3.2 = 2$.

Phương trình có hai nghiệm ${x_1} = \frac{{2\sqrt 2 + \sqrt 2 }}{3} = \sqrt 2 \approx 1{,}41;$ ${x_2} = \frac{{2\sqrt 2 - \sqrt 2 }}{3} = \frac{{\sqrt 2 }}{3} \approx 0{,}47$

c) Ta có $3{x^2} + 3 = 2\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow 3{x^2} - 2x + 1 = 0;a = 3,b' = - 1,c = 1$

$\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 3.1 = - 2 < 0$. Phương trình vô nghiệm.

d) $0{,}5x\left( {x + 1} \right) = \left( {x - 1} \right){}^2$

$0{,}5{x^2} - 2{,}5x + 1 = 0$

${x^2} - 5x + 2 = 0;a = 1,b = - 2{,}5,c = 2$

$\Delta ' = {\left( { - 2{,}5} \right)^2} - 1.2 = 4{,}25$.

Phương trình có hai nghiệm ${x_1} = 2{,}5 + \sqrt {4{,}25} \approx 4{,}65;{x_2} = 2{,}5 - \sqrt {4{,}25} \approx 0{,}44$

a) $25{x^2} - 16 = 0$.

$\begin{array}{l}{x^2} = \frac{{16}}{{25}}\\x = \pm \frac{4}{5}\end{array}$

Tập nghiệm $S = \left\{ { - \frac{4}{5};\frac{4}{5}} \right\}$

b) Vì $2{x^2} + 3 > 0$với mọi $x$ nên phương trình đã cho vô nghiệm.

c) $4{,}2{x^2} + 5{,}46x = 0$

$x\left( {4{,}2x + 5{,}46} \right) = 0$

$\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 0\\4{,}2x + 5{,}46 = 0\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - \frac{{5{,}46}}{{4{,}2}} = - 1{,}3\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $S = \left\{ {0; - 1{,}3} \right\}$

d) $4{x^2} - 2\sqrt 3 x = 1 - \sqrt 3$

$4{x^2} - 2\sqrt 3 x + \sqrt 3 - 1 = 0$

$a = 4,b' = - \sqrt 3 ,c = \sqrt 3 - 1.\,\Delta ' = {\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} - 4\left( {\sqrt 3 - 1} \right)$.

$= 3 - 4\sqrt 3 + 4 = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2}$

$\sqrt {\Delta '} = 2 - \sqrt 3$.

Phương trình có hai nghiệm: ${x_1} = \frac{{\sqrt 3 + 2 - \sqrt 3 }}{4} = \frac{1}{2};$ ${x_2} = \frac{{\sqrt 3 - 2 + \sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}$

Vậy $S = \left\{ {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}} \right\}$

a) ${x^2} = 12x + 228$

${x^2} - 12x - 228 = 0$

$a = 1,b' = - 6,c = - 228.\,\Delta ' = {\left( { - 6} \right)^2} - 1\left( { - 228} \right) = 324;\sqrt {\Delta '} = 18;$

Phương trình có hai nghiệm : ${x_1} = \frac{{6 + 18}}{1} = 24;\,\,\,\,{x_2} = \frac{{6 - 18}}{1} = 12$

Vậy $S = \left\{ { - 12;24} \right\}$

b) $\frac{1}{{12}}{x^2} + \frac{7}{{12}}x = 19$

${x^2} + 7x - 228 = 0$

$a = 1,b' = 7,c = - 228$ $\Delta ' = {7^2} - 4.1\left( { - 228} \right) = 961 = {31^2}$

Phương trình có hai nghiệm: ${x_1} = \frac{{ - 7 + 31}}{2} = 12;\,\,$ $\,\,{x_2} = \frac{{ - 7 - 31}}{2} = - 19$

Vậy $S = \left\{ { - 19;12} \right\}$